Exercices de Ensembles et applications en maths Sup (prépa)

1. $Appartenance et inclusion dans E$

2. $Extension et compréhension$

Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu'il réunit les éléments d'un ensemble vérifiant une propriété. Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu'on cite ses éléments. Par exemple,

{n \in Z ∣ \exists k \in Z, n = 2 k}

{2 k ∣ k \in Z}

sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l'ensemble des entiers pairs.

Q1-Décrire en compréhension et en extension l'ensemble

{1, 3, 5, 7, \dots}

Q2-Décrire en compréhension et en extension l'ensemble

{1, 10, 100, 1000, \dots}

Q3-Décrire en extension l'ensemble des nombres rationnels

Q4-Décrire en compréhension l'ensemble

] 0, 1]

Q5-Décrire en compréhension et en extension l'ensemble des valeurs prises par une fonction

f : R \to R

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3. $Parties itérées de {a}$

Décrire

P (P ({a}))

où

a

désigne un élément.

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4. $Complémentaire et soustraction$

Étant donné

A

B

deux parties de

E

, justifier

∁_{E} A ∖ ∁_{E} B = B ∖ A

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5. $Caractérisation de l'inclusion$

Étant donné

A

B

C

trois parties de

E

, justifier les équivalences suivantes :

Q1-

A \subset B \Leftrightarrow A \cup B = B

Q2-

A = B \Leftrightarrow A \cap B = A \cup B

Q3-

A \cup B = A \cap C \Leftrightarrow B \subset A \subset C

Q4-

{A \cup B = A \cup C A \cap B = A \cap C \Leftrightarrow B = C

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6. $Différence symétrique : propriétés$

Soient

A

B

deux parties de

E

, on appelle différence symétrique de

A

B

, l'ensemble

A △ B = (A ∖ B) \cup (B ∖ A)

Montrer

A △ B = (A \cup B) ∖ (A \cap B)

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7. $Algèbre de la différence symétrique$

Étant données

A

B

C

trois parties d'un ensemble

E

, montrer que :

Q1-

A △ B = A △ C \Leftrightarrow B = C

Q2-

A ∖ B = A \Leftrightarrow B ∖ A = B

Q3-

A △ B = A \cap B \Rightarrow A = B = \emptyset

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8. $Équation A \cap X = B$

Soient

A

B

deux parties de

E

.
Discuter et résoudre l'équation

A \cap X = B

d'inconnue

X \in P (E)

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9. $Fonction caractéristique de A$

Soit

A

une partie d'un ensemble

E

. On appelle fonction caractéristique de la partie

A

dans

E

, l'application

1_{A} : E \to R

définie par :

1_{A} (x) = {10 si x \in A sinon

De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions caractéristiques ?

Q1-

min (1_{A}, 1_{B})

Q2-

max (1_{A}, 1_{B})

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10. $Injectivité et bijectivité de f, g$

Soient

f : N \to N

g : N \to N

les applications définies par :

\forall k \in N, f (k) = 2 k et g (k) = {k /2 (k - 1) /2 si k est pair si k est impair

Q1-Étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de

f

et de

g

Q2-Préciser les applications

g \circ f

f \circ g

. Étudier leur injectivité, surjectivité et bijectivité

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11. $Bijection N \to Z$

Soit

f : N \to Z

définie par

f (n) = ⎩ ⎨ ⎧ n /2 - \frac{n + 1}{2} si n est pair sinon

Montrer que

f

est bien définie et bijective.

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12. $Compositions et bijectivité$

Soient

E

F

G

trois ensembles,

f : E \to F

g : F \to G

h : G \to E

.
Établir que si

h \circ g \circ f

est injective et que

g \circ f \circ h

f \circ h \circ g

sont surjectives alors

f

g

h

sont bijectives.

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13. $Bijectivité via f \circ g \circ f$

Soient

f : E \to F

g : F \to E

deux applications telles que

f \circ g \circ f

soit bijective.
Montrer que

f

g

sont bijectives.

