Exercices de Arithmétique des entiers relatifs en maths Sup (prépa) (page 2)

42. $Fermat : premiers deux à deux$

On admet la propriété suivante : pour tout

n \in N^{*}

F_{0} F_{1} \dots F_{n - 1} = F_{n} - 2

, où

F_{k} = 2^{2^{k}} + 1

désigne le

k

-ième nombre de Fermat. Démontrer que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux.

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43. $Centrale — valuation p -adique$

centrale

On note

P

l'ensemble des nombres premiers. Pour tout entier

n > 0

, on note

v_{p} (n)

l'exposant de

p

dans la décomposition de

n

en facteurs premiers. On note

⌊ x ⌋

la partie entière de

x

. On note

π (x)

le nombre de nombres premiers au plus égaux à

x

Q1-Montrer

v_{p} (n!) = k = 1 \sum + \infty ⌊ \frac{n}{p ^{k}} ⌋

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44. $Divisibilité de x^{2} + y^{2} par 7$

Soient

x, y

deux entiers. Montrer que

x^{2} + y^{2}

est divisible par

7

si et seulement si

x

y

le sont.

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45. $Divisibilité par récurrence modulo$

Montrer que pour tout

n \in N

Q1-

17 ∣ 7^{8 n + 1} + 10 (- 1)^{n}

Q2-

11 ∣ 9^{5 n + 2} - 4

Q3-

6 ∣ 1 0^{3 n + 2} - 4^{n + 1}

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46. $Suite \sum k! et divisibilité$

On considère la suite

a_{n} = k = 1 \sum n k!

pour tout

n \geq 1

. Est-ce que, à partir d'un certain rang, tous les

a_{n}

sont divisibles par

9

et non-divisibles par

27

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47. $(n + 1)^{n} - 1 divisible par n^{2}$

Montrer que pour tout

n \in N

n^{2}

divise

(n + 1)^{n} - 1

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48. $Puissance de 2 divisant 5^{2^{n}} - 1$

Montrer que la plus grande puissance de

2

divisant

5^{2^{n}} - 1

est

2^{n + 2}

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49. $Critères de divisibilité usuels$

Démontrer les critères de divisibilité suivants.

Q1-Un entier est divisible par

3

si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par

3

Q2-Un entier est divisible par

9

si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par

9

Q3-Un entier est divisible par

11

si et seulement si la somme alternée de ses chiffres de rang pair moins la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par

11

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50. $5 divise 2^{3 n + 5} + 3^{n + 1}$

Montrer que pour tout

n \in N

5

divise

2^{3 n + 5} + 3^{n + 1}

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51. $Mines-Ponts MP$

Montrer que si

p

est un entier premier différent de

2

5

, alors il divise un des entiers de l'ensemble

{1, 11, 111, 1111, \dots}

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52. $Critères de divisibilité en base 10$

On établit des critères de divisibilité pour

5

4

en décomposant un entier naturel en base

10

et en étudiant les congruences des puissances de

10

Q1-Montrer qu'un entier naturel est divisible par

5

si et seulement si son chiffre des unités est

0

5

Q2-Montrer qu'un entier naturel est divisible par

4

si et seulement si l'entier formé par ses deux derniers chiffres est divisible par

4

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53. $Mines-Ponts MP 1998$

Montrer que pour tout entier

n \geq 2

et tout entier

a

impair

a^{2^{n - 1}} \equiv 1 (mod 2^{n})

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54. $Congruences simultanées$

Résoudre le système d'inconnue

x \in Z

{x \equiv 2 (mod 10) x \equiv 5 (mod 13)

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55. $Congruences incompatibles$

On étudie la compatibilité d'un système de deux congruences simultanées modulo

10

8

, en déterminant la condition d'existence des solutions et en résolvant un cas particulier.

Q1-Le système

{x \equiv 3 (mod 10) x \equiv 4 (mod 8)

d'inconnue

x \in Z

admet-il des solutions ?

Q2-Soit

(a, b) \in Z^{2}

. À quelle condition le système

{x \equiv a (mod 10) x \equiv b (mod 8)

admet-il des solutions ?

