Exercices de Développements limités en maths Sup (prépa)

1. $DA de suites ln (n + 1), n \pm 1$

2. $DA de \sum_{k = 1}^{n} sin (k / n^{2})$

Développement asymptotique à trois termes de

u_{n} = k = 1 \sum n sin (\frac{k}{n ^{2}})

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3. $DA de \frac{1}{n !} \sum k! à 1/ n^{2}$

Former le développement asymptotique, en

+ \infty

, à la précision

1/ n^{2}

u_{n} = \frac{1}{n !} k = 0 \sum n k!

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4. $DA de \frac{1}{n !} \sum k! à o (n^{- 3})$

Donner un développement asymptotique de

(\frac{1}{n !} k = 0 \sum n k!)_{n \in N}

à la précision

o (n^{- 3})

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5. $Suites adjacentes H_{n} - ln n$

Pour tout

n \in N^{*}

, on pose

a_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} - ln (n + 1)

b_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} - ln (n)

Q1-Établir que

ln (1 + x) \leq x

pour tout

x \in] - 1, + \infty [

Q2-Justifier que les suites

(a_{n})

(b_{n})

sont adjacentes. On note

γ

leur limite commune.

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6. $DL en π /4 et composition$

Calculer les développements limités suivants :

Q1-DL

_{3} (π /4)

sin x

Q2-DL

_{4} (1)

\frac{ln ( x )}{x ^{2}}

Q3-DL

_{5} (0)

sinh (x) cosh (2 x) - cosh (x)

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7. $DL de ln, cos composés en 0 et en 1$

Calculer les développements limités suivants :

Q1-DL

_{3} (0)

ln (\frac{x ^{2} + 1}{x + 1})

Q2-DL

_{3} (0)

ln (1 + sin x)

Q3-DL

_{3} (1)

cos (ln x)

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8. $DL de ln (1 + e^{x}), ln (2 + sin x)$

Calculer les développements limités suivants :

Q1-DL

_{3} (0)

ln (1 + e^{x})

Q2-DL

_{3} (0)

ln (2 + sin x)

Q3-DL

_{3} (0)

3 + cos x

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9. $DL de e^{1 + x} et ln imbriqués$

Calculer les développements limités suivants :

Q1-DL

_{3} (0)

e^{1 + x}

Q2-DL

_{3} (0)

ln (1 + 1 + x)

Q3-DL

_{3} (0)

ln (3 e^{x} + e^{- x})

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10. $DL de (1 + x)^{1/ x} et ln (sin x / x)$

Calculer les développements limités suivants :

Q1-DL

_{2} (0)

(1 + x)^{1/ x}

Q2-DL

_{4} (0)

ln (\frac{sin x}{x})

Q3-DL

_{4} (0)

ln (\frac{sinh x}{x})

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11. $DL de quotients classiques$

Calculer les développements limités suivants :

Q1-DL

_{3} (0)

\frac{ln ( 1 + x )}{e ^{x} - 1}

Q2-DL

_{2} (0)

\frac{arctan ( x )}{tan ( x )}

Q3-DL

_{2} (1)

\frac{x - 1}{ln ( x )}

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12. $DL de fractions et$

Calculer les développements limités suivants :

Q1-DL

_{3} (0)

\frac{x - sin x}{1 - cos x}

Q2-DL

_{2} (0)

\frac{sin ( x )}{exp ( x ) - 1}

Q3-DL

_{3} (0)

\frac{x \cdot cosh ( x ) - sinh ( x )}{cosh ( x ) - 1}

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13. $DL variés : ln, \cdot$

Calculer les développements limités suivants :

Q1-DL

_{3} (0)

ln (\frac{x ^{2} + 1}{x + 1})

Q2-DL

_{3} (0)

3 + cos x

Q3-DL

_{2} (0)

(1 + x)^{1/ x}

Q4-DL

_{3} (0)

\frac{ln ( 1 + x )}{e ^{x} - 1}

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14. $DL_{3} (1) de arctan$

Calculer le DL

_{3} (1)

arctan (x)

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15. $DL_{10} (0) d'une intégrale$

Calculer les développements limités suivants :

Q1-DL

_{10} (0)

\int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{1 + t ^{4}}

Q2-DL

_{1000} (0)

ln (k = 0 \sum 999 \frac{x ^{k}}{k !})

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16. $DL_{n} (0) de 1/ 1 - x$