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14. $Injectivité et égalité de f_{1}, f_{2}$

Soient

E

F

G

trois ensembles,

f_{1}, f_{2} : E \to F

g : F \to G

.
On suppose

g \circ f_{1} = g \circ f_{2}

g

injective. Montrer que

f_{1} = f_{2}

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15. $Surjectivité et égalité de g_{1}, g_{2}$

Soient

E

F

G

trois ensembles,

f : E \to F

g_{1}, g_{2} : F \to G

.
On suppose

f

surjective et

g_{1} \circ f = g_{2} \circ f

. Montrer que

g_{1} = g_{2}

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16. $Image directe et image réciproque$

Décrire l'image directe de

R

par la fonction exponentielle.
Déterminer l'image réciproque de l'intervalle

[- 1, 4]

par la fonction

f : x \mapsto x^{2}

définie sur

R

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17. $Inclusions image directe/réciproque$

Soit

f : E \to F

une application.
Établir

\forall A \in P (E), A \subset f^{- 1} (f (A)) et \forall B \in P (F), f (f^{- 1} (B)) \subset B

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18. $Injectivité et image d'intersection$

Soient

E

F

deux ensembles et

f : E \to F

.
Montrer que

f

est injective si, et seulement si,

\forall A, A^{'} \in P (E), f (A \cap A^{'}) = f (A) \cap f (A^{'})

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19. $Injectivité, surjectivité et images$

Soit

f : E \to F

une application. Montrer que :

Q1-

f

est injective

\Leftrightarrow \forall A \in P (E), A = f^{- 1} (f (A))

Q2-

f

est surjective

\Leftrightarrow \forall B \in P (F), f (f^{- 1} (B)) = B

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20. $Partition par une surjection$

Soit

f : E \to I

une application surjective. On pose, pour tout

i \in I

A_{i} = f^{- 1} ({i})

.
Montrer que les

A_{i}

sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale à

E

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21. $Croissant et involutif$

Soit

f : R \to R

une application croissante telle que

f \circ f = Id_{R}

. Prouver que

f = Id_{R}

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22. $Équation f + f \circ f + f^{3} = 3 id$

Déterminer les applications

f : N \to N

telles que :

\forall n \in N, f (n) + f (f (n)) + f (f (f (n))) = 3 n

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23. $Application satisfaisant f (m + f (n))$

Soit

f

une application de

N

dans

N

vérifiant

f (1) = 1

et telle que

\forall (m, n) \in N^{2}, f (m + f (n)) = f (f (m)) + f (n)

On rappelle que

Im f = f (N)

et on note

F

l'ensemble des points fixes de

f

, c'est-à-dire

F = {a \in N, f (a) = a}

Q1-Montrer que

f (0) = 0

Q2-En déduire que

f \circ f = f

Q3-Montrer que

Im f = F

Q4-Montrer que pour tout

a \in F

a + 1 \in F

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24. $Quizz$

Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?

Q1-

f_{1} : R ⟶ R, x ⟼ f_{1} (x) = ∣ x - 2∣

;

Q2-

f_{2} : R ⟶ R, x ⟼ f_{2} (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}

;

Q3-

f_{3} : R_{+} ⟶ R, x ⟼ f_{3} (x) = \frac{3 x + 1}{4 x + 1}

;

Q4-

f_{4} : R ⟶ R, x ⟼ x^{3}

;

Q5-

f_{5} : C ⟶ C, x ⟼ x^{3}

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25. $Application Ψ et parties de E$

Soient

E

un ensemble,

A

B

deux parties fixées de

E

, et

Ψ

l'application de

P (E)

dans

P (A) \times P (B)

définie par

\forall X \subset E, Ψ (X) = (X \cap A, X \cap B) .

Q1-Etude de l'injectivité de

Ψ

.
a. Calculer

Ψ (\emptyset)

.
b. Calculer

Ψ (A \cup B)

.
c. Prouver que

Ψ

est injective si et seulement si

A \cup B = E

Q2-Etude de la surjectivité de

Ψ

.
a. Le couple

(\emptyset, B)

admet-il un antécédent par

Ψ

?
b. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur

A

B

E

pour que

Ψ

soit surjective.

