Exercices de Fonctions à valeurs vectorielles en maths Spé (prépa)

1. $Équivalent d'une intégrale$

Montrer que lorsque

x \to + \infty

\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \sim \frac{e ^{x^{2}}}{2 x} .

2. $DL positif d'une réciproque$

Soit

f :] - 1; + \infty [\to R

donnée par

f (x) = \frac{ln ( 1 + x )}{1 + x} .

Q1-Trouver le plus grand intervalle ouvert

I

contenant

0

sur lequel

f

est un

C^{\infty}

-difféomorphisme.

Q2-On note

g

l'application réciproque de

f_{↾ I}

. Montrer que les coefficients du développement limité de

g

0

à un ordre quelconque sont positifs.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

3. $Étude de ln x / x : point d'inflexion$

Soit

f :] 0; + \infty [\to R

définie par

f (x) = \frac{ln x}{x} .

Montrer que

f

admet un point d'inflexion.
Étudier les branches infinies de la courbe représentative de

f

et en donner l'allure.

Voir le corrigé

f

est de classe

C^{\infty}

. Ses dérivées premières et secondes sont

f^{'} (x) = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}, f^{''} (x) = \frac{- 3 + 2 ln x}{x ^{3}} .

On en déduit les variations suivantes

x f (x) 0 - \infty ↗ e 1/ e ↘ + \infty 0

f^{''} (e^{3/2}) = 0 avec changement de signe.

La fonction

f

présente un point d'inflexion en

e^{3/2}

.
Puisque

0 lim f = - \infty

, il y a une asymptote d'équation

x = 0

.
Puisque

+ \infty lim f = 0

, il y a une asymptote d'équation

y = 0

4. $Étude graphique avec valeur absolue$

Étudier la fonction

f : x \mapsto \frac{x ^{2} + x}{∣ x ∣ + 1}

en vue d'en réaliser la représentation graphique.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

5. $Étude graphique logarithmique$

Étudier la fonction

f : x \mapsto \frac{2 ln x + 3}{x}

en vue d'en réaliser la représentation graphique.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

6. $Étude graphique de x^{2} e^{- x}$

Étudier la fonction

f : x \mapsto x^{2} e^{- x}

en vue d'en réaliser la représentation graphique.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

7. $Asymptote d'une exponentielle en 1/ x$

Soit

f : x \mapsto (x + 1) e^{1/ x}

définie sur

R_{+}^{*}

.
Former un développement asymptotique de

f

à la précision

1/ x

+ \infty

.
En déduire l'existence d'une droite asymptote en

+ \infty

à la courbe représentative de

f

.
Étudier la position relative de la courbe et de son asymptote en

+ \infty

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

8. $Asymptote logarithmique en + \infty$

Soit

f : x \mapsto x (ln (2 x + 1) - ln (x))

définie sur

R_{+}^{*}

.
Former un développement asymptotique de

f

à la précision

1/ x

+ \infty

.
En déduire l'existence d'une droite asymptote en

+ \infty

à la courbe représentative de

f

.
Étudier la position relative de la courbe et de son asymptote en

+ \infty

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

9. $Asymptote d'une racine cubique$

Étudier les asymptotes de

x \mapsto 3 (x^{2} - 2) (x + 3) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

10. $Branches infinies logarithmiques$

Étudier les branches infinies de

f (x) = \frac{( x + 1 ) ln ( x + 1 )}{ln x} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

11. $Branches infinies, valeur absolue$

Étudier les branches infinies de

f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x}{∣ x - 1∣ + x} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

12. $Fonctions hyperboliques réciproques$

Simplifier les expressions suivantes :

Q1-

ch (argsh x)

Q2-

th (argsh x)

Q3-

sh (2 argsh x)

Q4-

sh (argch x)

Q5-

th (argch x)

Q6-

ch (argth x)

Voir le corrigé

(a)

ch a = 1 + sh^{2} a

donc

ch (argsh x) = 1 + x^{2}

(b)

th (argsh x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}

(c)

sh (2 argsh x) = 2 sh (argsh x) ch (argsh x) = 2 x 1 + x^{2}

(d)

sh (argch x) = x^{2} - 1

(e)

th (argch x) = \frac{x ^{2} - 1}{x}

(f)

th^{2} a = 1 - \frac{1}{ch ^{2} a}

donc

ch (argth x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}

13. $Simplification d'argch et argsh$

Simplifier :

