Exercices de Variations d'une fonction, Seconde (page 3)

Le bénéfice, en euros, réalisé par une entreprise en fonction du nombre $x$ d'articles vendus est modélisé par $B(x)=12,5x-300$, fonction définie sur $[0;200]$.

Démontrer, à l'aide de la définition, que $B$ est strictement croissante sur $[0;200]$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-3{)}^2$.

Démontrer, à l'aide de la définition, que $f$ est croissante sur l'intervalle $[3;+\infty [$.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(x+2{)}^2$.

Démontrer, à l'aide de la définition, que $g$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty ;-2]$.

Soit $f$ une fonction définie et croissante sur un intervalle $I$, et soit $k$ un nombre réel. On définit la fonction $g$ sur $I$ par $g(x)=f(x)+k$.

Démontrer, à l'aide de la définition, que $g$ est également croissante sur $I$.

Le volume d'un signal sonore, en décibels, en fonction du temps $x$ (en secondes), est défini sur $[0;20]$ par :

- $v(x)=4x+10$ pour $x\in [0;5]$ ;
- $v(x)=30$ pour $x\in [5;8]$ ;
- $v(x)=-5x+70$ pour $x\in [8;14]$ ;
- $v(x)=3x-42$ pour $x\in [14;20]$.

1. En justifiant à l'aide du coefficient directeur (ou de la constante), déterminer le sens de variation de $v$ sur chacun des quatre intervalles.
2. Calculer $v(0)$, $v(5)$, $v(8)$, $v(14)$ et $v(20)$, puis dresser le tableau de variations de $v$ sur $[0;20]$.
3. Donner le maximum et le minimum de $v$ sur $[0;20]$, en précisant en quel(s) point(s) chacun est atteint.

On admet que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

On sait qu'un réel $x$ vérifie $-2<x<3$.

1. En utilisant la monotonie de la fonction cube, encadrer $x^3$.
2. En déduire un encadrement de $f(x)=x^3-5$.
3. Le nombre $f(x)$ peut-il être égal à $30$ ? Justifier.

Une fonction $w$ est définie sur $[-8;10]$ et présente les variations suivantes : décroissante sur $[-8;-5]$, croissante sur $[-5;-1]$, décroissante sur $[-1;2]$, croissante sur $[2;6]$, décroissante sur $[6;10]$, avec $w(-8)=3$, $w(-5)=-4$, $w(-1)=5$, $w(2)=0$, $w(6)=7$ et $w(10)=1$.

1. Dresser le tableau de variations de $w$ sur $[-8;10]$.
2. Parmi les quatre points intérieurs $x=-5,-1,2,6$, lesquels correspondent à un minimum local et lesquels à un maximum local ?
3. Quel est le maximum de $w$ sur $[-8;10]$ ? En quel point est-il atteint ? Est-ce un maximum local ou l'extrémité du domaine ?
4. Quel est le minimum de $w$ sur $[-8;10]$ ? En quel point est-il atteint ?
5. Comparer $w(-7)$ et $w(-6)$ sans les calculer.

On considère deux fonctions affines définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(m-2)x+1$ et $g(x)=(2m+1)x-3$, où $m$ est un nombre réel.

1. Pour quelles valeurs de $m$ la fonction $f$ est-elle strictement croissante ?
2. Pour quelles valeurs de $m$ la fonction $g$ est-elle strictement croissante ?
3. En déduire l'ensemble des valeurs de $m$ pour lesquelles $f$ et $g$ sont toutes les deux strictement croissantes.

On veut résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x-1{)}^2\le 4$.

1. En utilisant les variations de la fonction carré, déterminer les valeurs de $x-1$ pour lesquelles $(x-1{)}^2\le 4$, sachant que $2^2=4$.
2. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $(x-1{)}^2\le 4$.
3. Vérifier que $x=3$ est bien solution, et que $x=-2$ ne l'est pas.

On considère la fonction $z$ définie sur $[-4;6]$ par :

- $z(x)=2x+9$ pour $x\in [-4;-2]$ ;
- $z(x)=(x+1{)}^2+4$ pour $x\in [-2;1]$ ;
- $z(x)=\frac{24}{x}-16$ pour $x\in [1;6]$.

1. Justifier que $z$ est croissante sur $[-4;-2]$.
2. Justifier que $z$ est décroissante sur $[-2;-1]$ puis croissante sur $[-1;1]$ (on admettra les variations de la fonction carré décalée sans nouvelle démonstration).
3. Vérifier que les deuxième et troisième expressions de $z$ donnent la même valeur en $x=1$, puis justifier que $z$ est décroissante sur $[1;6]$ (on admettra les variations de la fonction inverse sans nouvelle démonstration).
4. Calculer $z(-4)$, $z(-2)$, $z(-1)$, $z(1)$ et $z(6)$, puis dresser le tableau de variations de $z$ sur $[-4;6]$.

On considère la fonction $f$ définie sur $]3;+\infty [$ par $f(x)=-\frac{1}{x-3}$.