Exprimer le DL

_{n} (0)

\frac{1}{1 - x}

avec des factorielles

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17. $DL de 1/ 1 - x^{2} et arcsin$

Pour

α = - 1/2

, exprimer

\frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - k + 1 )}{k !}

avec des factorielles. En déduire le DL

_{2 n + 1} (0)

\frac{1}{1 - x ^{2}}

puis le DL

_{2 n + 2} (0)

arcsin (x)

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18. $DL général de arcsin en 0$

Exprimer le développement limité général en 0 de

arcsin (x)

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19. $DL de \frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 - x}$

Calculer le DL à l'ordre

2 n + 2

\frac{1}{2} ln (\frac{1 + x}{1 - x})

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20. $Réciproque de x e^{x^{2}}$

La fonction

f (x) = x e^{x^{2}}

admet une fonction réciproque. Former le DL

_{5} (0)

f^{- 1}

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21. $Dérivabilité et DL de x^{n} sin (1/ x)$

Soit

f (x) = x^{n} sin (1/ x)

x \neq = 0

f (0) = 0

, avec

n \geq 2

Q1-Montrer que

f

est dérivable sur

R

Q2-La fonction

f

admet-elle un DL en

0

? À quel ordre maximal ?

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22. $Prolongement de (ln (1 + x) - x) / x^{2}$

Soit

f (x) = \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}

. Montrer que

f

se prolonge par continuité en 0, est dérivable en 0, et déterminer la position relative de la courbe par rapport à la tangente.

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23. $Inflexion de ln (1 + a x) / (1 + x)$

Soit

f (x) = \frac{ln ( 1 + a x )}{1 + x}

. Trouver la valeur de

a

pour que la courbe de

f

ait un point d'inflexion en

x = 0

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24. $Prolongement de x / (e^{x} - 1)$

Montrer que

f : x \mapsto \frac{x}{e ^{x} - 1}

se prolonge en une fonction de classe

C^{1}

sur

R

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25. $e^{- 1/ x^{2}} est C^{\infty} en 0$

Soit

f (x) = e^{- 1/ x^{2}}

x \neq = 0

f (0) = 0

. Montrer que

f

est de classe

C^{\infty}

sur

R

et que

f^{(n)} (0) = 0

pour tout

n \in N

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26. $Intégrale \int_{x}^{x^{2}} d t / ln t$

Soit

f (x) = \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{ln ( t )}

, définie sur

] 0, 1 [\cup] 1, + \infty [

Q1-Montrer que

f

est convexe sur

] 0, 1 [

et sur

] 1, + \infty [

Q2-Montrer un encadrement et que

x \to 1 lim f (x) = ln 2

Q3-Montrer que

f

prolongée par continuité en

1

est de classe

C^{2}

sur

] 0, + \infty [

et convexe.

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27. $DA en 0 : ln (1 + x) / x$

Calculer les développements asymptotiques en 0 :

Q1-

\frac{ln ( 1 + x )}{x}

à la précision

x^{5/2}

Q2-

x^{x}

à la précision

(x ln x)^{2}

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28. $DA en + \infty de x + 1$

Calculer les développements asymptotiques en

+ \infty

Q1-

x + 1

à la précision

1/ x^{3/2}

Q2-

x \cdot ln (x + 1) - (x + 1) \cdot ln (x)

à la précision

1/ x^{2}

Q3-

(\frac{x + 1}{x})^{x}

à la précision

1/ x^{2}

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29. $Réciproques et DA en + \infty$

Soit

φ (s) = s - ln (1 + s)

, définie sur

] - 1, + \infty [

Q1-Montrer que

φ

définit deux bijections

φ_{+}

φ_{-}

sur des intervalles appropriés.

Q2-Trouver un équivalent de

φ

0

, puis des équivalents des fonctions réciproques

φ_{+}^{- 1}

φ_{-}^{- 1}

Q3-Calculer les DA à 3 termes de

φ_{+}^{- 1}

φ_{-}^{- 1}

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30. $Petit joueur$

Déterminer le

DL_{5} (0)

f (x) = \frac{arcsin ( x )}{1 - x ^{2}} .