Q1-

argch (2 x^{2} - 1)

Q2-

argsh (2 x 1 + x^{2})

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

14. $Équation avec argsh et argch$

Résoudre l'équation

argsh x + argch x = 1.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

15. $Dérivée de argsh (tan t)$

Soit

G :] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [\to R

définie par

G (t) = argsh (tan t)

.
Montrer que

G

est dérivable et que pour tout

t \in] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [

G^{'} (t) = ch G (t)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

16. $Série entière, intégrale de Wallis$

Convergence et calcul de la série entière

n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

où

a_{n} = \int_{0}^{1} (1 - t^{2})^{n} d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

17. $Rayon et somme d'une série entière$

Pour

n \in N

, on pose

a_{n} = \frac{n !}{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n + 1 )} .

Rayon de convergence et somme de la série entière

n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

18. $Équation différentielle via sh$

Résoudre

(1 + x^{2}) y^{''} + x y^{'} - 4 y = 0

en posant

x = sh (t)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

19. $Linéarité d'une fonction dérivable$

Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension finie et

f : R \to E

dérivable en

0

. On suppose

\forall x \in R, f (2 x) = 2 f (x) .

Montrer que

f

est linéaire.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

20. $Prolongement C^{1} en un point$

Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension finie et

f \in C^{1} ([a; b [, E)

.
Montrer que

f

admet un prolongement de classe

C^{1}

[a; b]

si, et seulement si,

f^{'}

admet une limite en

b

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

21. $Déterminant fonctionnel dérivable$

Pour tout réel

x

, on pose :

D_{n} (x) = x x^{2} /2! x^{3} /3! ⋮ x^{n} / n! 1 x x^{2} /2! ⋱ \dots 01 x ⋱ x^{3} /3! \dots ⋱ ⋱ ⋱ x^{2} /2! 0 ⋮ 01 x .

Q1-Montrer que

D_{n}

est une fonction dérivable et calculer

D_{n}^{'} (x)

Q2-En déduire l'expression de

D_{n} (x)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

22. $Limite d'une somme de type Riemann$

Soit

f : [0; 1] \to E

dérivable à droite en

0

et vérifiant

f (0) = 0

.
Déterminer la limite quand

n \to + \infty

S_{n} = k = 1 \sum n f (\frac{k}{n ^{2}}) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

23. $Déterminant nul et Rolle généralisé$

Soit

u, v, w

trois fonctions de classe

C^{2}

[a; b]

vers

R

(avec

a < b

). On suppose

u (a) u (b) u^{'} (a) v (a) v (b) v^{'} (a) w (a) w (b) w^{'} (a) = 0.

Montrer qu'il existe

c \in] a; b [

vérifiant

u (a) u (b) u^{''} (c) v (a) v (b) v^{''} (c) w (a) w (b) w^{''} (c) = 0.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

24. $Différences finies et dérivée n -ième$

Soit

n \in N^{*}

E

un espace vectoriel normé de dimension finie sur

R

Q1-Montrer que pour tout

0 \leq p < n

on a

k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n) k^{p} = 0 et k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n) k^{n} = (- 1)^{n} n!

Q2-En déduire, pour

f : R \to E

de classe

C^{n}

, la limite quand

h \to 0

\frac{1}{h ^{n}} k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n) f (k h) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

25. $Inégalité entre f, f^{'} et f^{''}$

Soit

f

de classe

C^{2}

sur

R

telle que

f

f^{''}

soient bornées.
Montrer, à l'aide d'une formule de Taylor, que

∥ f^{'} ∥_{\infty}^{2} \leq 4∥ f ∥_{\infty} ∥ f^{''} ∥_{\infty} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

26. $Minoration de ∥ f^{''} ∥_{\infty} par Taylor$

Soit

f : [0; 1] \to E

de classe

C^{2}

telle que

f (0) = f^{'} (0) = f^{'} (1) = 0 et ∥ f (1) ∥ = 1.

