Exercices de Fonctions à valeurs vectorielles en maths Spé (prépa) (page 2)

42. $Déterminant et accroissements finis$

Soit

(a, b) \in R^{2}

tel que

a < b

. Soient

f

g

deux applications de

[a, b]

dans

R

continues sur

[a, b]

et dérivables sur

] a, b [

. On pose pour

x \in [a, b]

Δ (x) = f (a) g (a) 1 f (b) g (b) 1 f (x) g (x) 1

Q1-Montrer que

Δ

est continue sur

[a, b]

, dérivable sur

] a, b [

et calculer

Δ^{'} (x)

pour

x \in] a, b [

Q2-En déduire qu'il existe

c \in] a, b [

tel que

(g (b) - g (a)) f^{'} (c) = (f (b) - f (a)) g^{'} (c)

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43. $Fonction dérivable et linéarité$

Soient

E

un espace vectoriel de dimension finie et

f : R \to E

dérivable en

0

telle que

\forall x \in R, f (2 x) = 2 f (x)

Montrer que

f

est linéaire.

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44. $Formule exp (A + B) = exp (A) exp (B)$

On considère deux matrices

A

B

M_{n} (K)

qui commutent.

Q1-Montrer que

A

commute avec

exp (B)

Q2-On considère l'application

φ : t \in [0, 1] \mapsto exp (t (A + B)) exp (- tB) exp (- t A)

.
Justifier que

φ

est dérivable et calculer sa dérivée.

Q3-En déduire que

exp (A + B) = exp (A) exp (B)

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45. $Colinéarité de f^{'} (c) à f (b) - f (a)$

Soit

f

continue sur

[a, b]

, dérivable sur

] a, b [

, à valeurs dans

R^{2}

. Montrer qu'il existe

c \in] a, b [

tel que

f^{'} (c)

est colinéaire à

f (b) - f (a)

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46. $Mouvement à force centrale$

Soit

I

un intervalle de

R

f : I \to R^{3}

de classe

C^{2}

tel que pour tout

t \in I

f (t)

f^{''} (t)

soient colinéaires. On suppose de plus qu'il existe

t_{0} \in I

tel que

(f (t_{0}), f^{'} (t_{0}))

est libre.

Q1-Montrer que

f

est à valeurs dans un plan vectoriel de

R^{3}

. On pourra utiliser le produit vectoriel.

Q2-Montrer que l'aire orientée du triangle porté par les vecteurs

f (t)

f^{'} (t)

est constante.

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47. $Dérivée du déterminant, comatrice$

Soient

I

un intervalle de

R

A : I \to M_{n} (R)

une application de classe

C^{1}

. Montrer que

φ : t \in I \mapsto det (A (t))

est de classe

C^{1}

sur

I

et que

\forall t \in I, φ^{'} (t) = tr (com (A (t))^{⊤} A^{'} (t))

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48. $Dérivées successives de arctan$

Soit

f : x \mapsto arctan (x)

Q1-Démontrer que pour tout

n \in N^{*}

, il existe un unique polynôme

P_{n - 1}

tel que

\forall x \in R

f^{(n)} (x) = \frac{P _{n - 1} ( x )}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}

Q2-Préciser le degré, la parité et le coefficient dominant de

P_{n}

Q3-Déterminer les limites de

f^{(n)}

- \infty

+ \infty

pour

n \geq 1

Q4-Montrer que pour tout

n \in N

, toutes les racines de

P_{n}

sont réelles et simples. Raisonner par récurrence en utilisant le théorème de Rolle.

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49. $Fonction e^{- 1/ t} de classe C^{\infty}$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

\forall t \in R, f (t) = {e^{- 1/ t} 0 si t > 0 si t \leq 0

Q1-Montrer que pour tout

n \in N

, il existe

P_{n} \in R [X]

tel que

\forall t \in R_{+}^{*}, f^{(n)} (t) = \frac{P _{n} ( t ) e ^{- 1/ t}}{t ^{2 n}}

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50. $Centrale MP$

Soient

f

dérivable sur un intervalle

I

à valeurs dans

R

A

B

deux points distincts de sa courbe représentative

C

tels que

B

est sur la tangente à

C

A

. Montrer qu'il existe un point

M

C

, distinct de

A

, tel que

A

est sur la tangente à

C

M

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51. $Théorème de Cayley-Hamilton$

On munit

M_{n} (C)

d'une norme d'algèbre

∥ \cdot ∥

. On se donne

A \in M_{n} (C)

Q1-On suppose dans cette question que

∥ A ∥ < 1

. Montrer que

I_{n} - A

est inversible et que

(I_{n} - A)^{- 1} = k = 0 \sum + \infty A^{k}

Q2-Soit

z \in C

tel que

∣ z ∣ > ∥ A ∥

. Montrer que

z I_{n} - A

est inversible et exprimer son inverse sous la forme d'une somme de série.

