Exercices de Équations différentielles en maths Sup (prépa) (page 2)

25. $Série d'ED linéaires du 1er ordre$

Résoudre sur

R

les équations suivantes :

Q1-

(E_{1}) : y^{'} + 3 y = sin (x)

;

Q2-

(E_{2}) : y^{'} - 3 y = e^{- x} (1 - x^{3})

;

Q3-

(E_{3}) : y^{'''} - y^{''} = x

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26. $Solution polynomiale : ED y^{'} + x y$

Résoudre sur

R

l'équation

(E) : y^{'} + x y = x^{2} + 1

sachant qu'elle admet une solution particulière polynomiale.

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27. $ED y^{'} + y : trois seconds membres$

Résoudre les équations suivantes

Q1-

y^{'} + y = x

;

Q2-

y^{'} + y = e^{- x}

;

Q3-

y^{'} + y = x e^{- x}

;

Q4-

y^{'} + y = x^{2} e^{- x}

;

Q5-

y^{'} + y = e^{2 x}

;

Q6-

y^{'} + y = e^{- x} + e^{2 x}

;

Q7-

y^{'} + y = sin (x)

;

Q8-

y^{'} + y = cos (x) e^{x}

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28. $Problèmes de Cauchy du 1er ordre$

Résoudre les problèmes de Cauchy suivants

Q1-

y^{'} + 2 x y = e^{x - x^{2}}

y (0) = 0

;

Q2-

x^{2} y^{'} + y = 0

y (0) = 1

;

Q3-

x^{3} y^{'} - 2 y = 0

y (1) = 1

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29. $ED avec ∣ x ∣ dans le coefficient$

Résoudre sur

R_{+}^{*}

R_{-}^{*}

l'équation

∣ x ∣ y^{'} + (x - 1) y = x^{2} .

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30. $ED avec ∣ x (x - 1) ∣ par intervalles$

Résoudre l'équation

∣ x (x - 1) ∣ y^{'} - y = x^{2}

sur

] - \infty, 0 [

] 0, 1 [

] 1, + \infty [

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31. $ED (1 + t^{2}) x^{'} - x = 1$

Résoudre l'équation différentielle :

(1 + t^{2}) x^{'} - x = 1

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32. $Solution paire d'une ED impaire$

Soit

a

b

deux fonctions impaires continues sur

R

. Soit

f

une solution de l'équation différentielle

y^{'} + a y = b

. Montrer que

f

est paire.

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33. $Périodicité$

Soient

T \in R_{+}^{*}

a

b

deux fonctions continues et

T

-périodiques sur

R

f

une solution de l'équation différentielle

(E) : y^{'} + a y = b

. Montrer que

f

est

T

-périodique si et seulement si

f (0) = f (T)

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34. $ED (1 - x^{2}) y^{'} - x y = 1$

Résoudre sur

] - \infty, - 1 [

] - 1, 1 [

puis

] 1, + \infty [

l'équation différentielle

(1 - x^{2}) y^{'} - x y = 1

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35. $Suite de fonctions solutions d'ED$

Soit

α \in R

Q1-Résoudre sur

R_{+}^{*}

l'équation différentielle

x y^{'} - α y = 0

. Déterminer l'unique solution

f

vérifiant

f (1) = 1

Q2-Résoudre sur

R_{+}^{*}

l'équation différentielle

x y^{'} - α y = f

. Déterminer l'unique solution

g

vérifiant

g (1) = 0

Q3-On définit par récurrence une suite de fonctions

(u_{n})

sur

R_{+}^{*}

de la manière suivante :

u_{0} = f

. pour tout

n \in N

u_{n + 1}

est l'unique solution de l'équation différentielle

x y^{'} - α y = u_{n}

sur

R_{+}^{*}

valant

0

1

.
Déterminer par récurrence

u_{n}

pour tout

n \in N

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36. $Limite de f quand f + f^{'} \to 0$

Soit

f

une fonction de classe

C^{1}

sur

R

telle que

x \to + \infty lim f (x) + f^{'} (x) = 0

. Montrer que

x \to + \infty lim f (x) = 0

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37. $ED (x + 1) y^{'} + x y = x^{2} - x + 1$

On considère l'équation différentielle suivante :

(x + 1) y^{'} + x y = x^{2} - x + 1

Q1-Trouver une solution polynomiale.