Montrer en écrivant deux formules de Taylor que

∥ f^{''} ∥_{\infty} \geq 4

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

27. $Courbe paramétrée x = cos (3 t), y = sin (2 t)$

Étudier la courbe paramétrée définie par

{x = cos (3 t) y = sin (2 t) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

28. $Astroïde et distance A B$

(Astroïde)

Q1-Étudier la courbe paramétrée définie par

{x = cos^{3} t y = sin^{3} t .

Q2-On note

A

B

les points d'intersection des axes

(O x)

(O y)

avec la tangente au point de paramètre

t \neq = 0 [π /2]

de la courbe précédente. Calculer la distance

A (t) B (t)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

29. $Étude de la cycloïde$

(Cycloïde) Étudier la courbe paramétrée définie par

{x = t - sin (t) y = 1 - cos (t) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

30. $Lemniscate de Bernoulli$

(Lemniscate de Bernoulli)

Q1-Étudier la courbe paramétrée définie par

⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{sin ( t )}{1 + cos ^{2} ( t )} y = \frac{sin ( t ) cos ( t )}{1 + cos ^{2} ( t )} .

Q2-On introduit les points

F (1/ 2, 0)

F^{'} (- 1/ 2, 0)

.
Montrer que pour tout point

M

de la courbe ci-dessus

M F \times M F^{'} = \frac{1}{2} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

31. $Étude de la cardioïde$

(Cardioïde) Étudier la courbe définie par

{x (t) = 2 cos (t) + cos (2 t) y (t) = 2 sin (t) + sin (2 t) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

32. $Paramétrage à partir des tangentes$

Soit

t \mapsto f (t)

définissant un arc régulier tel qu'en tout point de paramètre

t

la tangente soit

D_{t} : (t^{3} + 3 t) x - 2 y = t^{3} .

Réaliser un paramétrage en coordonnées cartésiennes de l'arc étudié et le représenter.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

33. $Tangentes et normales communes$

On considère la courbe paramétrée

Γ

définie par

{x (t) = 3 t^{2} y (t) = 2 t^{3} (t \in R),

et on note

M (t)

le point de paramètre

t

Q1-Étudier la courbe

{x = 3 t^{2} y = 2 t^{3} .

Q2-Donner une équation de la tangente et de la normale en le point

M

de paramètre

t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

34. $Tangentes orthogonales à une courbe$

On considère la courbe paramétrée

Γ

définie par

{x (t) = 4 t^{3} y (t) = 3 t^{4} (t \in R),

et on note

M (t)

le point de paramètre

t

Q1-Étudier et représenter la courbe définie par

{x = 4 t^{3} y = 3 t^{4} .

Q2-Former une équation de la tangente au point de paramètre

t \in R

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

35. $Tangente au cercle, vecteur rayon$

Soit

D

le disque de centre

(0, 0)

et de rayon

R > 0

du plan

R^{2}

.
Montrer que les vecteurs tangents à

D

aux points du cercle limite sont orthogonaux au vecteur rayon.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

36. $Continuité uniforme, dérivée bornée$

mines

Soit

f : R_{+} \to R

dérivable.

Q1-Si

f^{'}

est bornée sur

R_{+}

, montrer que

f

est uniformément continue sur

R_{+}

Q2-Si

∣ f^{'} (x) ∣ \to + \infty

quand

x \to + \infty

, montrer que

f

n'est pas uniformément continue sur

R_{+}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

37. $Équivalent en 0 d'une fonction$

mines

Soit

f :] 0; + \infty [\to R

telle que

x \to 0 lim f (x) = 0 et x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( x /2 )}{x} = 1.

Trouver un équivalent simple en

0

f

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

38. $Points fixes, fonctions commutantes$

mines

Soient

f

g

des fonctions continues de

[0; 1]

dans

[0; 1]

telles que

f \circ g = g \circ f

Q1-Montrer que l'ensemble des points fixes de

f

possède un plus grand et un plus petit élément.

