Exercices de Comparaison de fonctions en maths Sup (prépa) (page 2)

40. $Étude de x ln (1 + ln (1 + 1/ x) / ln x)$

Soit

f (x) = x ln (1 + \frac{ln ( 1 + \frac{1}{x} )}{ln x})

Q1-Démontrer que

f (x) x \to + \infty \sim \frac{1}{ln x}

Q2-En déduire la limite en

+ \infty

(e^{f (x)} - 1) ln x

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41. $Limite de fraction en$

n

p

désignant deux entiers naturels non nuls, calculer la limite quand

x

tend vers

1

\frac{n x ^{n + 1} - ( n + 1 ) x ^{n} + 1}{x ^{p + 1} - x ^{p} - x + 1}

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42. $L'inévitable du genre$

Soient

a

b

c

trois réels positifs. Etudier le comportement en

+ \infty

f (x) = (\frac{a ^{1/ x} + b ^{1/ x} + c ^{1/ x}}{3})^{x} .

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43. $Lève toi et marche !$

Lever les formes indéterminées suivantes :

Q1-

x \to 0 lim \frac{2 cos ( x ) - x tan ( x )}{sin ^{3} ( x )}

;

Q2-

x \to 0 lim \frac{x cos ( x ) - tan ( x )}{sin ( x ) ( x - tan ( x ))}

;

Q3-

x \to 1 lim \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{ln ( x )}

;

Q4-

x \to 1 lim \frac{x - 1}{3 x - 1}

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44. $Négligeabilité : x ln x, e^{x} / x$

Classer par ordre de négligeabilité les fonctions

f : x \mapsto x ln x

g : x \mapsto \frac{e ^{x}}{x}

h : x \mapsto x (ln x)^{2}

au voisinage de

0^{+}

+ \infty

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45. $Equivalents$

Déterminer un équivalent au point considéré des fonctions suivantes :

Q1-

x ln (1 + x) - (x + 1) ln x

+ \infty

Q2-

⌊ x ⌋ ln (1 + \frac{1}{x ^{2}})

+ \infty

Q3-

x + 1 - x^{2} + 1

0

Q4-

\frac{sin x + cos x - 1}{tan ( x - x cos x )}

0

Q5-

\frac{1 + tan ^{2} x - 1}{tan x}

0

Q6-

ln (cos x)

0

Q7-

x (e^{\frac{1}{x}} - cos (\frac{1}{x}))

+ \infty

Q8-

ln (ln x) - (\frac{1}{2})^{x}

+ \infty

Q9-

e^{s i n x} - e^{t a n x}

0

Q10-

tan (\frac{π x}{2 x + 3})

+ \infty

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46. $Ailleurs qu'en 0$

Déterminer des équivalents de :

Q1-

cos x

\frac{π}{2}

Q2-

tan x

\frac{π}{2}

Q3-

3 1 + x^{3} - x

+ \infty

Q4-

\frac{1}{1 + x} - \frac{1}{2}

1

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47. $Équivalents de produits$

Déterminer des équivalents simples des expressions suivantes :

Q1-

\frac{x sin ( x ^{2} )}{e ^{x} - 1}

0

Q2-

\frac{1 + x - 1}{1 - cos x}

0

Q3-

\frac{ln ( 1 + x )}{tan ( x ) arctan ( x ^{3} )}

0

Q4-

\frac{x ^{2} sin ( \frac{1}{x ^{3}} )}{e ^{\frac{1}{x ^{2}}} - 1}

+ \infty

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48. $Équivalents de sommes$

Déterminer des équivalents simples des expressions suivantes.

Q1-

sin (x) + tan (x)

0

Q2-

x^{3} + e^{x} - 1

0

Q3-

arcsin (x) + cos (x) - 1

0

Q4-

1 + \frac{1}{x} - 3 1 + \frac{1}{x ^{3}}

+ \infty

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49. $Un équivalent$

Déterminer un équivalent simple de la suite de terme général

u_{n} = 2 n - n + 1 - n - 1 .

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50. $Équivalents en 0 : arccos, arcsin$

Déterminer des équivalents simples en

0

des expressions suivantes,

Q1-

arccos (x) - π /2

;

Q2-

x^{4} + x + x^{2}

;

Q3-

arcsin (x) + x + x^{2}

;

Q4-

arctan (x) + x

;

Q5-

\frac{1}{1 - x} - 1 + x

;

Q6-

\frac{x ^{2}}{1 + x} - x

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51. $Équivalent en 0 de ln ((e^{x} + 1) /2)$

Donner un équivalent en

0

de l'expression

ln (\frac{e ^{x} + 1}{2}) - \frac{4 x + x ^{2}}{8} .