Q2-En déduire l'ensemble des solutions sur

R

Q3-Déterminer la solution vérifiant la condition initiale

y (1) = 1

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38. $ED2 : seconds membres exponentiels et trigonométriques$

Calculer les solutions (réelles) des équations différentielles suivantes :

Q1-

y^{''} - 2 y^{'} - 3 y = t^{2} e^{t}

Q2-

y^{''} + 4 y^{'} + 3 y = t e^{- 2 t}

Q3-

y^{''} + 4 y^{'} + 3 y = cos (3 t)

Q4-

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = sin (t)

Q5-

y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = e^{- t}

Q6-

y^{''} - 2 y^{'} + y = cos (2 t)

Q7-

y^{''} + 5 y^{'} + 4 y = t e^{- t}

Q8-

y^{''} + y = cos (t)

Q9-

y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = (t + 1) e^{- 3 t}

Q10-

y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = e^{- t} cos (t)

Voir le corrigé

On résout les équations différentielles d'ordre 2 à coefficients constants avec second membre.

1. $y^{''} - 2 y^{'} - 3 y = t^{2} e^{t}$ .

Équation caractéristique :

r^{2} - 2 r - 3 = 0

, racines

r = 3

r = - 1

.
Solution homogène :

y_{H} = C_{1} e^{3 t} + C_{2} e^{- t}

k = 1

n'est pas racine. On cherche

y_{p} = (a t^{2} + b t + c) e^{t}

y_{p}^{'} = (2 a t + b) e^{t} + (a t^{2} + b t + c) e^{t} = (a t^{2} + (2 a + b) t + b + c) e^{t}

y_{p}^{''} = (a t^{2} + (4 a + b) t + 2 a + 2 b + c) e^{t}

y_{p}^{''} - 2 y_{p}^{'} - 3 y_{p} = [(4 a + b) - (4 a + 2 b) ...]

Calculons directement :

y_{p}^{''} - 2 y_{p}^{'} - 3 y_{p} = e^{t} [(a t^{2} + (4 a + b) t + (2 a + 2 b + c)) - 2 (a t^{2} + (2 a + b) t + (b + c)) - 3 (a t^{2} + b t + c)]

= e^{t} [(- 4 a) t^{2} + (4 a + b - 4 a - 2 b - 3 b) t + (2 a + 2 b + c - 2 b - 2 c - 3 c)] = e^{t} [- 4 a t^{2} + (- 4 b) t + (2 a - 4 c)]

.
Identification :

- 4 a = 1 \Rightarrow a = - \frac{1}{4}

;

- 4 b = 0 \Rightarrow b = 0

;

2 a - 4 c = 0 \Rightarrow c = \frac{a}{2} = - \frac{1}{8}

y (t) = C_{1} e^{3 t} + C_{2} e^{- t} + (- \frac{t ^{2}}{4} - \frac{1}{8}) e^{t} .

2. $y^{''} + 4 y^{'} + 3 y = t e^{- 2 t}$ .

Racines :

r^{2} + 4 r + 3 = 0

r = - 1

r = - 3

k = - 2

non racine.

y_{p} = (a t + b) e^{- 2 t}

y_{p}^{'} = a e^{- 2 t} - 2 (a t + b) e^{- 2 t} = (- 2 a t + a - 2 b) e^{- 2 t}

y_{p}^{''} = (- 2 a) e^{- 2 t} - 2 (- 2 a t + a - 2 b) e^{- 2 t} = (4 a t - 2 a - 2 a + 4 b) e^{- 2 t} = (4 a t - 4 a + 4 b) e^{- 2 t}

y_{p}^{''} + 4 y_{p}^{'} + 3 y_{p} = e^{- 2 t} [(4 a t - 4 a + 4 b) + 4 (- 2 a t + a - 2 b) + 3 (a t + b)]

= e^{- 2 t} [(4 a - 8 a + 3 a) t + (- 4 a + 4 a - 8 b + 4 b + 3 b)] = e^{- 2 t} [- a t - b]

.
Donc

- a = 1 \Rightarrow a = - 1

- b = 0 \Rightarrow b = 0

y (t) = C_{1} e^{- t} + C_{2} e^{- 3 t} - t e^{- 2 t} .