Q2-Montrer l'existence de

c \in [0; 1]

tel que

f (c) = g (c)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

39. $Fonction plate, polynômes associés$

mines

On pose

f (x) = e^{- 1/ x^{2}}

pour

x

réel non nul et

f (0) = 0

Q1-Montrer l'existence pour tout

n \in N

d'un polynôme

P_{n}

tel que

\forall x \in R^{*}

f^{(n)} (x) = x^{- 3 n} P_{n} (x) f (x)

. Quel est le degré de

P_{n}

Q2-Montrer que

f

est de classe

C^{\infty}

, toutes ses dérivées étant nulles en

0

Q3-Montrer que toute racine de

P_{n}

est réelle.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

40. $Equation fonctionnelle de l'exponentielle matricielle$

Déterminer les applications

M : R \to M_{n} (R)

dérivables en

0

vérifiant :

\forall (s, t) \in R^{2}, M (s + t) = M (s) M (t)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

1.Équivalent d'une intégrale

2.DL positif d'une réciproque

3.Étude de lnx/x : point d'inflexion

4.Étude graphique avec valeur absolue

5.Étude graphique logarithmique

6.Étude graphique de x2e−x

7.Asymptote d'une exponentielle en 1/x

8.Asymptote logarithmique en +∞

9.Asymptote d'une racine cubique

10.Branches infinies logarithmiques

11.Branches infinies, valeur absolue

12.Fonctions hyperboliques réciproques

13.Simplification d'argch et argsh

14.Équation avec argsh et argch

15.Dérivée de argsh(tant)

16.Série entière, intégrale de Wallis

17.Rayon et somme d'une série entière

18.Équation différentielle via sh

19.Linéarité d'une fonction dérivable

20.Prolongement C1 en un point

21.Déterminant fonctionnel dérivable

22.Limite d'une somme de type Riemann

23.Déterminant nul et Rolle généralisé

24.Différences finies et dérivée n-ième

25.Inégalité entre f, f′ et f′′

26.Minoration de ∥f′′∥∞​ par Taylor

27.Courbe paramétrée x=cos(3t),y=sin(2t)

28.Astroïde et distance AB

29.Étude de la cycloïde

30.Lemniscate de Bernoulli

31.Étude de la cardioïde

32.Paramétrage à partir des tangentes

33.Tangentes et normales communes

34.Tangentes orthogonales à une courbe

35.Tangente au cercle, vecteur rayon

36.Continuité uniforme, dérivée bornée

37.Équivalent en 0 d'une fonction

38.Points fixes, fonctions commutantes

39.Fonction plate, polynômes associés

40.Equation fonctionnelle de l'exponentielle matricielle

1. $Équivalent d'une intégrale$

2. $DL positif d'une réciproque$

3. $Étude de ln x / x : point d'inflexion$

4. $Étude graphique avec valeur absolue$

5. $Étude graphique logarithmique$

6. $Étude graphique de x^{2} e^{- x}$

7. $Asymptote d'une exponentielle en 1/ x$

8. $Asymptote logarithmique en + \infty$

9. $Asymptote d'une racine cubique$

10. $Branches infinies logarithmiques$

11. $Branches infinies, valeur absolue$

12. $Fonctions hyperboliques réciproques$

13. $Simplification d'argch et argsh$

14. $Équation avec argsh et argch$

15. $Dérivée de argsh (tan t)$

16. $Série entière, intégrale de Wallis$

17. $Rayon et somme d'une série entière$

18. $Équation différentielle via sh$

19. $Linéarité d'une fonction dérivable$

20. $Prolongement C^{1} en un point$

21. $Déterminant fonctionnel dérivable$

22. $Limite d'une somme de type Riemann$

23. $Déterminant nul et Rolle généralisé$

24. $Différences finies et dérivée n -ième$

25. $Inégalité entre f, f^{'} et f^{''}$

26. $Minoration de ∥ f^{''} ∥_{\infty} par Taylor$

27. $Courbe paramétrée x = cos (3 t), y = sin (2 t)$

28. $Astroïde et distance A B$

29. $Étude de la cycloïde$

30. $Lemniscate de Bernoulli$

31. $Étude de la cardioïde$

32. $Paramétrage à partir des tangentes$

33. $Tangentes et normales communes$

34. $Tangentes orthogonales à une courbe$

35. $Tangente au cercle, vecteur rayon$

36. $Continuité uniforme, dérivée bornée$

37. $Équivalent en 0 d'une fonction$

38. $Points fixes, fonctions commutantes$

39. $Fonction plate, polynômes associés$

40. $Equation fonctionnelle de l'exponentielle matricielle$