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26. $Etude d’une application$

Soit

f : N \to N

définie par

{f (n) = \frac{n}{2} f (n) = \frac{n + 1}{2} si n est pair, si n est impair.

Etudier l'injectivité et la surjectivité de

f

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27. $Application sur les parties de E$

Soit

E

un ensemble non vide et

A

B

deux parties de

E

Q1-Montrer que si

A \cap B = \emptyset

, alors pour toute partie

X

E

(X \cup A) \cap (X \cup B) = X

Q2-Soit l'application

f : {P (E) ⟶ P (E)^{2} X ⟼ (X \cup A, X \cup B)

.
a. Montrer que

f

n'est pas surjective.
b. Montrer que

f

est injective si et seulement si

A \cap B = \emptyset

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28. $Injection majorée par l'identité$

Soit

f : N \to N

une application injective, telle que

\forall n \in N, f (n) \leq n

. Montrer que

\forall n \in N, f (n) = n .

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29. $Bijection du cercle unité$

Soit

α \in C ∖ U

. Pour

z \in C

tel que

α z + 1 \neq = 0

, on pose

f (z) = \frac{z + α}{α z + 1}

Q1-Montrer que

f

est définie sur

U

Q2-Soit

z \in C

tel que

α z + 1 \neq = 0

. Montrer que

z \in U

si et seulement si

f (z) \in U

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30. $Injectivité via f (A \cap B)$

Soit

f : E \to F

une application. Montrer que

f

est injective si et seulement si

f (A \cap B) = f (A) \cap f (B)

pour tout couple

(A, B) \in P (E)^{2}

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31. $Involutions et bijectivité$

Soient

f

g

deux applications d'un ensemble

E

dans lui-même, telles que

g \circ f \circ g = f

f \circ g \circ f = g

Q1-On suppose que

f

est injective. Démontrer que

f

g

sont bijectives.

Q2-On suppose que

g

est surjective. Démontrer que

f

g

sont bijectives.

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32. $Inversion du plan complexe$

Le plan

P

est muni d'un repère orthonormé direct.

A

est le point d'affixe 2. On définit une application

T : P ∖ {A} \to P

qui au point d'affixe

z

associe le point d'affixe

f (z) = 2 z + 3 + \frac{6}{z - 2}

Q1-Étudier l'injectivité et la surjectivité de

T

Q2-Déterminer l'ensemble des points de

P

invariants par

T

Q3-Deux points

m

m^{'}

, d'affixes respectifs

z

z^{'}

, sont dits associés s'ils ont la même image par

T

. Montrer que les points

m

m^{'}

, d'affixes respectifs

z

z^{'}

, sont associés si et seulement si

z = z^{'}

(z - 2) (z^{'} - 2) = 3

Voir le corrigé

On a

f (z) = 2 z + 3 + \frac{6}{z - 2}

pour

z \neq = 2

.

1. Injectivite et surjectivite de $T$ .

Supposons

f (z) = f (z^{'})

avec

z, z^{'} \neq = 2

2 z + 3 + \frac{6}{z - 2} = 2 z^{'} + 3 + \frac{6}{z ^{'} - 2}

2 (z - z^{'}) + 6 (\frac{1}{z - 2} - \frac{1}{z ^{'} - 2}) = 0

2 (z - z^{'}) - \frac{6 ( z - z ^{'} )}{( z - 2 ) ( z ^{'} - 2 )} = 0

(z - z^{'}) (2 - \frac{6}{( z - 2 ) ( z ^{'} - 2 )}) = 0

Donc

z = z^{'}

(z - 2) (z^{'} - 2) = 3

T

n'est pas injective : par exemple

z = 3

z^{'} = 5

verifient

(3 - 2) (5 - 2) = 3

et sont distincts.

Pour la surjectivite : soit

w \in C

. On cherche

z \neq = 2

tel que

f (z) = w

, i.e.