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52. $King size$

Donner un équivalent en

0

de l'expression

sin (sinh (x)) - sinh (sin (x)) .

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On développe au voisinage de

0

à l'ordre suffisant pour distinguer les deux termes.

Rappel :

sinh (x) = x + \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} + O (x^{7})

sin (x) = x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} + O (x^{7})

.

On compose :

sinh (sin x) = sin x + \frac{sin ^{3} x}{6} + \frac{sin ^{5} x}{120} + O (sin^{7} x)

sin (sinh x) = sinh x - \frac{sinh ^{3} x}{6} + \frac{sinh ^{5} x}{120} + O (sinh^{7} x)

sin (sinh x)

: posons

u = sinh x = x + x^{3} /6 + x^{5} /120 + ...

sin (u) = u - \frac{u ^{3}}{6} + \frac{u ^{5}}{120} + O (u^{7})

u^{3} = x^{3} + \frac{x ^{5}}{2} + O (x^{7}), u^{5} = x^{5} + O (x^{7})

sin (sinh x) = x + \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \frac{x ^{3} + x ^{5} /2}{6} + \frac{x ^{5}}{120} + O (x^{7})

= x + \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \frac{x ^{3}}{6} - \frac{x ^{5}}{12} + \frac{x ^{5}}{120} + O (x^{7}) = x + \frac{x ^{5}}{120} \cdot 2 - \frac{x ^{5}}{12} + O (x^{7})

= x - \frac{x ^{5}}{12} + \frac{x ^{5}}{60} + O (x^{7}) = x + x^{5} (- \frac{1}{12} + \frac{1}{60}) + O (x^{7}) = x - \frac{3 x ^{5}}{30} + O (x^{7}) = x - \frac{x ^{5}}{10} + O (x^{7})

sinh (sin x)

: posons

v = sin x = x - x^{3} /6 + x^{5} /120 + ...

v^{3} = x^{3} - \frac{x ^{5}}{2} + O (x^{7}), v^{5} = x^{5} + O (x^{7})

sinh (v) = v + \frac{v ^{3}}{6} + \frac{v ^{5}}{120} + O (v^{7}) = x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} + \frac{x ^{3} - x ^{5} /2}{6} + \frac{x ^{5}}{120} + O (x^{7})

= x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \frac{x ^{5}}{12} + \frac{x ^{5}}{120} + O (x^{7}) = x + \frac{x ^{5}}{60} - \frac{x ^{5}}{12} + O (x^{7})

= x + x^{5} (\frac{1}{60} - \frac{5}{60}) + O (x^{7}) = x - \frac{4 x ^{5}}{60} + O (x^{7}) = x - \frac{x ^{5}}{15} + O (x^{7})

Donc :

sin (sinh x) - sinh (sin x) = (- \frac{1}{10} + \frac{1}{15}) x^{5} + O (x^{7}) = (\frac{- 3 + 2}{30}) x^{5} + O (x^{7}) = - \frac{x ^{5}}{30} + O (x^{7})

Ainsi

sin (sinh x) - sinh (sin x) x \to 0 \sim - \frac{x ^{5}}{30}

Exercices de Comparaison de fonctions, Sup (prépa) (page 2)

39.

40. $Étude de x ln (1 + ln (1 + 1/ x) / ln x)$

41. $Limite de fraction en$

42. $L'inévitable du genre$

43. $Lève toi et marche !$

44. $Négligeabilité : x ln x, e^{x} / x$

45. $Equivalents$

46. $Ailleurs qu'en 0$

47. $Équivalents de produits$

48. $Équivalents de sommes$

49. $Un équivalent$

50. $Équivalents en 0 : arccos, arcsin$

51. $Équivalent en 0 de ln ((e^{x} + 1) /2)$

52. $King size$

39.

40.Étude de xln(1+ln(1+1/x)/lnx)

41.Limite de fraction en x→1

42.L'inévitable du genre

43.Lève toi et marche !

44.Négligeabilité : xlnx, ex/x

45.Equivalents

46.Ailleurs qu'en 0

47.Équivalents de produits

48.Équivalents de sommes

49.Un équivalent

50.Équivalents en 0 : arccos, arcsin

51.Équivalent en 0 de ln((ex+1)/2)

52.King size

40. $Étude de x ln (1 + ln (1 + 1/ x) / ln x)$

41. $Limite de fraction en$

42. $L'inévitable du genre$

43. $Lève toi et marche !$

44. $Négligeabilité : x ln x, e^{x} / x$

45. $Equivalents$

46. $Ailleurs qu'en 0$

47. $Équivalents de produits$

48. $Équivalents de sommes$

49. $Un équivalent$

50. $Équivalents en 0 : arccos, arcsin$

51. $Équivalent en 0 de ln ((e^{x} + 1) /2)$

52. $King size$