Exercices de Multiples, diviseurs, nombres premiers, Seconde

On cherche les nombres premiers inférieurs à $1000$ qui se lisent de la même façon après un demi-tour.

Étape 1 : la règle de lecture à l'envers.
Un demi-tour inverse l'ordre des chiffres et retourne chacun d'eux. Un nombre qui contient un $3$, un $4$ ou un $7$ ne possède donc pas de symétrie centrale.
Un nombre possède une symétrie centrale lorsque son dernier chiffre est le retourné de son premier chiffre ; s'il a trois chiffres, son chiffre du milieu doit rester le même, donc être $0$, $1$, $2$, $5$ ou $8$. Pour un nombre de deux ou trois chiffres, le premier chiffre n'est pas $0$.

Étape 2 : les nombres à un chiffre.
Ce sont $0$, $1$, $2$, $5$ et $8$. Seuls $2$ et $5$ sont premiers : $0$ et $1$ ne sont pas premiers, et $8=2\times 4$.

Étape 3 : les nombres à deux chiffres.
Le second chiffre est le retourné du premier : on obtient $11$, $22$, $55$, $69$, $88$ et $96$.
$22$, $88$ et $96$ sont pairs, $55$ est divisible par $5$ et $69=3\times 23$. Seul $11$ est premier.

Étape 4 : les nombres à trois chiffres.
Un nombre premier supérieur à $5$ ne se termine ni par un chiffre pair (il serait divisible par $2$), ni par $5$ (il serait divisible par $5$). Parmi les chiffres $0$, $1$, $2$, $5$, $6$, $8$ et $9$, son dernier chiffre ne peut donc être que $1$ ou $9$.
- S'il se termine par $1$, il commence par $1$ : ce sont $101$, $111$, $121$, $151$ et $181$.
- S'il se termine par $9$, il commence par $6$ (le $6$ retourné donne $9$) : ce sont $609$, $619$, $629$, $659$ et $689$.

On élimine :
- $111=3\times 37$ et $609=3\times 203$ (la somme de leurs chiffres est divisible par $3$) ;
- $121=11\times 11$ ;
- $629=17\times 37$ ;
- $689=13\times 53$.

Pour les autres, on teste les diviseurs premiers jusqu'à la racine carrée du nombre :
- $101$ : $\sqrt{101}\approx 10,05$ et $101$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$ ;
- $151$ : $\sqrt{151}\approx 12,3$ et $151$ n'est divisible par aucun des nombres $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$ ;
- $181$ : $\sqrt{181}\approx 13,5$ et $181$ n'est divisible par aucun des nombres $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ et $13$ ;
- $619$ : $\sqrt{619}\approx 24,9$ et $619$ n'est divisible par aucun des nombres $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ et $23$ ;
- $659$ : $\sqrt{659}\approx 25,7$ et $659$ n'est divisible par aucun des nombres $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ et $23$.
Donc $101$, $151$, $181$, $619$ et $659$ sont premiers.

Conclusion : les codes possibles sont $2$, $5$, $11$, $101$, $151$, $181$, $619$ et $659$, soit $8$ codes.

1. Décomposition en facteurs premiers

$42=2\times 21=2\times 3\times 7$

Donc $42=2\times 3\times 7$, produit de trois facteurs premiers distincts, chacun à la puissance $1$.

2. Liste des diviseurs

Chaque diviseur de $42$ s'obtient en choisissant de garder ou non chacun des facteurs $2$, $3$ et $7$ :$$1,2,3,6,7,14,21,42$$On retrouve bien $2\times 2\times 2=8$ diviseurs, ce qui correspond à $(1+1)\times (1+1)\times (1+1)=8$.