Exercices de Comparaison de fonctions en maths Sup (prépa)

1. $Équivalents de suites et limites$

Trouver un équivalent simple des suites

(u_{n})

suivantes et donner leur limite :

2. $Équivalents : différences de suites$

Trouver un équivalent simple des suites

(u_{n})

suivantes :

Q1-

u_{n} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}

Q2-

u_{n} = n + 1 - n - 1

Q3-

u_{n} = ln (n + 1) - ln (n)

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3. $Équivalents via sin, ln, cos$

Trouver un équivalent simple des suites

(u_{n})

suivantes :

Q1-

u_{n} = sin (\frac{1}{n + 1})

Q2-

u_{n} = ln (sin (\frac{1}{n}))

Q3-

u_{n} = 1 - cos (\frac{1}{n})

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4. $Équivalent simple de terme général$

Déterminer un équivalent simple de la suite dont le terme général est :

Q1-

2 n - n + 1 - n - 1

Q2-

\frac{ln ( n + 1 ) - ln n}{n + 1 - n}

Q3-

(n + 1)^{1/ (n + 1)} - n^{1/ n}

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5. $Suite u_{n} + u_{n + 1} \sim 1/ n$

Soit

(u_{n})

une suite décroissante de réels telle que

u_{n} + u_{n + 1} \sim \frac{1}{n}

Q1-Montrer que

(u_{n})

converge vers

0^{+}

Q2-Donner un équivalent simple de

(u_{n})

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6. $Stabilité des équivalents par somme$

Soient

(u_{n})

(v_{n})

(w_{n})

(t_{n})

des suites de réels strictement positifs telles que

u_{n} \sim v_{n}

w_{n} \sim t_{n}

. Montrer que

u_{n} + w_{n} \sim v_{n} + t_{n}

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7. $Équivalent de \sum_{k = 0}^{n} k!$

Pour

n \in N

, on pose

u_{n} = 0! + 1! + 2! + \dots + n! = k = 0 \sum n k!

. Montrer que

u_{n} \sim n!

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8. $Série \sum 1/ k et limite$

On pose

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}

Q1-Justifier l'encadrement

Q2-Déterminer la limite de

(S_{n})

Q3-Montrer que

u_{n} = S_{n} - 2 n

converge

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9. $Suite S_{n} = \sum 1/ k et Euler$

On étudie la suite

(S_{n})

de terme général

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}

Q1-Établir que pour tout

t > - 1

ln (1 + t) \leq t

et en déduire

ln (1 + t) \geq \frac{t}{t + 1}

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10. $Équivalent d'intégrale en + \infty$

Montrer que, au voisinage de

+ \infty

u_{n} = \int_{n^{2}}^{n^{3}} \frac{d t}{1 + t ^{2}} \sim \frac{1}{n ^{2}}

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11. $Limites de suites en forme 1^{\infty}$

Déterminer la limite des suites

(u_{n})

suivantes :

Q1-

u_{n} = (ln (1 + \frac{1}{n ^{2} + 1}))^{1/ n}

Q2-

u_{n} = (1 + sin (\frac{1}{n}))^{n}

Q3-

u_{n} = \frac{n ^{n + 1}}{( n + 1 ) ^{n}}

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12. $Limites : n sin (1/ n) et variantes$

Déterminer les limites suivantes :

Q1-

n \to \infty lim n sin (1/ n)

Q2-

n \to \infty lim (n sin (1/ n))^{n^{2}}

Q3-

n \to \infty lim n^{2} ((n + 1)^{1/ n} - n^{1/ n})

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13. $Limite de ((a^{1/ n} + b^{1/ n}) /2)^{n}$

Soient

a

b

deux réels strictement positifs. Déterminer

n \to + \infty lim (\frac{n a + n b}{2})^{n}

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14. $Limite de suites en 1^{\infty} (2)$

Déterminer

n \to + \infty lim (3 n 2 - 2 n 3)^{n}

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15. $Équivalents de fonctions en + \infty$