Démontrer, à l'aide de la définition, que $f$ est strictement croissante sur $]3;+\infty [$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant par un raisonnement, un exemple ou un contre-exemple.

1. Si une fonction est croissante sur $[-2;1]$ et croissante sur $[1;5]$, alors elle est croissante sur $[-2;5]$.
2. Une fonction peut admettre un maximum local en un point sans que ce point soit une extrémité de son domaine de définition.
3. Le taux de variation d'une fonction affine entre deux points est toujours positif.
4. Si $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ et $a<b$ dans $I$, alors le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est négatif ou nul.

On modélise l'altitude d'une piste de vélo tout-terrain par une fonction $h$ définie sur $[0;12]$ ($x$ en kilomètres depuis le départ), dont voici le tableau de variations.$$\begin{array}{cccccc}x& 0& & 5& & 12\\ h(x)& & \searrow & & \nearrow & \\ & 380& & 120& & 300\end{array}$$1. Sur quel(s) intervalle(s) la fonction $h$ est-elle croissante ? décroissante ?
2. Quel est le minimum de $h$ sur $[0;12]$ ? En quel point est-il atteint ?
3. Comparer $h(1)$ et $h(3)$ sans les calculer.
4. Comparer $h(7)$ et $h(10)$ sans les calculer.

Un réservoir se remplit à un débit constant. Le volume d'eau qu'il contient, en litres, en fonction du temps $x$ (en minutes), est donné par $V(x)=25x+40$, fonction définie sur $[0;30]$.

1. Donner le coefficient directeur de $V$ et en déduire son sens de variation.
2. Sans les calculer, comparer le volume après $10$ minutes et celui après $22$ minutes.
3. Vérifier ce résultat en calculant $V(10)$ et $V(22)$.

L'autonomie restante d'une batterie, en pourcentage, en fonction de la durée d'utilisation $x$ (en heures), est donnée par $A(x)=100-4x$, fonction définie sur $[0;20]$.

1. Écrire $A(x)$ sous la forme $ax+b$ et donner le signe de $a$.
2. En déduire le sens de variation de $A$ sur $[0;20]$.
3. Sans les calculer, comparer l'autonomie après $3$ heures et celle après $11$ heures d'utilisation.
4. Vérifier ce résultat par le calcul.

Un opérateur affirme que le prix mensuel de son forfait, en euros, en fonction du nombre $x$ de connexions effectuées, est donné par $C(x)=3x+25-3x$.

1. Montrer que $C(x)$ peut s'écrire sous une forme plus simple, sans $x$.
2. En déduire le sens de variation de $C$ sur $\mathbb{R}$.
3. Comparer $C(0)$ et $C(1000)$. Qu'en conclure sur le prix du forfait ?

Le cours d'une crypto-monnaie, en euros, est modélisé par une fonction $c$ définie sur $[0;10]$ ($x$ en mois). On sait que :

- $c(0)=40$ et $c$ est croissante sur $[0;4]$ ;
- $c(4)=90$ ;
- $c$ décroît ensuite jusqu'en $x=7$ où $c(7)=20$ ;
- $c$ croît de nouveau jusqu'à $c(10)=65$.

1. Dresser le tableau de variations de $c$ sur $[0;10]$.
2. Donner le maximum et le minimum de $c$ sur $[0;10]$, en précisant en quel point chacun est atteint.
3. Comparer $c(5)$ et $c(6)$ sans les calculer.

On considère la fonction affine $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(\sqrt{5}-2)x-3$.

1. Justifier que $\sqrt{5}-2$ est un nombre positif.
2. En déduire le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$.
3. Comparer $g(-4)$ et $g(1)$ sans les calculer.

On admet que la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ et décroissante sur $]-\infty ;0[$.

1. On considère $a=2$ et $b=9$. Comparer $a$ et $b$, puis en déduire une comparaison de $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$.
2. On considère $c=-8$ et $d=-3$. Comparer $c$ et $d$, puis en déduire une comparaison de $\frac{1}{c}$ et $\frac{1}{d}$.
3. Peut-on comparer $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{-8}$ à l'aide de la seule monotonie de la fonction inverse ? Justifier.

On admet que la fonction racine carrée est croissante sur $[0;+\infty [$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=3\sqrt{x}-2$.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels positifs ou nuls tels que $a<b$. Comparer $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$.
2. En multipliant par $3$ puis en soustrayant $2$ de part et d'autre, comparer $f(a)$ et $f(b)$.
3. Conclure sur le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty [$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant à l'aide de la définition ou d'un contre-exemple.

1. Si $f(x)\le 12$ pour tout $x$ de $I$ et $f(a)=12$ pour un certain $a$ de $I$, alors $12$ est le maximum de $f$ sur $I$.
2. Un maximum ne peut être atteint qu'en une seule valeur de $x$.
3. Si $f$ est croissante sur $[a;b]$, alors le minimum de $f$ sur $[a;b]$ est atteint en $x=a$.
4. Une fonction qui n'atteint jamais la valeur $0$ ne peut pas admettre de minimum.