3. $y^{''} + 4 y^{'} + 3 y = cos (3 t)$ .

Mêmes racines. Exponentielle complexe :

z^{''} + 4 z^{'} + 3 z = e^{3 i t}

. On cherche

z_{p} = A e^{3 i t}

A (- 9 + 12 i + 3) = A (- 6 + 12 i) = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{- 6 + 12 i} = \frac{- 6 - 12 i}{36 + 144} = \frac{- 6 - 12 i}{180} = \frac{- 1 - 2 i}{30}

z_{p} = \frac{- 1 - 2 i}{30} (cos (3 t) + i sin (3 t))

Re (z_{p}) = \frac{- cos ( 3 t ) + 2 sin ( 3 t )}{30}

y (t) = C_{1} e^{- t} + C_{2} e^{- 3 t} + \frac{2 sin ( 3 t ) - cos ( 3 t )}{30} .

4. $y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = sin (t)$ .

Racines

r = - 1

r = - 2

. Exponentielle complexe :

z^{''} + 3 z^{'} + 2 z = e^{i t}

A (2 - 1 + 3 i) = A (1 + 3 i) = 1

A = \frac{1 - 3 i}{10}

Im (z_{p}) = Im (\frac{1 - 3 i}{10} (cos t + i sin t)) = \frac{sin t - 3 cos t}{10}

y (t) = C_{1} e^{- t} + C_{2} e^{- 2 t} + \frac{sin ( t ) - 3 cos ( t )}{10} .

5. $y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = e^{- t}$ .

Racine double

r = 2

k = - 1

non racine.

y_{p} = A e^{- t}

A (1 + 4 + 4) = 9 A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{9}

y (t) = (C_{1} + C_{2} t) e^{2 t} + \frac{e ^{- t}}{9} .

6. $y^{''} - 2 y^{'} + y = cos (2 t)$ .

Racine double

r = 1

k = 2 i

non racine. Exponentielle complexe :

z^{''} - 2 z^{'} + z = e^{2 i t}

A (- 4 - 4 i + 1) = A (- 3 - 4 i) = 1

A = \frac{- 3 + 4 i}{25}

Re (z_{p}) = \frac{- 3 cos ( 2 t ) - 4 sin ( 2 t )}{25}

y (t) = (C_{1} + C_{2} t) e^{t} + \frac{- 3 cos ( 2 t ) - 4 sin ( 2 t )}{25} .

7. $y^{''} + 5 y^{'} + 4 y = t e^{- t}$ .

Racines

r = - 1

r = - 4

k = - 1

est racine simple. On cherche

y_{p} = (a t + b) t e^{- t} = (a t^{2} + b t) e^{- t}

y_{p}^{'} = (2 a t + b) e^{- t} - (a t^{2} + b t) e^{- t} = (- a t^{2} + (2 a - b) t + b) e^{- t}

y_{p}^{''} = (a t^{2} - (4 a - b) t + (2 a - 2 b)) e^{- t}

y_{p}^{''} + 5 y_{p}^{'} + 4 y_{p} = e^{- t} [(a - (5 a) + 4 a) t^{2} + (- (4 a - b) + (10 a - 5 b) + 4 b) t + (2 a - 2 b + 5 b)]

= e^{- t} [0 \cdot t^{2} + (6 a) t + (2 a + 3 b)]

.
Donc

6 a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{6}

2 a + 3 b = 0 \Rightarrow b = - \frac{2 a}{3} = - \frac{1}{9}

y (t) = C_{1} e^{- t} + C_{2} e^{- 4 t} + (\frac{t ^{2}}{6} - \frac{t}{9}) e^{- t} .

8. $y^{''} + y = cos (t)$ .

Racines

\pm i

k = i

est racine. On cherche

y_{p} = t (a cos t + b sin t)

y_{p}^{''} = - t (a cos t + b sin t) + 2 (- a sin t + b cos t)

y_{p}^{''} + y_{p} = 2 b cos t - 2 a sin t = cos t

.
Donc

b = \frac{1}{2}

a = 0

y (t) = C_{1} cos t + C_{2} sin t + \frac{t sin t}{2} .

9. $y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = (t + 1) e^{- 3 t}$ .