Q3-Déterminer les solutions du système

{x \equiv 4 (mod 10) x \equiv 2 (mod 8)

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56. $Reste de division euclidienne$

Déterminer le reste de la division euclidienne de

Q1-

2^{210}

par

7

Q2-

3^{2189}

par

25

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57. $pgcd de a^{n} - 1 et a^{m} - 1$

Soient

a, m, n \in N^{*}

avec

a \geq 2

d = (a^{n} - 1) \land (a^{m} - 1)

Q1-Soit

n = q m + r

la division euclidienne de

n

par

m

. Démontrer que

a^{n} \equiv a^{r} (mod a^{m} - 1)

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58. $Reste de a^{2} modulo 8$

Soit

a \in Z

. Montrer que le reste de la division euclidienne de

a^{2}

par

8

est

0

1

4

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59. $Quotient et puissances itérées$

Soient

a, b \in N^{*}

. On note

q

le quotient de la division euclidienne de

a - 1

par

b

. Pour

n \in N

, déterminer le quotient de la division euclidienne de

a b^{n} - 1

par

b^{n + 1}

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60. $n + 1 divise n^{2} + 1$

Déterminer tous les entiers

n \in N

tels que

n + 1

divise

n^{2} + 1

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61. $Reste de 2^{2020} modulo 7$

Quel est le reste de la division euclidienne de

2^{2020}

par

7

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62. $Bézout dans N^{2}$

Soient

a

b

deux entiers naturels premiers entre eux avec

b \geq 2

. Montrer qu'il existe un unique couple

(u_{0}, v_{0}) \in N^{2}

vérifiant :

u_{0} a - v_{0} b = 1, u_{0} < b, v_{0} < a

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63. $Équations diophantiennes$

Résoudre dans

Z^{2}

les équations suivantes :

Q1-

221 x + 247 y = 52

Q2-

323 x - 391 y = 612

Q3-

198 x + 216 y = 36

Voir le corrigé

1) $221 x + 247 y = 52$ .

221 = 13 \times 17

247 = 13 \times 19

, donc

221 \land 247 = 13

. Comme

52 = 4 \times 13

, on a

13 ∣ 52

. On divise par

13

17 x + 19 y = 4

.

Par l'algorithme d'Euclide :

19 = 1 \times 17 + 2

puis

17 = 8 \times 2 + 1

. En remontant :

1 = 17 - 8 \times 2 = 17 - 8 (19 - 17) = 9 \times 17 - 8 \times 19

. Donc

4 = 36 \times 17 - 32 \times 19

, soit

(x_{0}, y_{0}) = (36, - 32)

solution particulière. Les solutions générales sont :

x = 36 + 19 k, y = - 32 - 17 k, k \in Z .

2) $323 x - 391 y = 612$ .

323 = 17 \times 19

391 = 17 \times 23

, donc

323 \land 391 = 17

. Comme

612 = 17 \times 36

, on a

17 ∣ 612

. On divise par

17

19 x - 23 y = 36

.

Par l'algorithme d'Euclide :

23 = 1 \times 19 + 4

19 = 4 \times 4 + 3

4 = 1 \times 3 + 1

. En remontant :

1 = 4 - 3 = 5 \times 4 - 19 = 5 \times 23 - 6 \times 19

. Donc

19 \times (- 6) - 23 \times (- 5) = 1

, et

19 \times (- 216) - 23 \times (- 180) = 36

. Solution particulière

(x_{0}, y_{0}) = (- 216, - 180)

. Solutions générales :

x = - 216 + 23 k, y = - 180 + 19 k, k \in Z .

3) $198 x + 216 y = 36$ .

198 = 2 \times 9 \times 11

216 = 8 \times 27

198 \land 216 = 18

. Comme

36 = 2 \times 18

, on divise par

18

11 x + 12 y = 2

12 - 11 = 1

, donc

11 \times (- 2) + 12 \times 2 = 2

. Solution particulière

(x_{0}, y_{0}) = (- 2, 2)

. Solutions générales :

x = - 2 + 12 k, y = 2 - 11 k, k \in Z .

64. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$

Résoudre dans

(N^{*})^{3}

l'équation

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1

65. $5 x^{2} + 2 x y - 3 = 0 dans Z^{2}$

Résoudre dans

Z^{2}

l'équation

5 x^{2} + 2 x y - 3 = 0

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66. $Centrale MP 2012$

Résoudre dans

N^{2}

l'équation

n (n + 1) (n + 2) = m^{2}

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67. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$

On se propose de résoudre l'équation

(E) : \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}

d'inconnue

(a, b, c) \in (N^{*})^{3}

68. $2^{n} + 1 = m^{3} dans N^{2}$

Résoudre l'équation

2^{n} + 1 = m^{3}

d'inconnue

(n, m) \in N^{2}

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69. $Systèmes de pgcd et ppcm$

Résoudre les systèmes

Q1-

{x \land y = 3 x \lor y = 135

Q2-

{x + y = 100 x \land y = 10

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70. $Nombres de Fibonacci$

On considère la suite

(F_{n})

définie par ses premiers termes

F_{0} = 0

F_{1} = 1

et par la relation de récurrence

F_{n + 2} = F_{n} + F_{n + 1}

pour

n \in N

Q1-Montrer que pour tout entier

n \in N^{*}

F_{n - 1} F_{n + 1} - F_{n}^{2} = (- 1)^{n}

. En déduire que

F_{n}

F_{n - 1}

sont premiers entre eux.

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71. $pgcd (a, b c) avec a \land b = 1$

Soient

a, b, c \in Z

avec

a \land b = 1

. Montrer que

a \land b c = a \land c

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72. $(a + b) \land ppcm (a, b)$

Soient

(a, b) \in Z^{2}

. On note

d = a \land b

m = a \lor b

. Que vaut

(a + b) \land m

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73. $Une formule pour le PGCD$

Soient

a

b

deux entiers naturels non nuls. Montrer que

a \land b = a + b - ab + 2 k = 1 \sum b - 1 ⌊ \frac{k a}{b} ⌋

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74. $pgcd d'une famille d'entiers$

Soient

r

un entier naturel supérieur ou égal à

2

a_{1}, \dots, a_{r}

des entiers relatifs. Pour tout

i \in [[1, r]]

, on pose

b_{i} = 1 \leq j \leq r j \neq = i \prod a_{j}

.
Montrer que les

a_{i}

sont premiers entre eux deux à deux si et seulement si les

b_{i}

sont premiers entre eux dans leur ensemble.

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75. $Nombres parfaits$

On appelle nombre parfait tout entier

n

dont la somme des diviseurs vaut

2 n

ou de manière équivalente tout entier

n

dont la somme des diviseurs stricts (i.e.

n

non compris) vaut

n

Q1-Pour

n \in N^{*}

, on notera

S (n)

la somme des diviseurs de

n

. Montrer que la fonction

S

est multiplicative, i.e. si

m \land n = 1

alors

S (mn) = S (m) S (n)

Q2-Soit

p \in N

tel que

2^{p} - 1

soit premier. Montrer que

p

est premier, puis que

n = 2^{p - 1} (2^{p} - 1)

est parfait.

Q3-Montrer que tout nombre parfait pair est de la forme

2^{p - 1} (2^{p} - 1)

où

p

est premier.

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76. $Nombres de Fermat$

On étudie les entiers premiers de la forme

2^{m} + 1

et les nombres de Fermat

F_{n} = 2^{2^{n}} + 1

, en montrant en particulier que ces derniers sont deux à deux premiers entre eux.

Q1-Soit

m \in N^{*}

tel que

2^{m} + 1

soit premier. Montrer que

m = 2^{n}

où

n \in N

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77. $Petit théorème de Fermat$

Soit

p

un nombre premier.

Q1-Montrer que pour tout

k \in [[1, p - 1]]

(k p)

est divisible par

p

Q2-En déduire que pour tout entier

n \in N

n^{p} - n

est divisible par

p

(i.e.

n^{p} \equiv n (mod p)

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78. $a^{r} - 1 premier et conséquences$

Soient

a

r

deux entiers supérieurs ou égaux à

2

. On suppose que

a^{r} - 1

est premier.