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand

x \to + \infty

Q1-

\frac{x ^{3} + 2}{3 x ^{2} + 3}

Q2-

x^{2} + 1 + x^{2} - 1

Q3-

x^{2} + 1 - x^{2} - 1

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16. $Équivalents avec ln en + \infty$

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand

x \to + \infty

Q1-

\frac{ln ( x + 1 )}{ln x} - 1

Q2-

ln (x + 1) - ln (x - 1)

Q3-

x ln (x + 1) - (x + 1) ln x

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17. $Équivalents en 0 : tan x, e^{x}$

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand

x \to 0

Q1-

1 + x^{2} - 1 - x^{2}

Q2-

tan x - sin x

Q3-

e^{x} + x - 1

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18. $Équivalents en 0 avec ln (1 + sin x)$

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand

x \to 0

Q1-

ln (1 + sin x)

Q2-

ln (ln (1 + x))

Q3-

(ln (1 + x))^{2} - (ln (1 - x))^{2}

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19. $Équivalent de ln (cos x) en π /2$

Déterminer un équivalent de

ln (cos x)

quand

x \to (π /2)^{-}

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20. $Équivalents en 0 : x^{x}, arctan$

Déterminer un équivalent simple des fonctions proposées au voisinage de

0

Q1-

x (2 + cos x) - 3 sin x

Q2-

x^{x} - (sin x)^{x}

Q3-

arctan (2 x) - 2 arctan (x)

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21. $Équivalent : f (x) + f (x + 1) \sim 1/ x$

Soit

f : R \to R

une fonction décroissante telle que

f (x) + f (x + 1) + \infty \sim \frac{1}{x}

Q1-Limite de

f

+ \infty

Q2-Équivalent de

f

+ \infty

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22. $Limites en + \infty avec e^{x}$

Trouver les limites suivantes :

Q1-

x \to + \infty lim \frac{x e ^{- x} + x ^{2}}{x - ln x}

Q2-

x \to + \infty lim \frac{x ln x - x}{x + cos x}

Q3-

x \to + \infty lim \frac{x \cdot e ^{x} - x ^{2}}{e ^{x} + e ^{- x}}

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23. $Limites en 0^{+} avec ln x$

Trouver les limites suivantes :

Q1-

x \to 0^{+} lim \frac{x + sin x}{x ln x}

Q2-

x \to 0^{+} lim \frac{ln x + x ^{2}}{ln ( x + x ^{2} )}

Q3-

x \to 1 lim \frac{ln ( x )}{x ^{2} - 1}

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24. $Limites en + \infty avec puissances$

Trouver les limites suivantes :

Q1-

x \to + \infty lim \frac{x ^{l n x}}{ln ( x )}

Q2-

x \to + \infty lim (\frac{x}{ln x})^{l n (x) / x}

Q3-

x \to + \infty lim \frac{ln ( x + x ^{2} + 1 )}{ln ( x )}

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25. $Limites : 1/ sin^{2} x - 1/ x^{2}$

Trouver les limites suivantes :

Q1-

x \to 0 lim (\frac{1}{sin ^{2} x} - \frac{1}{x ^{2}})

Q2-

x \to 0 lim (\frac{1}{x} - \frac{1}{ln ( 1 + x )})

Q3-

x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{1/ x} - e}{x}

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26. $Limites en \infty^{0} et 1^{\infty}$

Trouver les limites suivantes :

Q1-

x \to 2 lim (\frac{2 ^{x} + 3 ^{x}}{2 ^{x + 1} + 5 ^{x /2}})^{1/ (2 - x)}

Q2-

x \to + \infty lim (\frac{ln ( 1 + x )}{ln x})^{x l n x}

Q3-

x \to a lim \frac{x ^{a} - a ^{x}}{arctan x - arctan a}

avec

a > 0

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27. $Limite ln x \cdot ln (1 - x) en 1^{-}$

Calculer

x \to 1^{-} lim ln (x) \cdot ln (1 - x)

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28. $Limite de f (x)^{g (x)} quand f \to 1$