Q3-Soit

r \in R

tel que

r > ∥ A ∥

. Justifier que

\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} (r e^{i θ})^{k + 1} (r e^{i θ} I_{n} - A)^{- 1} d θ = A^{k}

Q4-Justifier que

χ_{A} (A) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} r e^{i θ} com (r e^{i θ} - A)^{⊤} d θ

Q5-En déduire une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton.

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52. $Intégrale vectorielle et majoration$

Soit

E

un espace vectoriel de dimension finie et

f : [a, b] \to E

de classe

C^{1}

Q1-On suppose

f (a) = 0

. Montrer que

\int_{a}^{b} f (t) d t \leq \frac{( b - a ) ^{2}}{2} t \in [a, b] max ∥ f^{'} (t) ∥

Q2-On suppose maintenant que

f (a) = f (b) = 0

. Montrer que

\int_{a}^{b} f (t) d t \leq \frac{( b - a ) ^{2}}{4} t \in [a, b] max ∥ f^{'} (t) ∥

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53. $Équivalent d'une somme de racines$

Déterminer un équivalent de

u_{n} = 1 n - 1 + 2 n - 2 + \dots + n - 2 2 + n - 1 1

quand

n

tend vers

+ \infty

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54. $X PC 2012$

Montrer que

X^{2 n} - 1 = (X^{2} - 1) k = 1 \prod n - 1 (X^{2} - 2 X cos \frac{k π}{n} + 1)

En déduire pour

r > 1

\int_{- π}^{π} ln 1 - r e^{i θ} d θ

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55. $Limites via sommes de Riemann$

On étudie la convergence de deux suites réelles construites l'une à partir d'une somme de Riemann, l'autre à partir d'un quotient de factorielles, dont on précisera la limite dans chaque cas.

Q1-On pose

S_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n ln (1 + \frac{k}{n})

pour

n \in N^{*}

. Montrer que la suite

(S_{n})

converge vers un réel à préciser.

Q2-On pose

u_{n} = (\frac{4 ^{n} n ^{n} n !}{( 2 n )!})^{1/ n}

pour

n \in N^{*}

. Montrer que la suite

(u_{n})

converge vers un réel à préciser.

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56. $Somme de Riemann d'un produit$

Soient

f : [0, 1] \to R

une fonction continue et

g : [0, 1] \to R

une fonction de classe

C^{1}

à valeurs dans

R

. Démontrer que

n \to + \infty lim \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 f (\frac{k}{n}) g (\frac{k + 1}{n}) = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t

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57. $Inégalité de Jensen$

Soient

f

une fonction continue sur

[a, b]

φ

une fonction continue et convexe sur

f ([a, b])

. Montrer que

φ (\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t) \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} φ \circ f (t) d t

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58. $Somme et Taylor-Lagrange$

Soit

f

une fonction de classe

C^{2}

sur

[0, 1]

nulle en

0

. On pose

S_{n} = k = 0 \sum n f (\frac{k}{n ^{2}})

pour

n \geq 1

. Étudier la limite de

(S_{n})

. On pourra utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange.

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59. $Minoration des dérivées successives$

Soit

f : R_{+} \to R

de classe

C^{\infty}

tel que

f (0) = 1

\forall x \geq \frac{1}{2}, f (x) = 0

Q1-Montrer que

\forall n \in N, R_{+} sup f^{(n)} \geq 2^{n} n!

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60. $Nullité via majoration des dérivées$

Soit

f : R \to R

de classe

C^{\infty}

telle que

\forall n \in N, f^{(n)} (0) = 0

. On suppose de plus que :

\exists λ > 0, \forall n \in N, R sup f^{(n)} \leq λ^{n} n!

Montrer que

f

est nulle sur

] - \frac{1}{λ}, \frac{1}{λ} [

puis sur

R

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61. $Formule de Taylor-Lagrange$

Soit

f

une fonction de classe

C^{n}

sur

[a, b]

n + 1

fois dérivable sur

] a, b [

. Montrer qu'il existe

c \in] a, b [

tel que

f (b) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (b - a)^{k} + \frac{f ^{(n + 1)} ( c )}{( n + 1 )!} (b - a)^{n + 1}

On appliquera le théorème de Rolle à la fonction

φ

définie par

φ (x) = f (b) - k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( x )}{k !} (b - x)^{k} + \frac{A ( b - x ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

avec une constante

A

bien choisie.