L'épaisseur de neige restante, en centimètres, en fonction du nombre de jours $x$ depuis le début de la fonte, est modélisée par $Q(x)=-0,8x+50$, fonction définie sur $[0;60]$.

Démontrer, à l'aide de la définition, que $Q$ est strictement décroissante sur $[0;60]$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=2\sqrt{x}+3$.

Démontrer, à l'aide de la définition, que $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$.

La vitesse d'un véhicule, en km/h, en fonction du temps $x$ (en secondes), est modélisée sur $[0;10]$ par :

- $v(x)=-6x+80$ pour $x\in [0;3]$ ;
- $v(x)=2(x-3{)}^2+62$ pour $x\in [3;10]$.

1. Justifier que $v$ est décroissante sur $[0;3]$.
2. Vérifier que les deux expressions de $v$ coïncident en $x=3$.
3. En posant $u=x-3$, justifier que $v$ est croissante sur $[3;10]$ (on admettra les variations de la fonction carré sans nouvelle démonstration).
4. Calculer $v(0)$, $v(3)$ et $v(10)$, puis dresser le tableau de variations de $v$ sur $[0;10]$.
5. Quelle est la vitesse minimale atteinte par le véhicule ? À quel instant ?

Le solde d'un compte bancaire, en centaines d'euros, en fonction du temps $x$ (en mois), est modélisé par une fonction $w$ définie sur $[-6;9]$ qui présente les variations suivantes : décroissante sur $[-6;-3]$, croissante sur $[-3;1]$, décroissante sur $[1;4]$, croissante sur $[4;9]$, avec $w(-6)=5$, $w(-3)=-6$, $w(1)=3$, $w(4)=-2$ et $w(9)=8$.

1. Dresser le tableau de variations de $w$ sur $[-6;9]$.
2. Parmi les points intérieurs $x=-3,1,4$, lesquels correspondent à un minimum local et lesquels à un maximum local ?
3. Quel est le maximum de $w$ sur $[-6;9]$ ? En quel point est-il atteint ? S'agit-il d'un maximum local ou de l'extrémité du domaine ?
4. Quel est le minimum de $w$ sur $[-6;9]$ ? En quel point est-il atteint ?
5. Comparer $w(-5)$ et $w(-4)$ sans les calculer.

On veut résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x+3{)}^2\ge 16$.

1. En utilisant les variations de la fonction carré, déterminer les valeurs de $t=x+3$ pour lesquelles $t^2\ge 16$, sachant que $4^2=16$.
2. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $(x+3{)}^2\ge 16$.
3. Vérifier que $x=5$ est solution, et que $x=-2$ ne l'est pas.

Soit $f$ une fonction définie et croissante sur un intervalle $I$, et soit $k$ un nombre réel strictement positif. On définit la fonction $g$ sur $I$ par $g(x)=k\times f(x)$.

Démontrer, à l'aide de la définition, que $g$ est également croissante sur $I$.

On donne la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$.La courbe passe par les points $(-4;-4)$, $(-2;4)$, $(2;-4)$ et $(4;4)$ et ne change de sens qu'en $x=-2$ et en $x=2$.

1. Donner l'ensemble de définition de $f$.
2. Donner les variations de $f$.
3. Donner le maximum et le minimum de $f$, avec les abscisses où ils sont atteints.
4. Dresser le tableau de variations de $f$.

La courbe ${\mathcal{C}}_g$ ci-dessous représente une fonction $g$. Les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ sont des points de la courbe.Les coordonnées de ces points sont $A(-4;1)$, $B(-2;-3)$, $C(1;3)$, $D(4;-2)$ et $E(6;2)$ ; la courbe est montante ou descendante entre deux points consécutifs.

Donner l'ensemble de définition de $g$, ses intervalles de monotonie, ses extremums, puis dresser son tableau de variations.

Soit $f$ la fonction définie sur $[-3;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{x+3}$.

1. Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $[-3;+\infty [$.
2. En déduire le minimum de $f$ sur $[-3;+\infty [$.

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $g(x)=5-2\sqrt{x}$.

1. Démontrer que $g$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty [$.
2. En déduire que $g(x)\le 5$ pour tout $x\ge 0$ et préciser pour quelle valeur de $x$ on a l'égalité.

1. Soit $f$ une fonction affine telle que $f(-3)=11$ et $f(2)=-4$. Déterminer l'expression de $f(x)$.

2. Un club de tennis propose une formule dont le prix, en euros, est une fonction affine $p$ du nombre $x$ de séances : $4$ séances coûtent $38$ euros et $10$ séances coûtent $80$ euros.
a. Déterminer l'expression de $p(x)$.
b. Interpréter les coefficients $a$ et $b$ dans ce contexte.
c. Quel est le nombre de séances qu'on peut payer avec $150$ euros ?