Racine double

r = 3

k = - 3

non racine.

y_{p} = (a t + b) e^{- 3 t}

y_{p}^{'} = (a - 3 (a t + b)) e^{- 3 t} = (a - 3 a t - 3 b) e^{- 3 t}

y_{p}^{''} = (- 3 a - 3 (a - 3 a t - 3 b)) e^{- 3 t} = (- 6 a + 9 a t + 9 b) e^{- 3 t}

y_{p}^{''} - 6 y_{p}^{'} + 9 y_{p} = e^{- 3 t} [(- 6 a + 9 a t + 9 b) - 6 (a - 3 a t - 3 b) + 9 (a t + b)]

= e^{- 3 t} [(9 a + 18 a + 9 a) t + (- 6 a + 9 b + 6 b - 18 b + ...)]

. Recalculons :

= e^{- 3 t} [(9 a - 6 \cdot (- 3 a) + 9 a) t + (- 6 a + 9 b - 6 (a - 3 a t ...))]

Directement : coefficient de

t

9 a + 18 a + 9 a = 36 a

, terme constant :

- 6 a + 9 b + 18 b + 9 b = - 6 a + 36 b

. Hmm, refaisons :

y_{p}^{''} - 6 y_{p}^{'} + 9 y_{p} = (- 6 a + 9 a t + 9 b) e^{- 3 t} - 6 (a - 3 a t - 3 b) e^{- 3 t} + 9 (a t + b) e^{- 3 t}

= [(- 6 a + 9 a t + 9 b) + (- 6 a + 18 a t + 18 b) + (9 a t + 9 b)] e^{- 3 t}

= [(9 a + 18 a + 9 a) t + (- 6 a - 6 a + 9 b + 18 b + 9 b)] e^{- 3 t} = [36 a t + (- 12 a + 36 b)] e^{- 3 t}

36 a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{36}

;

- 12 a + 36 b = 1 \Rightarrow b = \frac{1 + 12 a}{36} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{36} = \frac{4}{108} = \frac{1}{27}

y (t) = (C_{1} + C_{2} t) e^{3 t} + (\frac{t}{36} + \frac{1}{27}) e^{- 3 t} .

10. $y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = e^{- t} cos (t)$ .

Racines

1 \pm i

k = - 1 + i

n'est pas racine. Exponentielle complexe :

z^{''} - 2 z^{'} + 2 z = e^{(- 1 + i) t}

. On cherche

z_{p} = A e^{(- 1 + i) t}

A ((- 1 + i)^{2} - 2 (- 1 + i) + 2) = A (- 1 - 2 i + i^{2} + 2 - 2 i + 2 i + 2)

... Calculons

(- 1 + i)^{2} = 1 - 2 i - 1 = - 2 i

A (- 2 i - 2 (- 1 + i) + 2) = A (- 2 i + 2 - 2 i + 2) = A (4 - 4 i) = 1

A = \frac{1}{4 - 4 i} = \frac{4 + 4 i}{32} = \frac{1 + i}{8}

z_{p} = \frac{1 + i}{8} e^{- t} (cos t + i sin t)

Re (z_{p}) = \frac{e ^{- t}}{8} (cos t - sin t)

y (t) = e^{t} (C_{1} cos t + C_{2} sin t) + \frac{e ^{- t} ( cos t - sin t )}{8} .

39. $Deux problèmes de Cauchy$

Deux problèmes de Cauchy.

Q1-Déterminer l'unique fonction

f

, deux fois dérivable sur

R

, solution de

y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = e^{- 3 t}

pour la condition initiale

f (0) = 0

f^{'} (0) = 1

Q2-Déterminer l'unique fonction

g

, deux fois dérivable sur

R

, solution de

y^{''} + 5 y^{'} + 4 y = e^{- t}

pour la condition initiale

g (0) = 0

g^{'} (0) = 1

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40. $ED y^{''} + 4 y^{'} + 5 y = e^{- 2 x} sin (x)$

Résoudre sur

R

l'équation

y^{''} + 4 y^{'} + 5 y = e^{- 2 x} sin (x) .

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41. $ED y^{''} + 4 y = sin^{2} (t)$

Résoudre sur

R

l'équation différentielle

(E) : y^{''} + 4 y = sin^{2} (t) .