2 z + 3 + \frac{6}{z - 2} = w

. Posons

u = z - 2

(

u \neq = 0

) :

2 (u + 2) + 3 + \frac{6}{u} = w

, soit

2 u + 7 + \frac{6}{u} = w

, i.e.

2 u^{2} + (7 - w) u + 6 = 0

. Le discriminant est

Δ = (7 - w)^{2} - 48 = w^{2} - 14 w + 1

. Cette equation a toujours des solutions dans

C

(discriminant d'une equation du second degre dans

C

). Il faut verifier que

u \neq = 0

u = 0

ssi

6 = 0

, impossible. Donc il existe toujours un antecedent.

T

est surjective.

2. Points fixes de $T$ .
On cherche

z \neq = 2

tel que

f (z) = z

2 z + 3 + \frac{6}{z - 2} = z

, soit

z + 3 + \frac{6}{z - 2} = 0

. En posant

u = z - 2

u + 5 + \frac{6}{u} = 0

, i.e.

u^{2} + 5 u + 6 = 0

, soit

(u + 2) (u + 3) = 0

. Donc

u = - 2

u = - 3

, i.e.

z = 0

z = - 1

. Les points fixes sont les points d'affixes

0

- 1

.

3. Points associes.
Deux points

m (z)

m^{'} (z^{'})

sont associes ssi

f (z) = f (z^{'})

. D'apres le calcul de la question 1,

f (z) = f (z^{'})

ssi

z = z^{'}

(z - 2) (z^{'} - 2) = 3

.

4. $T (E)$ ou $E$ est l'axe reel prive de $A$ .
Si

z \in R ∖ {2}

, alors

f (z) = 2 z + 3 + \frac{6}{z - 2} \in R

. Donc

T (E) \subset R

.

Pour

z

reel,

z \neq = 2

: posons

u = z - 2 \in R^{*}

. Alors

f (z) = 2 u + 7 + \frac{6}{u}

. Etudions

g (u) = 2 u + \frac{6}{u} + 7

sur

R^{*}

.
- Sur

] 0, + \infty [

g^{'} (u) = 2 - \frac{6}{u ^{2}}

g^{'} (u) = 0

ssi

u = 3

g (3) = 23 + \frac{6}{3} + 7 = 23 + 23 + 7 = 43 + 7

0^{+} lim g = + \infty

+ \infty lim g = + \infty

, minimum

43 + 7

. Donc

g (] 0, + \infty [) = [43 + 7, + \infty [

.
- Sur

] - \infty, 0 [

g^{'} (u) = 0

ssi

u = - 3

g (- 3) = - 43 + 7

- \infty lim g = - \infty

0^{-} lim g = - \infty

, maximum

- 43 + 7 = 7 - 43

. Donc

g (] - \infty, 0 [) =] - \infty, 7 - 43]

.

Finalement

T (E) =] - \infty, 7 - 43] \cup [7 + 43, + \infty [

.

5. $T^{- 1} ([B C])$ .
Les points

B

C

ont pour affixes

7 - 43

7 + 43

. Le segment

[B C]

est le segment reel

[7 - 43, 7 + 43]

.

On cherche

z \in C ∖ {2}

tel que

f (z) \in [7 - 43, 7 + 43]

. D'apres la question 4, pour

z

reel :

T (E) \cap [7 - 43, 7 + 43] = {7 - 43, 7 + 43}

, qui correspondent a

u = - 3

(

z = 2 - 3

) et

u = 3

(

z = 2 + 3

).

Pour les points associes : les antecedents de

z = 2 - 3

sont

z

z^{'}

avec

(z^{'} - 2) (- 3) = 3

z^{'} = 2 - 3

(le meme). De meme pour

z = 2 + 3

(z^{'} - 2) 3 = 3

z^{'} = 2 + 3

.

