Trigonométrie

(1) En utilisant les formules d'Euler, exprimer $\sin^3(x)$ comme combinaison linéaire de $\sin(x)$ et $\sin(3x)$.
(2) En déduire la valeur de $\int_0^{\pi/2} \sin^3(x) dx$.
(3) Calculer de façon analogue $\int_0^{\pi/2} \cos^3(x) dx$.

Calculer $\int_0^{\pi/2} \sin^4(x) dx$ et $\int_0^{\pi/2} \cos^4(x) dx$ par la méthode de l'exercice n°9.

Soient deux entiers naturels $p$ et $q$.
(1) En utilisant les formules d'Euler, démontrer que $\forall t \in \mathbb{R}, \cos(pt) \cos(qt) = \frac{1}{2}[\cos((p + q)t) + \cos((p - q)t)]$.
(2) En déduire, en distinguant selon que $p = q$ ou non, la valeur de $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(pt) \cos(qt) dt$.

Soient $\alpha < \beta$ des éléments de $]0, \frac{\pi}{2}[$. Montrer que $\frac{\sin \beta}{\sin \alpha} < \frac{\beta}{\alpha}$.

Étudier la fonction $x \mapsto \text{Arc}\sin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$.

Résoudre l'équation $\cosh(x) = 2$.

Déterminer la valeur de $\arcsin(-1/2)$, $\arccos(-\sqrt{2}/2)$ et $\arctan(\sqrt{3})$.

Montrer que, pour tout $x \neq 0$,$\sum_{k=0}^n \cosh(kx) = \frac{\cosh(nx/2) \sinh((n+1)x/2)}{\sinh(x/2)}$.

Calculer$\arccos\left(\cos \frac{2\pi}{3}\right)$, $\arccos\left(\cos \frac{-2\pi}{3}\right)$, $\arccos\left(\cos \frac{4\pi}{3}\right)$, $\arccos\left(\sin \frac{17\pi}{5}\right)$.

Simplifier les expressions suivantes :$\tan(\arcsin x)$, $\sin(\arccos x)$, $\cos(\arctan x)$.

Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes :1. $\arctan(\tan x)$ 2. $\arccos(\cos x)$ 3. $\arcsin(\sin x)$.

Soit $f$ la fonction définie par

$f(x) = \arcsin\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right)$.

1. Quel est l'ensemble de définition de $f$?

2. En posant $x = \sin t$, simplifier l'écriture de $f$.

Montrer que, pour tout $x \in [-1, 1]$, $\arccos(x) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2}$.

1. Soient $m, k$ deux entiers naturels. Justifier que

$\binom{m + k}{m} = \binom{m + k + 1}{m + 1} - \binom{m + k}{m + 1}$.

2. En déduire, pour tous entiers naturels $m, n \in \mathbb{N}^*$, la valeur de

$S = \sum_{k=0}^{n} \binom{m + k}{m}$.

3. En déduire celle de

$P = \sum_{k=0}^{n} \left(\prod_{p=1}^{m}(k + p)\right)$.

Calculer pour $\theta \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$, $$C_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(k\theta) \quad \text{et} \quad S_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\sin(k\theta).$$

En vous aidant d'un cercle trigonométrique, compléter les égalités suivantes : $\cos(\frac{\pi}{4}) = ...$, $\sin(\frac{\pi}{3}) = ...$, $\cos(\frac{\pi}{6}) = ...$, $\sin(-\frac{\pi}{2}) = ...$, $\cos(\frac{3\pi}{2}) = ...$, $\sin(\frac{5\pi}{6}) = ...$, $\cos(\frac{7\pi}{6}) = ...$, $\cos(\frac{5\pi}{3}) = ...$

Rappeler pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ les formules d'addition donnant $\cos(x + y)$ et $\sin(x + y)$ en fonction de $\cos x$, $\sin x$, $\cos y$ et $\sin y$.