Q1-Montrer que

a

vaut

2

puis que

r

est premier.

Q2-La réciproque est-elle vraie ?

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79. $Nombres de Mersenne$

Pour

n \in N^{*}

, on appelle

n

-ième nombre de Mersenne l'entier

M_{n} = 2^{n} - 1

Q1-Soient

n \in N^{*}

a \in N^{*}

un diviseur positif de

n

. Montrer que

2^{a} - 1

divise

M_{n}

, puis en déduire que si

M_{n}

est un nombre premier alors

n

est un nombre premier.

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80. $Mines-Ponts MP 2012$

Montrer que la somme de deux nombres premiers consécutifs ne peut pas être égale au produit de deux nombres premiers.

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41.

42.Fermat : premiers deux à deux

43.Centrale — valuation p-adique

44.Divisibilité de x2+y2 par 7

45.Divisibilité par récurrence modulo

46.Suite ∑k! et divisibilité

47.(n+1)n−1 divisible par n2

48.Puissance de 2 divisant 52n−1

49.Critères de divisibilité usuels

50.5 divise 23n+5+3n+1

51.Mines-Ponts MP

52.Critères de divisibilité en base 10

53.Mines-Ponts MP 1998

54.Congruences simultanées

55.Congruences incompatibles

56.Reste de division euclidienne

57.pgcd de an−1 et am−1

58.Reste de a2 modulo 8

59.Quotient et puissances itérées

60.n+1 divise n2+1

61.Reste de 22020 modulo 7

62.Bézout dans N2

63.Équations diophantiennes

64.x1​+y1​+z1​=1

65.5x2+2xy−3=0 dans Z2

66.Centrale MP 2012

67.a1​+b1​=c1​

68.2n+1=m3 dans N2

69.Systèmes de pgcd et ppcm

70.Nombres de Fibonacci

71.pgcd(a,bc) avec a∧b=1

72.(a+b)∧ ppcm(a,b)

73.Une formule pour le PGCD

74.pgcd d'une famille d'entiers

75.Nombres parfaits

76.Nombres de Fermat

77.Petit théorème de Fermat

78.ar−1 premier et conséquences

79.Nombres de Mersenne

80.Mines-Ponts MP 2012

42. $Fermat : premiers deux à deux$

43. $Centrale — valuation p -adique$

44. $Divisibilité de x^{2} + y^{2} par 7$

45. $Divisibilité par récurrence modulo$

46. $Suite \sum k! et divisibilité$

47. $(n + 1)^{n} - 1 divisible par n^{2}$

48. $Puissance de 2 divisant 5^{2^{n}} - 1$

49. $Critères de divisibilité usuels$

50. $5 divise 2^{3 n + 5} + 3^{n + 1}$

51. $Mines-Ponts MP$

52. $Critères de divisibilité en base 10$

53. $Mines-Ponts MP 1998$

54. $Congruences simultanées$

55. $Congruences incompatibles$

56. $Reste de division euclidienne$

57. $pgcd de a^{n} - 1 et a^{m} - 1$

58. $Reste de a^{2} modulo 8$

59. $Quotient et puissances itérées$

60. $n + 1 divise n^{2} + 1$

61. $Reste de 2^{2020} modulo 7$

62. $Bézout dans N^{2}$

63. $Équations diophantiennes$

64. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$

65. $5 x^{2} + 2 x y - 3 = 0 dans Z^{2}$

66. $Centrale MP 2012$

67. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$

68. $2^{n} + 1 = m^{3} dans N^{2}$

69. $Systèmes de pgcd et ppcm$

70. $Nombres de Fibonacci$

71. $pgcd (a, b c) avec a \land b = 1$

72. $(a + b) \land ppcm (a, b)$

73. $Une formule pour le PGCD$

74. $pgcd d'une famille d'entiers$

75. $Nombres parfaits$

76. $Nombres de Fermat$

77. $Petit théorème de Fermat$

78. $a^{r} - 1 premier et conséquences$

79. $Nombres de Mersenne$

80. $Mines-Ponts MP 2012$