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31. $Variations sur les DL classiques$

Calculer le développement limité à l'ordre

n

au voisinage de

0

des expressions suivantes :

Q1-

e^{x} sin (x)

n = 3

;

Q2-

sin^{3} (x) - x^{3} cos (x)

, pour

n = 6

;

Q3-

x^{3} 1 + x

n = 5

;

Q4-

\frac{1}{2 + x}

n = 3

;

Q5-

\frac{1}{3 - x ^{2}}

n = 5

;

Q6-

1 + 2 x

n = 3

;

Q7-

4 - x

n = 3

;

Q8-

cos (\frac{π}{3} + x)

n = 3

;

Q9-

ln (2 + x)

n = 3

;

Q10-

exp (3 - x)

n = 3

;

Q11-

(1 + x)^{1/ x}

n = 2

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1. $e^{x} sin x$ à l'ordre $3$ :

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

e^{x} sin x = (1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})) (x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3}))

= x - \frac{x ^{3}}{6} + x^{2} + x^{3} (\frac{1}{2} + (- \frac{1}{6})) + \frac{x ^{3}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

Calculons terme par terme :

1 \cdot x = x

1 \cdot (- x^{3} /6) = - x^{3} /6

x \cdot x = x^{2}

x \cdot (- x^{3} /6) =

ordre

4

(négligeable),

(x^{2} /2) \cdot x = x^{3} /2

(x^{3} /6) \cdot x =

ordre

4

.
Donc :

e^{x} sin x = x + x^{2} + (- \frac{1}{6} + \frac{1}{2}) x^{3} + o (x^{3}) = x + x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})

.

2. $sin^{3} x - x^{3} cos x$ à l'ordre $6$ :

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} + o (x^{6})

sin^{3} x = (x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120})^{3} = x^{3} (1 - \frac{x ^{2}}{6} + \frac{x ^{4}}{120})^{3} = x^{3} (1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{5 x ^{4}}{24} + o (x^{4}))

(par DL de

(1 + u)^{3}

avec

u = - x^{2} /6 + ...

(1 + u)^{3} \approx 1 + 3 u + 3 u^{2}

)

= x^{3} - \frac{x ^{5}}{2} + \frac{5 x ^{7}}{24} + \frac{3 x ^{7}}{36} + o (x^{6}) \approx x^{3} - \frac{x ^{5}}{2} + \frac{x ^{7} \cdot ( 5 + 2 )}{24} + ...

Recalcul :

sin^{3} x = x^{3} (1 - x^{2} /6)^{3} + o (x^{7}) = x^{3} (1 - x^{2} /2 + x^{4} /12 - ...) + o (x^{7}) = x^{3} - \frac{x ^{5}}{2} + \frac{x ^{7}}{12} + o (x^{7})

x^{3} cos x = x^{3} (1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{6})) = x^{3} - \frac{x ^{5}}{2} + \frac{x ^{7}}{24} + o (x^{7})

sin^{3} x - x^{3} cos x = (x^{3} - x^{5} /2 + x^{7} /12) - (x^{3} - x^{5} /2 + x^{7} /24) + o (x^{7}) = x^{7} (\frac{1}{12} - \frac{1}{24}) + o (x^{7}) = \frac{x ^{7}}{24} + o (x^{7})

.

Donc

sin^{3} x - x^{3} cos x 0 = \frac{x ^{7}}{24} + o (x^{7})

. Le DL à l'ordre 6 est donc

0

(la première partie non nulle est en

x^{7}

). Ainsi jusqu'à l'ordre 6 :

sin^{3} x - x^{3} cos x = o (x^{6})

.

3. $x^{3} 1 + x$ à l'ordre $5$ :

1 + x = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} + o (x^{2})

x^{3} 1 + x = x^{3} + \frac{x ^{4}}{2} - \frac{x ^{5}}{8} + o (x^{5})

.

4. $\frac{1}{2 + x}$ à l'ordre $3$ :

\frac{1}{2 + x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x /2} = \frac{1}{2} (1 - \frac{x}{2} + \frac{x ^{2}}{4} - \frac{x ^{3}}{8} + o (x^{3})) = \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{x ^{2}}{8} - \frac{x ^{3}}{16} + o (x^{3})

.

5. $\frac{1}{3 - x ^{2}}$ à l'ordre $5$ :

\frac{1}{3 - x ^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - x ^{2} /3} = \frac{1}{3} (1 + \frac{x ^{2}}{3} + \frac{x ^{4}}{9} + o (x^{4})) = \frac{1}{3} + \frac{x ^{2}}{9} + \frac{x ^{4}}{27} + o (x^{4})

. Ordre 5 :

= \frac{1}{3} + \frac{x ^{2}}{9} + \frac{x ^{4}}{27} + o (x^{5})

.