Pour

w \in] 7 - 43, 7 + 43 [

, l'equation

2 u^{2} - (w - 7) u + 6 = 0

a un discriminant

Δ = (w - 7)^{2} - 48 < 0

(car

∣ w - 7∣ < 43

). Les solutions sont complexes conjuguees :

u = \frac{( w - 7 ) \pm i 48 - ( w - 7 ) ^{2}}{4}

, donc

z = 2 + u

est non reel.

On a

∣ u ∣^{2} = \frac{( w - 7 ) ^{2} + 48 - ( w - 7 ) ^{2}}{16} = 3

, donc

∣ z - 2∣ = 3

.

Ainsi

T^{- 1} ([B C])

est le cercle de centre

A (2)

et de rayon

3

, i.e.

{z \in C : ∣ z - 2∣ = 3}

33. $Injectivité de e^{z} \pm e^{- z}$

Q1-Soit

f : {C ⟶ C z ⟼ e^{z} + e^{- z}

est-elle injective ? surjective ? Déterminer

f (R)

f (i R)

Q2-Soit

f : {C ⟶ C z ⟼ e^{z} - e^{- z}

est-elle injective ? surjective ? Déterminer

f (R)

f (i R)

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34. $Bijectivité (m, n) \mapsto 2^{m} (2 n + 1)$

Soit

f : {N^{2} ⟶ N^{*} (m, n) ⟼ 2^{m} (2 n + 1)

. Montrer que

f

est bijective.

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1.Appartenance et inclusion dans E

2.Extension et compréhension

3.Parties itérées de {a}

4.Complémentaire et soustraction

5.Caractérisation de l'inclusion

6.Différence symétrique : propriétés

7.Algèbre de la différence symétrique

8.Équation A∩X=B

9.Fonction caractéristique de A

10.Injectivité et bijectivité de f, g

11.Bijection N→Z

12.Compositions et bijectivité

13.Bijectivité via f∘g∘f

14.Injectivité et égalité de f1​, f2​

15.Surjectivité et égalité de g1​, g2​

16.Image directe et image réciproque

17.Inclusions image directe/réciproque

18.Injectivité et image d'intersection

19.Injectivité, surjectivité et images

20.Partition par une surjection

21.Croissant et involutif

22.Équation f+f∘f+f3=3id

23.Application satisfaisant f(m+f(n))

24.Quizz

25.Application Ψ et parties de E

26.Etude d’une application

27.Application sur les parties de E

28.Injection majorée par l'identité

29.Bijection du cercle unité

30.Injectivité via f(A∩B)

31.Involutions et bijectivité

32.Inversion du plan complexe

33.Injectivité de ez±e−z

34.Bijectivité (m,n)↦2m(2n+1)

1. $Appartenance et inclusion dans E$

2. $Extension et compréhension$

3. $Parties itérées de {a}$

4. $Complémentaire et soustraction$

5. $Caractérisation de l'inclusion$

6. $Différence symétrique : propriétés$

7. $Algèbre de la différence symétrique$

8. $Équation A \cap X = B$

9. $Fonction caractéristique de A$

10. $Injectivité et bijectivité de f, g$

11. $Bijection N \to Z$

12. $Compositions et bijectivité$

13. $Bijectivité via f \circ g \circ f$

14. $Injectivité et égalité de f_{1}, f_{2}$

15. $Surjectivité et égalité de g_{1}, g_{2}$

16. $Image directe et image réciproque$

17. $Inclusions image directe/réciproque$

18. $Injectivité et image d'intersection$

19. $Injectivité, surjectivité et images$

20. $Partition par une surjection$

21. $Croissant et involutif$

22. $Équation f + f \circ f + f^{3} = 3 id$

23. $Application satisfaisant f (m + f (n))$

24. $Quizz$

25. $Application Ψ et parties de E$

26. $Etude d’une application$

27. $Application sur les parties de E$

28. $Injection majorée par l'identité$

29. $Bijection du cercle unité$

30. $Injectivité via f (A \cap B)$

31. $Involutions et bijectivité$

32. $Inversion du plan complexe$

33. $Injectivité de e^{z} \pm e^{- z}$

34. $Bijectivité (m, n) \mapsto 2^{m} (2 n + 1)$