Exercices de Équations différentielles en maths Sup (prépa)

1. $ED linéaires du premier ordre$

2. $ED homogène x y^{'} - α y = 0$

Soit

α \in R

. Résoudre sur

I = R_{+}^{*}

R_{-}^{*}

l'équation différentielle

x y^{'} - α y = 0.

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3. $ED avec (x^{2} + 1) au dénominateur$

Résoudre sur

R

les équations différentielles suivantes :

Q1-

(x^{2} + 1) y^{'} + 2 x y + 1 = 0

Q2-

(x^{2} + 1) y^{'} - x y = (x^{2} + 1)^{3/2}

Q3-

(x^{2} + 1)^{2} y^{'} + 2 x (x^{2} + 1) y = 1

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4. $ED avec e^{x} dans le coefficient$

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés

Q1-

(1 + e^{x}) y^{'} + e^{x} y = (1 + e^{x})

sur

R

Q2-

(e^{x} - 1) y^{'} + e^{x} y = 1

sur

R_{+}^{*}

R_{-}^{*}

Q3-

x (1 + ln^{2} (x)) y^{'} + 2 ln (x) y = 1

sur

R_{+}^{*}

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5. $ED sur] - 1; 1 [avec racine carrée$

Résoudre sur

] - 1; 1 [

l'équation différentielle suivante

1 - x^{2} y^{'} + y = 1.

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6. $ED avec fonctions trigonométriques$

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés

Q1-

(2 + cos x) y^{'} + sin (x) y = (2 + cos x) sin x

sur

R

Q2-

(1 + cos^{2} x) y^{'} - sin 2 x \cdot y = cos x

sur

R

Q3-

y^{'} sin x - y cos x + 1 = 0

sur

] 0; π [

Q4-

(sin x)^{3} y^{'} = 2 (cos x) y

sur

] 0; π [

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7. $ED avec fonctions hyperboliques$

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés

Q1-

cosh x \cdot y^{'} - sinh x \cdot y = sinh^{3} x

sur

R

Q2-

y^{'} - \frac{sinh x}{1 + cosh x} y = sinh x

sur

R

Q3-

sinh (x) y^{'} - cosh (x) y = 1

sur

R_{+}^{*}

R_{-}^{*}

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8. $ED y^{''} + ω^{2} y = cos (ω_{0} x), ω \neq = ω_{0}$

Soient

ω

ω_{0}

deux réels strictement positifs et distincts.
Trouver les solutions de l'équation différentielle

y^{''} + ω^{2} y = cos (ω_{0} x)

vérifiant les conditions initiales

y (0) = 1

y^{'} (0) = 0

9. $ED y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = sin (2 x)$

Déterminer les solutions réelles de l'équation

(E) : y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = sin (2 x) .

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10. $ED avec intégrale au second membre$

Déterminer les fonctions

f : [0; 1] \to R

dérivables telles que

\forall x \in [0; 1], f^{'} (x) + f (x) + \int_{0}^{1} f (t) d t = 0.

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11. $ED fonctionnelle f^{'} + f (- x) = e^{x}$

Trouver toutes les applications

f : R \to R

dérivables telles que

\forall x \in R, f^{'} (x) + f (- x) = e^{x} .

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12. $ED fonctionnelle f^{'} (x) = f (2 - x)$

Déterminer les fonctions réelles

f

dérivables sur

R

telles que

\forall x \in R, f^{'} (x) = f (2 - x) .

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13. $Équation de Cauchy fonctionnelle$

Trouver toutes les applications

f : R \to R

dérivables en

0

telles que :

\forall (x, y) \in R^{2}, f (x + y) = e^{x} f (y) + e^{y} f (x) .

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14. $ED y^{'} + tanh (t) y = sinh (t)$

Résoudre sur

R

l'équation

y^{'} + tanh (t) y = sinh (t) .

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15. $ED y^{'} - tan (t) y sur] - π /2, π /2 [$

Résoudre sur

I =] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [

l'équation

y^{'} - tan (t) y = \frac{1}{1 + cos ( t )} .

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16. $Petites Mines 2004 — ED 1er ordre$

Résoudre sur

] - \infty, 1 [

l'équation :

(1 - x)^{2} y^{'} = (2 - x) y .