On étudie le comportement de

f (x)^{g (x)}

lorsque

f (x) \to 1

Q1-Soit

f (x) \to 1

g (x) (f (x) - 1) \to ℓ

. Étudier la limite de

f (x)^{g (x)}

Q2-Application : calculer

x \to + \infty lim (\frac{1}{x} + \frac{ln ( 2 x )}{ln ( x )})^{l n (x)}

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29. $Formule de Taylor pour un polynôme$

On considère le polynôme

P

tel que

P (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}

Q1-(a) Calculer

P (0)

P^{'} (0)

P^{''} (0)

. (b) Soit

k \geq 0

. Calculer

P^{(k)} (0)

. (c) Montrer que

P (x) = P (0) + P^{'} (0) x + \frac{P ^{''} ( 0 )}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{P ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n}

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30. $Reste de Taylor-Lagrange d'ordre n$

On considère une fonction

f

définie sur un segment

I

de bornes

a

x

. On définit le reste de Taylor d'ordre

n

f

a

, noté

R_{n} (x)

, par

f (x) = P_{n - 1} (x) + R_{n} (x)

où

P_{n - 1} (x)

est le polynôme de Taylor de

f

de degré

\leq n - 1

a

. Pour

f

de classe

C^{n}

sur

I

, on montre que

R_{n} (x) = \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} f^{(n)} (t) d t

Q1-Soit

n = 1

. Justifier que

f (x) - f (a) = R_{1} (x)

Q2-On part de

f (x) = f (a) + \int_{a}^{x} f^{'} (t) d t

. En intégrant par parties, montrer que

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \int_{a}^{x} (x - t) f^{''} (t) d t

. On pourra remarquer que

t \mapsto t

t \mapsto - (x - t)

ont des dérivées égales.

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31. $Inégalité de Taylor-Lagrange$

Le résultat suivant est admis (théorème des valeurs extrêmes) : si

f

est continue sur

[a, b]

, il existe

m

M

tels que

f ([a, b]) = [m, M]

, c'est-à-dire des réels

c

d

avec

f (c) \leq f (x) \leq f (d)

pour tout

x \in [a, b]

. On étudie le reste intégral de Taylor-Lagrange.

Q1-Rappeler les hypothèses qui permettent d'écrire

f (b) = f (a) + f^{'} (a) (b - a) + \dots + \frac{f ^{(n - 1)} ( a )}{( n - 1 )!} (b - a)^{n - 1} + R_{n} (b)

avec

R_{n} (b) = \int_{a}^{b} \frac{( b - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} f^{(n)} (t) d t

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32. $Taylor appliqué à sin x$

On étudie la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction

sin

, ses propriétés d'approximation, et ses applications numériques.

Q1-Justifier la formule

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} + \dots + (- 1)^{n + 1} \frac{x ^{2 n - 1}}{( 2 n - 1 )!} + R_{2 n + 1} (x)

, en précisant les hypothèses et la valeur du reste.

Q2-Montrer que

∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{n}}{n !}

Q3-On dit que

A = B

avec précision

1 0^{- n}

si l'erreur

E = A - B

vérifie

∣ E ∣ \leq 1 0^{- n}

. (a) Calculer

sin 0, 1

avec précision

1 0^{- 3}

. (b) On cherche une valeur approchée de

\int_{0}^{1} sin x d x

: rappeler les hypothèses de l'inégalité

\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣

; montrer que

\int_{0}^{1} R_{n} (x) d x \leq \frac{1}{( n + 1 )!}

; déterminer

n

pour une précision

1 0^{- 4}

et effectuer le calcul approché.

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33. $Taylor : cos, e^{x}, intégrales$

1. Écrire les formules de Taylor des fonctions cosinus et exponentielle.
2. Calculer à

1 0^{- 3}

\int_{0}^{1} cos x^{2} d x

.
3. Calculer

e

1 0^{- 3}

.
4. Calculer à

1 0^{- 3}

\int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x

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34. $Suite u_{n + 1} = u_{n} + 1/ u_{n}^{2}$

Soit

(u_{n})_{n}

définie par

u_{0} > 0

\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{u _{n}^{2}}

.
Étudier la suite

(u_{n})_{n}

et donner un équivalent de son terme général.

