Exercices de Multiples, diviseurs, nombres premiers, Seconde (page 3)

Déterminer tous les nombres premiers compris entre $190$ et $210$ (bornes incluses).

Le nombre $529$ est-il premier ? Justifier en testant uniquement les diviseurs premiers nécessaires.

Rendre irréductible la fraction $\frac{351}{459}$, en utilisant la décomposition en facteurs premiers des deux nombres.

Calculer le PGCD de $462$ et $330$ en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers des deux nombres.

On appelle deux entiers pairs consécutifs deux nombres de la forme $2n$ et $2n+2$, avec $n$ entier (par exemple $6$ et $8$, ou encore $10$ et $12$).

Démontrer que le produit de deux entiers pairs consécutifs est toujours divisible par $8$.

Démontrer que, si $n$ est un multiple de $5$, alors $n^2$ est un multiple de $25$.

Une bibliothécaire dispose de $126$ romans et de $210$ bandes dessinées. Elle souhaite composer des lots identiques (même nombre de romans et même nombre de bandes dessinées dans chaque lot), en utilisant tout le stock, sans qu'il en reste.

1. Décomposer $126$ et $210$ en produits de facteurs premiers.
2. En déduire le nombre maximal de lots qu'elle peut composer.
3. Combien de romans et de bandes dessinées chaque lot contient-il alors ?

On donne $a=546$ et $b=390$.

1. Décomposer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers.
2. En déduire le PGCD de $a$ et $b$.
3. Rendre la fraction $\frac{a}{b}$ irréductible.

Une artisane bijoutière dispose de $154$ perles, de $220$ breloques et de $330$ fermoirs. Elle souhaite composer des kits identiques (même nombre de perles, même nombre de breloques et même nombre de fermoirs dans chaque kit), en utilisant tout le stock, sans qu'il en reste.

1. Décomposer $154$, $220$ et $330$ en produits de facteurs premiers.
2. En déduire le nombre maximal de kits qu'elle peut composer.
3. Que contient chaque kit ?

On considère un entier $N$ de la forme $N=2^a\times 3^2\times 7$, où $a$ est un entier naturel inconnu.

On sait que $N$ possède exactement $36$ diviseurs.

1. Déterminer la valeur de $a$.
2. En déduire la valeur de $N$.

On donne $a=1260$ et $b=980$.

1. Décomposer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers.
2. En déduire le PGCD de $a$ et $b$ par décomposition.
3. Rendre la fraction $\frac{a}{b}$ irréductible.
4. Combien le PGCD trouvé à la question 2 possède-t-il de diviseurs ?

Démontrer que, pour tout entier $n$, le nombre $n^3-n$ est divisible par $6$.

On considère le nombre $72$.

1. Décomposer $72$ en produit de facteurs premiers.
2. En déduire la liste de tous les diviseurs de $72$.

Lister tous les multiples de $7$ compris entre $45$ et $150$ (bornes incluses).

Décomposer $168$ en produit de facteurs premiers, en détaillant les divisions successives.

Le nombre $71$ est-il premier ? Justifier en testant uniquement les diviseurs premiers nécessaires.

Pour chacun des nombres suivants, déterminer, grâce aux critères de divisibilité (sans poser aucune division), s'il est divisible par $2$, par $3$, par $5$, par $9$ et par $10$.

On considère un nombre entier de trois chiffres, de la forme « $5$, $d$, $4$ » (dans cet ordre : chiffre des centaines $5$, chiffre des dizaines $d$ inconnu, chiffre des unités $4$), où $d$ désigne un chiffre encore inconnu compris entre $0$ et $9$.

Ce nombre est divisible par $3$. Déterminer toutes les valeurs possibles de $d$, ainsi que les nombres correspondants.

1. Décomposer $432$ en produit de facteurs premiers.
2. En déduire le nombre total de diviseurs de $432$.

1. Lister tous les diviseurs de $84$.
2. Lister tous les diviseurs de $126$.
3. En déduire le PGCD de $84$ et de $126$.

Déterminer si les nombres suivants sont premiers, en ne testant que les diviseurs premiers nécessaires.

Déterminer tous les nombres premiers compris entre $150$ et $170$ (bornes incluses).

Le nombre $841$ est-il premier ? Justifier en testant uniquement les diviseurs premiers nécessaires.

Démontrer que, si $n$ est un multiple de $3$, alors $n^2$ est un multiple de $9$.

On donne $a=693$ et $b=315$.

1. Décomposer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers.
2. En déduire le PGCD de $a$ et $b$ par décomposition.
3. Rendre la fraction $\frac{a}{b}$ irréductible.
4. Combien le PGCD trouvé à la question 2 possède-t-il de diviseurs ?

Une créatrice de bijoux dispose de $180$ perles, de $252$ rubans et de $108$ boutons. Elle souhaite composer des kits identiques (même nombre de perles, même nombre de rubans et même nombre de boutons dans chaque kit), en utilisant tout le stock, sans qu'il en reste.

1. Décomposer $180$, $252$ et $108$ en produits de facteurs premiers.
2. En déduire le nombre maximal de kits qu'elle peut composer.
3. Que contient chaque kit ?

Démontrer que, pour tout entier $n$, le nombre $6n^2+6n$ est un multiple de $12$.

On rappelle que le PPCM de deux entiers strictement positifs est leur plus petit multiple commun strictement positif. À l'aide de la décomposition en facteurs premiers, calculer le PPCM de chaque couple.
a. $84$ et $90$
b. $150$ et $225$
c. $48$ et $180$

Deux lignes de bus partent du même arrêt. La ligne A passe toutes les $24$ minutes et la ligne B toutes les $40$ minutes. À $7$ h $30$, un bus de chaque ligne part en même temps.

1. Au bout de combien de minutes un bus de chaque ligne repartira-t-il de nouveau en même temps pour la première fois ?
2. À quelles heures cela se produira-t-il jusqu'à $13$ h ?

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible, en utilisant le plus petit dénominateur commun.
a. $A=\frac{5}{36}+\frac{7}{60}$
b. $B=\frac{7}{48}-\frac{5}{180}$

1. Sans calculer les sommes, donner leur parité.
a. $S_1=2846+1357$
b. $S_2=4581+2973$
c. $S_3=15+22+37+8+41$

2. Soit $n$ un entier. Démontrer que $n+(n+1)$ est toujours impair.

Soit $n$ un entier tel que $n^2$ est pair.

1. Démontrer que $n$ est pair.
2. En déduire que $n^2$ est un multiple de $4$.
3. Démontrer qu'aucun carré d'entier n'est le double d'un entier impair.

Soit $n$ un entier. Démontrer que $n^2+5$ est impair si, et seulement si, $n$ est pair.