Exercices de Développements limités, Sup (prépa) (page 2)

1. $f(x)=x^{1+1/x}$ pour $x>0$, $f(0)=0$. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{1+1/x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{(1+1/x)\ln x}=\lim e^{\ln x+(\ln x)/x}$. Or $\ln x/x\to -\infty$ et $\ln x\to -\infty$ quand $x\to 0^{+}$, donc l'exposant $\to -\infty$, et $f(x)\to 0=f(0)$. Donc $f$ est continue en $0$.

2. $\frac{f(h)-f(0)}{h}=h^{1/x}{|}_{x=h}=h^{1/h}=e^{(\ln h)/h}\to e^{-\infty }=0$. Donc $f$ est dérivable en $0$ et $f^{\prime }(0)=0$.

3. $\ln f(x)=(1+1/x)\ln x=\ln x+(\ln x)/x\to +\infty$ car $(\ln x)/x\to +\infty$ quand $x\to +\infty$. Donc $\underset{+\infty }{\lim }f=+\infty$.

4. Pour $x>0$ : $\ln f(x)=\ln x+\frac{\ln x}{x}$. $(\ln f{)}^{\prime }=\frac{1}{x}+\frac{1/x\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1}{x}+\frac{1-\ln x}{x^2}$. Donc $f^{\prime }(x)=f(x)\cdot \frac{x+1-\ln x}{x^2}$.
$f^{\prime }(x)=0\iff x+1-\ln x=0$. Posons $g(x)=x+1-\ln x$ : $g^{\prime }(x)=1-1/x=0\iff x=1$, $g(1)=1>0$, et $g(x)\to +\infty$ aux bords. Donc $g(x)>0$ pour tout $x>0$, et $f^{\prime }>0$ : $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$.

5. Branches infinies : en $+\infty$, $f(x)/x=x^{1/x}=e^{(\ln x)/x}\to e^0=1$. Donc $f(x)\sim x$ : branche parabolique ou asymptote oblique ? $f(x)-x=x(x^{1/x}-1)=x(e^{(\ln x)/x}-1)\sim x\cdot \frac{\ln x}{x}=\ln x\to +\infty$. Donc la droite $y=x$ n'est pas asymptote, mais $f(x)-x=\ln x+\frac{(\ln x{)}^2}{2x}+...\to +\infty$ : branche parabolique d'équation $y=x+\ln x+...$

6. DL en $1$ : posons $x=1+h$. $f(1+h)=(1+h{)}^{1+1/(1+h)}=e^{(1+1/(1+h))\ln (1+h)}$.
$\ln (1+h)=h-h^2/2+h^3/3+o(h^3)$. $1/(1+h)=1-h+h^2+o(h^2)$. $1+1/(1+h)=2-h+h^2+o(h^2)$.
Exposant : $(2-h+h^2)(h-h^2/2+h^3/3)=2h-h^2+\frac{2h^3}{3}-h^2+\frac{h^3}{2}+h^3+o(h^3)=2h-2h^2+\frac{2h^3}{3}+\frac{h^3}{2}+h^3+o(h^3)=2h-2h^2+\frac{13h^3}{6}+o(h^3)$.
$f(1+h)=e^{2h-2h^2+13h^3/6+o(h^3)}=e^{2h}\cdot e^{-2h^2+13h^3/6+o(h^3)}$.
$=(1+2h+2h^2+\frac{4h^3}{3}+o(h^3))(1-2h^2+\frac{13h^3}{6}+\frac{4h^4}{2}+o(h^3))$
$=1+2h+2h^2+\frac{4h^3}{3}-2h^2-4h^3+\frac{13h^3}{6}+o(h^3)$
$=1+2h+h^3(\frac{4}{3}-4+\frac{13}{6})+o(h^3)=1+2h+h^3(\frac{8-24+13}{6})+o(h^3)=1+2h-\frac{h^3}{6}+o(h^3)$.

7. La tangente en $x=1$ : $f(1)=1$, $f^{\prime }(1)=2$ (lu dans le DL : coefficient de $h$ est $2$). Équation : $y=1+2(x-1)=2x-1$.
Position relative : $f(x)-(2x-1)=f(1+h)-(2(1+h)-1)=1+2h-\frac{h^3}{6}-2h=-\frac{h^3}{6}+o(h^3)$. Donc au voisinage de $1$ : $f(x)<T(x)$ pour $h>0$ et $f(x)>T(x)$ pour $h<0$ : la courbe est au-dessus de la tangente pour $x<1$ et en-dessous pour $x>1$ (changement de concavité, point d'inflexion).