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62. $Convergence de u_{n} vers ln 2$

On pose

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k}

pour

n \geq 1

Q1-Soit

f : x \mapsto ln (1 + x)

. Déterminer par récurrence une expression de

f^{(n)}

pour tout

n \in N^{*}

Q2-En appliquant l'inégalité de Taylor-Lagrange entre

0

1

, montrer que

∣ u_{n} - ln (2) ∣ \leq \frac{1}{n + 1}

pour tout

n \in N^{*}

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63. $Inégalité de Hadamard$

Soit

f

une fonction de classe

C^{2}

sur

R

. On suppose que

f

f^{'}

f^{''}

sont bornées sur

R

et on pose

M_{0} = t \in R sup ∣ f (t) ∣, M_{1} = t \in R sup ∣ f^{'} (t) ∣, M_{2} = t \in R sup ∣ f^{''} (t) ∣

On souhaite montrer que

M_{1} \leq 2 M_{0} M_{2}

Q1-Démontrer l'inégalité demandée dans le cas où

M_{0} = 0

M_{2} = 0

. Dans la suite de l'énoncé on supposera

M_{0}

M_{2}

strictement positifs.

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64. $Fonctions absolument monotones$

Soient

R > 0

f : I \to R

de classe

C^{\infty}

avec

I =] - R, R [

. On suppose que

\forall n \in N, \forall x \in I, f^{(n)} (x) \geq 0

Pour

n \in N

x \in I

, on pose

S_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k}

R_{n} (x) = f (x) - S_{n} (x)

Q1-Soit

r \in] 0, R [

x \in] - r, r [

. Montrer que

∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{r ^{n + 1}} R_{n} (r)

pour tout

n \in N

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65. $Suite récurrente et point fixe e^{- 1}$

On considère la fonction

g : x \in] 0, 1] \mapsto x ln (x)

Q1-Montrer que

g

est prolongeable par continuité en

0

. On note encore

g

ce prolongement.

Q2-Étudier brièvement les variations de

g

sur

[0, 1]

Q3-On définit la suite

(t_{n})_{n \in N}

par

t_{0} \in] e^{- 1/3}, e^{- 1} [

t_{n + 1} = - g (t_{n})

pour tout

n \in N

.
Montrer que pour tout

n \in N

t_{0} \leq t_{n} \leq e^{- 1}

Q4-Montrer que pour tout

x \in [t_{0}, e^{- 1}]

g (x) - g (e^{- 1}) \leq \frac{∣ x - e ^{- 1} ∣ ^{2}}{2 t _{0}}

Q5-En déduire que pour tout

n \in N^{*}

t_{n} - e^{- 1} \leq 2 t_{0} (\frac{e ^{- 1} - t _{0}}{2 t _{0}})^{2^{n}}

Q6-En déduire la limite de la suite

(t_{n})

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42.Déterminant et accroissements finis

43.Fonction dérivable et linéarité

44.Formule exp(A+B)=exp(A)exp(B)

45.Colinéarité de f′(c) à f(b)−f(a)

46.Mouvement à force centrale

47.Dérivée du déterminant, comatrice

48.Dérivées successives de arctan

49.Fonction e−1/t de classe C∞

50.Centrale MP

51.Théorème de Cayley-Hamilton

52.Intégrale vectorielle et majoration

53.Équivalent d'une somme de racines

54.X PC 2012

55.Limites via sommes de Riemann

56.Somme de Riemann d'un produit

57.Inégalité de Jensen

58.Somme et Taylor-Lagrange

59.Minoration des dérivées successives

60.Nullité via majoration des dérivées

61.Formule de Taylor-Lagrange

62.Convergence de un​ vers ln2

63.Inégalité de Hadamard

64.Fonctions absolument monotones

65.Suite récurrente et point fixe e−1

42. $Déterminant et accroissements finis$

43. $Fonction dérivable et linéarité$

44. $Formule exp (A + B) = exp (A) exp (B)$

45. $Colinéarité de f^{'} (c) à f (b) - f (a)$

46. $Mouvement à force centrale$

47. $Dérivée du déterminant, comatrice$

48. $Dérivées successives de arctan$

49. $Fonction e^{- 1/ t} de classe C^{\infty}$

50. $Centrale MP$

51. $Théorème de Cayley-Hamilton$

52. $Intégrale vectorielle et majoration$

53. $Équivalent d'une somme de racines$

54. $X PC 2012$

55. $Limites via sommes de Riemann$

56. $Somme de Riemann d'un produit$

57. $Inégalité de Jensen$

58. $Somme et Taylor-Lagrange$

59. $Minoration des dérivées successives$

60. $Nullité via majoration des dérivées$

61. $Formule de Taylor-Lagrange$

62. $Convergence de u_{n} vers ln 2$

63. $Inégalité de Hadamard$

64. $Fonctions absolument monotones$

65. $Suite récurrente et point fixe e^{- 1}$