6. $1 + 2 x$ à l'ordre $3$ :

(1 + 2 x)^{1/2} = 1 + x - \frac{x ^{2}}{2} \cdot 2^{2} \cdot \frac{1}{2 !} ...

Avec

u = 2 x

(1 + u)^{1/2} = 1 + u /2 - u^{2} /8 + u^{3} /16 + ...

= 1 + x - \frac{4 x ^{2}}{8} + \frac{8 x ^{3}}{16} + o (x^{3}) = 1 + x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{2} + o (x^{3})

.

7. $4 - x$ à l'ordre $3$ :

4 - x = 2 1 - x /4 = 2 (1 - \frac{x}{8} - \frac{x ^{2}}{128} - \frac{x ^{3}}{1024} + o (x^{3}))

.
Par DL de

(1 + u)^{1/2}

avec

u = - x /4

1 + u /2 - u^{2} /8 + u^{3} /16 = 1 - x /8 - x^{2} /128 - x^{3} /1024

4 - x = 2 - \frac{x}{4} - \frac{x ^{2}}{64} - \frac{x ^{3}}{512} + o (x^{3})

.

8. $cos (π /3 + x)$ à l'ordre $3$ :

cos (π /3 + x) = cos (π /3) cos x - sin (π /3) sin x = \frac{1}{2} cos x - \frac{3}{2} sin x

= \frac{1}{2} (1 - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{3})) - \frac{3}{2} (x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} x - \frac{x ^{2}}{4} + \frac{3 x ^{3}}{12} + o (x^{3})

.

9. $ln (2 + x)$ à l'ordre $3$ :

ln (2 + x) = ln 2 + ln (1 + x /2) = ln 2 + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} + \frac{x ^{3}}{24} + o (x^{3})

.

10. $exp (3 - x)$ à l'ordre $3$ :

e^{3 - x} = e^{3} e^{- x} = e^{3} (1 - x + \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3}))

.

11. $(1 + x)^{1/ x}$ à l'ordre $2$ :

(1 + x)^{1/ x} = e^{\frac{l n ( 1 + x )}{x}}

\frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x ^{2}}{3} - \frac{x ^{3}}{4} + \dots

Donc

(1 + x)^{1/ x} = e^{1 - x /2 + x^{2} /3 + o (x^{2})} = e \cdot e^{- x /2 + x^{2} /3 + o (x^{2})} = e (1 + (- \frac{x}{2} + \frac{x ^{2}}{3}) + \frac{( - x /2 ) ^{2}}{2} + o (x^{2})) = e (1 - \frac{x}{2} + \frac{x ^{2}}{3} + \frac{x ^{2}}{8} + o (x^{2})) = e (1 - \frac{x}{2} + \frac{11 x ^{2}}{24} + o (x^{2}))

32. $DL d'une bijection réciproque$

On considère la fonction numérique

f

définie sur l'intervalle

I =] - 1, 1 [

par

f (x) = x + ln (1 + x) .

Q1-Déterminer le développement limité à l'ordre

3

f (x)

au voisinage de

0

Q2-Démontrer que

f

réalise une bijection de

I

sur un intervalle

J

qu'on explicitera.

Q3-En admettant qu'il existe, déterminer le développement limité à l'ordre

3

f^{- 1} (x)

au voisinage de

0

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33. $Au-delà de zéro\dots$

Développements en vrac.

Q1-Calculer les développements limités à l'ordre

4

des expressions suivantes au voisinage de

x_{0}

:
1.

e^{x}

x_{0} = 1

cos (x)

x_{0} = π /4

sin (x)

x_{0} = π /6

ln (x)

x_{0} = e

\frac{1}{1 + x ^{2}}

x_{0} = 1

arctan (x)

x_{0} = 1

\frac{x ^{2} - 1}{x}

x_{0} = + \infty

(tan (x))^{t a n (2 x)}

x_{0} = π /4

Q2-Calculer les développements limités
1. à l'ordre

3

au voisinage de

+ \infty

3 x^{3} + x^{2} - 3 x^{3} - x^{2}

2. à l'ordre

2

au voisinage de

π /4

cos (x) + sin (x)

3. à l'ordre

2

au voisinage de

π /4

tan (x)

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34. $Spanish torture$

Déterminer le

DL_{4} (0)

f (x) = x (cosh (x))^{1/ x} .