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35. $Suite u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2}$

Soit

(u_{n})_{n}

définie par

u_{0} \in] 0, 1 [

\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2}

.
Trouver un équivalent du terme général de la suite

(u_{n})_{n}

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36. $Équation e^{x} = x^{n} et ses racines$

Montrer que l'équation

e^{x} = x^{n}

admet deux racines strictement positives notées

u_{n}

v_{n}

(

u_{n} < v_{n}

) pour

n

assez grand.
Montrer que

(u_{n})_{n}

est convergente. Trouver sa limite

ℓ

et montrer que

u_{n} - ℓ (\infty) \sim \frac{1}{n}

Voir le corrigé

Soit

f_{n} : x \mapsto 1 - x^{n} . e^{- x}

. La fonction

f_{n}

est dérivable sur

R^{+}

f_{n}^{'} (x) = - n x^{n - 1} . e^{- x} + x^{n} . e^{- x} = x^{n - 1} e^{- x} (x - n)

Comme

x \to + \infty lim x^{n} . e^{- x} = 0

, on a le tableau de variations suivant :

x f_{n}^{'} (x) f_{n} (x) 01 n - 0 + ↘ f_{n} (n) ↗ + \infty 1

L'équation proposée a deux racines sur

R_{+}^{*}

si et seulement si

f_{n} (n) e^{n} \Leftrightarrow n > e \Leftrightarrow n \geq 3

.

Ainsi, pour

n \geq 3

, l'équation a deux racines sur

R_{+}^{*}

u_{n}

v_{n}

, avec

u_{n} 1

, puisque

f_{n}

est strictement décroissante sur

[0, n]

et que

f_{n} (1) > 0

.

On a :

f_{n + 1} (u_{n}) = 1 - u_{n}^{n + 1} e^{- u_{n}} = 1 - u_{n} \times u_{n}^{n} e^{- u_{n}} = 1 - u_{n} u_{n + 1}

, puisque

f_{n + 1}

est strictement décroissante sur

[0, n + 1]

u_{n}

u_{n + 1}

appartenant bien à

[0, n + 1]

.

La suite

(u_{n})_{n \geq 3}

est décroissante et minorée par

1

, elle est convergente et sa limite

ℓ

vérifie

ℓ \geq 1

.

On a

\forall n \geq 3, u_{n}^{n} . e^{- u_{n}} = 1

, i.e.

n ln u_{n} - u_{n} = 0

ln u_{n} = \frac{u _{n}}{n}

.

En passant à la limite dans cette expression, on obtient

ln ℓ = 0

, d'où

ℓ = 1

.

Posons, pour

n \geq 3

ε_{n} = u_{n} - 1

. On a

n \to + \infty lim ε_{n} = 0

ln (1 + ε_{n}) = \frac{1 + ε _{n}}{n}

.

Écrivons alors :

\frac{ln ( 1 + ε _{n} )}{ε _{n}} = \frac{1 + ε _{n}}{n . ε _{n}}

On a

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1

(limite classique qui revient à dire que la dérivée de

ln

1

vaut

1

), d'où :

n \to + \infty lim \frac{1 + ε _{n}}{n . ε _{n}} = 1

, soit

n \to + \infty lim n . ε_{n} = 1

ε_{n} (\infty) \sim \frac{1}{n}

.

En conclusion :

u_{n} - 1 (\infty) \sim \frac{1}{n}

37. $Limites par comparaison$

Trouver les limites suivantes :

Q1-

\frac{x ( 3 + x ) x + 3}{x sin x}

0

Q2-

\frac{( 1 - e ^{x} ) ( 1 - cos x )}{3 x ^{3} + 2 x ^{4}}

0

Q3-

\frac{( 1 - cos x ^{2} ) e ^{\frac{1}{x}}}{x ^{5} + x ^{3}}

0^{+}

Q4-

(x - \frac{π}{4}) tan (x + \frac{π}{4})

\frac{π}{4}

Q5-

(tanh x)^{l n x}

+ \infty

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38. $Limites en + \infty : racines mixtes$

Calculer, si elles existent, les limites de

Q1-

3 x^{3} + 1 - x^{2} + x + 1

+ \infty

Q2-

(1 + \frac{1}{x})^{x}

0

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1.Équivalents de suites et limites

2.Équivalents : différences de suites

3.Équivalents via sin, ln, cos

4.Équivalent simple de terme général

5.Suite un​+un+1​∼1/n

6.Stabilité des équivalents par somme

7.Équivalent de ∑k=0n​k!

