Exercices de Ensembles et applications en maths Sup (prépa) (page 2) | The Maths Tailor
Exercices de Ensembles et applications, Sup (prépa) (page 2)
64 exercices de Ensembles et applications pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Applications : définitions ensemblistes, Composition, Image directe, image réciproque, Restriction et prolongement.
Dans chacun des cas suivants, déterminer l'image de l'ensemble I par la fonction f :
Q1-I=[−5,1[ et f(x)=1−x5x−2.
Q2-I=[21,1[ et f(x)=1−x5x2−1.
Q3-I=]−1,1[ et f(x)=(x−1)(x+1)1.
Q4-I=]1,+∞[ et f(x)=(1−x)31.
Q5-I=]−π,π[∖{−2π;2π} et f(x)=tanx.
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1. I=[−5,1[ et f(x)=1−x5x−2.
On ecrit f(x)=1−x5x−2=1−x−5(1−x)+3=−5+1−x3.
Sur I=[−5,1[, 1−x∈]0,6], donc 1−x3∈[21,+∞[, et f(x)∈[−29,+∞[.
Verification : f(−5)=6−27=−29. x→1−limf(x)=+∞. f est strictement croissante sur I (car f′(x)=(1−x)23>0).
Donc f(I)=[−29,+∞[.
2. I=[21,1[ et f(x)=1−x5x2−1.
On calcule f′(x)=(1−x)210x(1−x)+(5x2−1)=(1−x)2−5x2+10x−1.
Le numerateur −5x2+10x−1 a pour discriminant Δ=100−20=80, racines x=1010±45=1±525. La plus petite racine est 1−525≈1−0.894=0.106<21. Donc sur [21,1[, f′(x)>0 et f est strictement croissante.
f(21)=1/25/4−1=1/21/4=21. x→1−limf(x)=+∞ (car 5x2−1→4>0 et 1−x→0+).
Donc f(I)=[21,+∞[.
3. I=]−1,1[ et f(x)=(x−1)(x+1)1=x2−11.
Sur ]−1,1[, x2−1<0, donc f(x)<0. On a f(x)=x2−11.
f′(x)=(x2−1)2−2x. f′(x)=0 ssi x=0. f(0)=−1 (maximum de f sur I car f′ change de signe de + a − en 0).
x→±1limf(x)=−∞.
Donc f(I)=]−∞,−1].
4. I=]1,+∞[ et f(x)=(1−x)31.
Sur ]1,+∞[, 1−x<0 donc (1−x)3<0 et f(x)<0.
f(x)=(x−1)3−1. Quand x→1+, (x−1)3→0+, donc f(x)→−∞. Quand x→+∞, f(x)→0−. f est strictement croissante sur ]1,+∞[ (car f′(x)=(x−1)43⋅11... calculons : f(x)=(1−x)−3, f′(x)=−3(1−x)−4⋅(−1)=(1−x)43>0).
Donc f(I)=]−∞,0[.
5. I=]−π,π[∖{−2π,2π} et f(x)=tanx.
Sur ]−π,−2π[, tan est continue et strictement croissante, −π+limtan=0− (en fait tan(−π)=0)... Precisons : - Sur ]−2π,2π[, tan parcourt R. - Sur ]−π,−2π[, tan est strictement croissante, x→−π+limtanx=tan(−π)=0 (pas une limite, tan(−π)=0), mais −π∈/I (borne ouverte). x→(−π)+limtanx=0+ (car cosx→−1 et sinx→0+ pour x→−π+, donc tanx→0−). En fait sin(−π+ϵ)=sin(ϵ)>0 pour petit ϵ>0 (non, sin(−π+ϵ)=sin(ϵ)... non : sin(−π+ϵ)=−sin(π−ϵ)=−sin(ϵ) pour ϵ>0 petit. Et cos(−π+ϵ)=−cos(ϵ)<0). Donc tan(−π+ϵ)=−cosϵ−sinϵ=tanϵ→0+.
Mais x→(−π/2)−limtanx=+∞. Donc tan(]−π,−2π[)=]0,+∞[.
- Sur ]2π,π[, x→(π/2)+limtanx=−∞, x→π−limtanx=0−. Donc tan(]2π,π[)=]−∞,0[.
Au total : f(I)=R.
36.Images et bijectivité
Soit f:E→F.
Q1-Montrer que f est injective si et seulement si pour toute partie A de E, f−1(f(A)))=A.
Q2-Montrer que f est surjective si et seulement si pour toute partie B de F, f(f−1(B))=B.
Soit f l'application de C∗ dans C définie par f(z)=zˉ1.
Q1-f est-elle injective ? surjective ?
Q2-On considère les ensembles E={z∈C∣∣z−1∣=1} et F={z∈C∣Re z=21}. a. Si on identifie C au plan, donner la nature géométrique de E et F, et donner leurs équations cartésiennes. b. Vérifier que f(E∖{0})⊂F. c. Montrer que f induit une bijection de E∖{0} sur F.
Soit f:E→F une application et B une partie de F. Dans la notation f−1(B) de l'image réciproque de B par f, le symbole f−1 ne désigne pas la bijection réciproque de f : en effet, si f n'est pas bijective, f−1 n'a pas de sens comme application, alors que f−1(B) en a toujours un. En revanche, si f est bijective, f−1 a un sens et f−1(B) peut alors désigner deux choses : l'image réciproque de B par f, ou l'image directe de B par la bijection f−1. On suppose f bijective de E sur F. On note IR l'image réciproque de B par f et ID l'image directe de B par f−1. Montrer que IR=ID.
60.Surjections de N à nombre d'antécédents prescrit
Construire une surjection de N sur lui-même pour laquelle chaque entier possède exactement p⩾1 antécédents. En construire une pour laquelle chaque entier possède une infinité d'antécédents.
Soit E un ensemble quelconque. Montrer qu'il n'existe pas de bijection de E sur P(E). (On pourra supposer par l'absurde qu'une telle bijection f existe, puis considérer A={x∈E∣x∈/f(x)}.)