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35. $Dead again$

Déterminer le

DL_{2} (0)

de la fonction

g

définie par

g : x ⟼ \frac{( 1 + arctan ( x ) ) ^{x}}{sin ^{2} ( x )} .

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36. $Attention à la constante$

Déterminer le

DL_{3} (0)

de la fonction

f

définie sur

R

par

f : x ⟼ ln (3 e^{x} + e^{- x}) .

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37. $Petit piège$

Déterminer le

DL_{4} (0)

de la fonction définie par,

f (x) = \frac{1}{1 + cos ( x )} .

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38. $Easy$

Chercher un développement limité d'ordre

5

de la fonction

f (x) = \frac{x ^{2} sin ( x )}{1 + x} .

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1.DA de suites ln(n+1), n±1​

2.DA de ∑k=1n​sin(k/n2)

3.DA de n!1​∑k! à 1/n2

4.DA de n!1​∑k! à o(n−3)

5.Suites adjacentes Hn​−lnn

6.DL en π/4 et composition

7.DL de ln, cos composés en 0 et en 1

8.DL de ln(1+ex), ln(2+sinx)

9.DL de e1+x​ et ln imbriqués

10.DL de (1+x)1/x et ln(sinx/x)

11.DL de quotients classiques

12.DL de fractions x−sinx et cosh

13.DL variés : ln, ⋅​

14.DL3​(1) de arctan

15.DL10​(0) d'une intégrale

16.DLn​(0) de 1/1−x​

17.DL de 1/1−x2​ et arcsin

18.DL général de arcsin en 0

19.DL de 21​ln1−x1+x​

20.Réciproque de xex2

21.Dérivabilité et DL de xnsin(1/x)

22.Prolongement de (ln(1+x)−x)/x2

23.Inflexion de ln(1+ax)/(1+x)

24.Prolongement de x/(ex−1)

25.e−1/x2 est C∞ en 0

26.Intégrale ∫xx2​dt/lnt

27.DA en 0 : ln(1+x)/x​

28.DA en +∞ de x+1​

29.Réciproques et DA en +∞

30.Petit joueur

31.Variations sur les DL classiques

32.DL d'une bijection réciproque

33.Au-delà de zéro…

34.Spanish torture

35.Dead again

36.Attention à la constante

37.Petit piège

38.Easy

1. $DA de suites ln (n + 1), n \pm 1$

2. $DA de \sum_{k = 1}^{n} sin (k / n^{2})$

3. $DA de \frac{1}{n !} \sum k! à 1/ n^{2}$

4. $DA de \frac{1}{n !} \sum k! à o (n^{- 3})$

5. $Suites adjacentes H_{n} - ln n$

6. $DL en π /4 et composition$

7. $DL de ln, cos composés en 0 et en 1$

8. $DL de ln (1 + e^{x}), ln (2 + sin x)$

9. $DL de e^{1 + x} et ln imbriqués$

10. $DL de (1 + x)^{1/ x} et ln (sin x / x)$

11. $DL de quotients classiques$

12. $DL de fractions et$

13. $DL variés : ln, \cdot$

14. $DL_{3} (1) de arctan$

15. $DL_{10} (0) d'une intégrale$

16. $DL_{n} (0) de 1/ 1 - x$

17. $DL de 1/ 1 - x^{2} et arcsin$

18. $DL général de arcsin en 0$

19. $DL de \frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 - x}$

20. $Réciproque de x e^{x^{2}}$

21. $Dérivabilité et DL de x^{n} sin (1/ x)$

22. $Prolongement de (ln (1 + x) - x) / x^{2}$

23. $Inflexion de ln (1 + a x) / (1 + x)$

24. $Prolongement de x / (e^{x} - 1)$

25. $e^{- 1/ x^{2}} est C^{\infty} en 0$

26. $Intégrale \int_{x}^{x^{2}} d t / ln t$

27. $DA en 0 : ln (1 + x) / x$

28. $DA en + \infty de x + 1$

29. $Réciproques et DA en + \infty$

30. $Petit joueur$

31. $Variations sur les DL classiques$

32. $DL d'une bijection réciproque$

33. $Au-delà de zéro\dots$

34. $Spanish torture$

35. $Dead again$

36. $Attention à la constante$

37. $Petit piège$

38. $Easy$