8.Série ∑1/k​ et limite

9.Suite Sn​=∑1/k et Euler

10.Équivalent d'intégrale en +∞

11.Limites de suites en forme 1∞

12.Limites : nsin(1/n) et variantes

13.Limite de ((a1/n+b1/n)/2)n

14.Limite de suites en 1∞ (2)

15.Équivalents de fonctions en +∞

16.Équivalents avec ln en +∞

17.Équivalents en 0 : tanx, ex

18.Équivalents en 0 avec ln(1+sinx)

19.Équivalent de ln(cosx) en π/2

20.Équivalents en 0 : xx, arctan

21.Équivalent : f(x)+f(x+1)∼1/x

22.Limites en +∞ avec ex

23.Limites en 0+ avec lnx

24.Limites en +∞ avec puissances

25.Limites : 1/sin2x−1/x2

26.Limites en ∞0 et 1∞

27.Limite lnx⋅ln(1−x) en 1−

28.Limite de f(x)g(x) quand f→1

29.Formule de Taylor pour un polynôme

30.Reste de Taylor-Lagrange d'ordre n

31.Inégalité de Taylor-Lagrange

32.Taylor appliqué à sinx

33.Taylor : cos, ex, intégrales

34.Suite un+1​=un​+1/un2​

35.Suite un+1​=un​−un2​

36.Équation ex=xn et ses racines

37.Limites par comparaison

38.Limites en +∞ : racines mixtes

1. $Équivalents de suites et limites$

2. $Équivalents : différences de suites$

3. $Équivalents via sin, ln, cos$

4. $Équivalent simple de terme général$

5. $Suite u_{n} + u_{n + 1} \sim 1/ n$

6. $Stabilité des équivalents par somme$

7. $Équivalent de \sum_{k = 0}^{n} k!$

8. $Série \sum 1/ k et limite$

9. $Suite S_{n} = \sum 1/ k et Euler$

10. $Équivalent d'intégrale en + \infty$

11. $Limites de suites en forme 1^{\infty}$

12. $Limites : n sin (1/ n) et variantes$

13. $Limite de ((a^{1/ n} + b^{1/ n}) /2)^{n}$

14. $Limite de suites en 1^{\infty} (2)$

15. $Équivalents de fonctions en + \infty$

16. $Équivalents avec ln en + \infty$

17. $Équivalents en 0 : tan x, e^{x}$

18. $Équivalents en 0 avec ln (1 + sin x)$

19. $Équivalent de ln (cos x) en π /2$

20. $Équivalents en 0 : x^{x}, arctan$

21. $Équivalent : f (x) + f (x + 1) \sim 1/ x$

22. $Limites en + \infty avec e^{x}$

23. $Limites en 0^{+} avec ln x$

24. $Limites en + \infty avec puissances$

25. $Limites : 1/ sin^{2} x - 1/ x^{2}$

26. $Limites en \infty^{0} et 1^{\infty}$

27. $Limite ln x \cdot ln (1 - x) en 1^{-}$

28. $Limite de f (x)^{g (x)} quand f \to 1$

29. $Formule de Taylor pour un polynôme$

30. $Reste de Taylor-Lagrange d'ordre n$

31. $Inégalité de Taylor-Lagrange$

32. $Taylor appliqué à sin x$

33. $Taylor : cos, e^{x}, intégrales$

34. $Suite u_{n + 1} = u_{n} + 1/ u_{n}^{2}$

35. $Suite u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2}$

36. $Équation e^{x} = x^{n} et ses racines$

37. $Limites par comparaison$

38. $Limites en + \infty : racines mixtes$