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17. $Petites Mines 2004 — ED avec tanh$

Résoudre sur

R

l'équation :

z^{'} + tanh (t) z = t tanh (t) .

Trouver l'unique solution

z_{1}

vérifiant la condition initiale

z_{1} (0) = 1

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18. $Petites Mines 2006$

Soit

(E)

l'équation :

y^{'} + \frac{sin ( x )}{2 - cos ( x )} y = 2 sin (x) .

Q1-Résoudre

(E_{H})

Q2-Chercher une solution particulière de

(E)

sous la forme

x \mapsto a cos (x) + b

avec

a

b

réels.

Q3-Résoudre

(E)

sur

R

et déterminer l'unique solution de

(E)

, notée

h

, vérifiant la condition initiale

h (0) = 1

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19. $ED y^{'} + cot (t) y sur] 0, π [$

Résoudre sur

I =] 0, π [

l'équation différentielle

(E) : y^{'} + cotan (t) y = cos^{2} (t) .

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20. $Second membre arctan (e^{x})$

Résoudre sur

R

les équations différentielles suivantes :

Q1-

y^{'} - y = arctan (e^{x})

Q2-

y^{'} + y = arctan (e^{x})

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21. $ED y^{'} + 2 y : seconds membres variés$

Résoudre sur

R

les équations

Q1-

y^{'} + 2 y = t e^{- t}

Q2-

y^{'} + 2 y = e^{- 2 t}

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22. $ED y^{'} + y = t cos (t)$

Résoudre sur

R

l'équation

y^{'} + y = t cos (t) .

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23. $ED y^{'} - y = e^{t} + e^{2 t}$

Résoudre sur

R

l'équation

y^{'} - y = e^{t} + e^{2 t} .

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1.ED linéaires du premier ordre

2.ED homogène xy′−αy=0

3.ED avec (x2+1) au dénominateur

4.ED avec ex dans le coefficient

5.ED sur ]−1;1[ avec racine carrée

6.ED avec fonctions trigonométriques

7.ED avec fonctions hyperboliques

8.ED y′′+ω2y=cos(ω0​x), ω=ω0​

9.ED y′′−3y′+2y=sin(2x)

10.ED avec intégrale au second membre

11.ED fonctionnelle f′+f(−x)=ex

12.ED fonctionnelle f′(x)=f(2−x)

13.Équation de Cauchy fonctionnelle

14.ED y′+tanh(t)y=sinh(t)

15.ED y′−tan(t)y sur ]−π/2,π/2[

16.Petites Mines 2004 — ED 1er ordre

17.Petites Mines 2004 — ED avec tanh

18.Petites Mines 2006

19.ED y′+cot(t)y sur ]0,π[

20.Second membre arctan(ex)

21.ED y′+2y : seconds membres variés

22.ED y′+y=tcos(t)

23.ED y′−y=et+e2t

1. $ED linéaires du premier ordre$

2. $ED homogène x y^{'} - α y = 0$

3. $ED avec (x^{2} + 1) au dénominateur$

4. $ED avec e^{x} dans le coefficient$

5. $ED sur] - 1; 1 [avec racine carrée$

6. $ED avec fonctions trigonométriques$

7. $ED avec fonctions hyperboliques$

8. $ED y^{''} + ω^{2} y = cos (ω_{0} x), ω \neq = ω_{0}$

9. $ED y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = sin (2 x)$

10. $ED avec intégrale au second membre$

11. $ED fonctionnelle f^{'} + f (- x) = e^{x}$

12. $ED fonctionnelle f^{'} (x) = f (2 - x)$

13. $Équation de Cauchy fonctionnelle$

14. $ED y^{'} + tanh (t) y = sinh (t)$

15. $ED y^{'} - tan (t) y sur] - π /2, π /2 [$

16. $Petites Mines 2004 — ED 1er ordre$

17. $Petites Mines 2004 — ED avec tanh$

18. $Petites Mines 2006$

19. $ED y^{'} + cot (t) y sur] 0, π [$

20. $Second membre arctan (e^{x})$

21. $ED y^{'} + 2 y : seconds membres variés$

22. $ED y^{'} + y = t cos (t)$

23. $ED y^{'} - y = e^{t} + e^{2 t}$