Exercices de Arithmétique des entiers relatifs, Sup (prépa) (page 3)

87 exercices de Arithmétique des entiers relatifs pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Introduction, Division dans ℤ, Diviseurs et multiples communs, Nombres premiers.

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Exercices 81 à 87 sur 87 · page 3 sur 3

81.

ab puissance n -ième avec pgcd 1

Soient

a

et

b

des entiers naturels non nuls premiers entre eux tels que

ab

soit une puissance

n

-ième d'entier (

n \in N

). Montrer que

a

et

b

sont des puissances

n

-ièmes d'entiers.

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82. $Parité de n et reste de n^{2}$

On montre que le carré de tout entier impair est congru à

1

modulo

8

, puis on en déduit que

p^{2} - 1

est divisible par

24

pour tout nombre premier

p > 3

.

Q1-Soit

n

un entier impair. Montrer que

n^{2} \equiv 1 (mod 8)

.

Q2-Soit

p > 3

un nombre premier. Montrer que

p^{2} - 1

est multiple de

24

.

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83. $Suite récurrente et décimales$

Soit

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} = 9

et par la relation de récurrence

u_{n + 1} = 3 u_{n}^{4} + 4 u_{n}^{3}

pour

n \in N

. Montrer que l'écriture décimale de

u_{11}

comporte plus de

2010

chiffres

9

.

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84. $Ulm MP 2001$

Soit

n \in N^{*}

et

x_{1}, \dots, x_{n} \in Z

. Montrer qu'il existe

k \in [[1, n]]

et

i_{1}, \dots, i_{k}

dans

[[1, n]]

deux à deux distincts tels que

n

divise

j = 1 \sum k x_{i_{j}}

.

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85. $Écriture dans une base$

Soit

b

un entier naturel supérieur ou égal à

2

.
Soit

n \in N

. Montrer que l'application

φ : [[0, b - 1]]^{n} ⟶ [[0, b^{n} - 1]], (a_{0}, \dots, a_{n - 1}) ⟼ k = 0 \sum n - 1 a_{k} b^{k}

est bien définie et bijective.

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86. $Mines-Ponts MP 2007$

Parmi les entiers qui s'écrivent en base

10

sous la forme

(aabb)_{10}

, déterminer ceux qui sont des carrés d'entiers.

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87. $Centrale — Chiffres de 444 4^{4444}$

centrale

Soit

A

la somme des chiffres de

444 4^{4444}

,

B

celle de

A

et enfin

C

celle de

B

. Que vaut

C

?

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81.

82.Parité de n et reste de n2

83.Suite récurrente et décimales

84.Ulm MP 2001

85.Écriture dans une base

86.Mines-Ponts MP 2007

87.Centrale — Chiffres de 44444444

82. $Parité de n et reste de n^{2}$

83. $Suite récurrente et décimales$

84. $Ulm MP 2001$

85. $Écriture dans une base$

86. $Mines-Ponts MP 2007$

87. $Centrale — Chiffres de 444 4^{4444}$