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42. $ED2 à solutions complexes$

Déterminer les solutions à valeurs complexes des équations suivantes :

Q1-

y^{''} + y^{'} + y = 0

Q2-

y^{''} - 2 i y^{'} - y = 0

Q3-

y^{''} - i y^{'} + 2 y = 0

Q4-

y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

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43. $Problèmes de Cauchy du 2nd ordre$

Résoudre sur

R

les problèmes de Cauchy suivants :

Q1-

y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0

y (0) = y^{'} (0) = 0

Q2-

y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = 0

y (0) = 0

y^{'} (0) = 1

Q3-

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = x

y (0) = y^{'} (0) = 1

Q4-

y^{''} + y^{'} + y = 0

y (0) = 0

y^{'} (0) = 1

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44. $ED y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = e^{x} sin (x)$

Résoudre l'équation suivante

y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = e^{x} sin (x) .

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45. $Série d'ED du 2nd ordre$

Résoudre les équations suivantes

Q1-

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = x

;

Q2-

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{2 x}

;

Q3-

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{2 x}

;

Q4-

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = x e^{x}

;

Q5-

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = cosh (x)

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46. $ED complexe y^{''} - (1 - i) y^{'}$

On étudie une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients complexes constants, dont on cherche la solution générale puis la solution satisfaisant des conditions initiales données.

Q1-Résoudre l'équation différentielle

y^{''} - (1 - i) y^{'} - 2 (1 + i) y = 0

Q2-Donner l'unique solution

f

vérifiant

f (0) = f^{'} (0) = 1

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Exercices de Équations différentielles, Sup (prépa) (page 2)

24. $ED y^{'} - ln (x) y = x^{x}$

25. $Série d'ED linéaires du 1er ordre$

26. $Solution polynomiale : ED y^{'} + x y$

27. $ED y^{'} + y : trois seconds membres$

28. $Problèmes de Cauchy du 1er ordre$

29. $ED avec ∣ x ∣ dans le coefficient$

30. $ED avec ∣ x (x - 1) ∣ par intervalles$

31. $ED (1 + t^{2}) x^{'} - x = 1$

32. $Solution paire d'une ED impaire$

33. $Périodicité$

34. $ED (1 - x^{2}) y^{'} - x y = 1$

35. $Suite de fonctions solutions d'ED$

36. $Limite de f quand f + f^{'} \to 0$

37. $ED (x + 1) y^{'} + x y = x^{2} - x + 1$

38. $ED2 : seconds membres exponentiels et trigonométriques$

39. $Deux problèmes de Cauchy$

40. $ED y^{''} + 4 y^{'} + 5 y = e^{- 2 x} sin (x)$

41. $ED y^{''} + 4 y = sin^{2} (t)$

42. $ED2 à solutions complexes$

43. $Problèmes de Cauchy du 2nd ordre$

44. $ED y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = e^{x} sin (x)$

45. $Série d'ED du 2nd ordre$

46. $ED complexe y^{''} - (1 - i) y^{'}$

24.ED y′−ln(x)y=xx

25.Série d'ED linéaires du 1er ordre

26.Solution polynomiale : ED y′+xy

27.ED y′+y : trois seconds membres

28.Problèmes de Cauchy du 1er ordre

29.ED avec ∣x∣ dans le coefficient

30.ED avec ∣x(x−1)∣ par intervalles

31.ED (1+t2)x′−x=1

32.Solution paire d'une ED impaire

33.Périodicité

34.ED (1−x2)y′−xy=1

35.Suite de fonctions solutions d'ED

36.Limite de f quand f+f′→0

37.ED (x+1)y′+xy=x2−x+1

38.ED2 : seconds membres exponentiels et trigonométriques

39.Deux problèmes de Cauchy

40.ED y′′+4y′+5y=e−2xsin(x)

41.ED y′′+4y=sin2(t)

42.ED2 à solutions complexes

43.Problèmes de Cauchy du 2nd ordre

44.ED y′′−2y′+2y=exsin(x)

45.Série d'ED du 2nd ordre

46.ED complexe y′′−(1−i)y′

24. $ED y^{'} - ln (x) y = x^{x}$

25. $Série d'ED linéaires du 1er ordre$

26. $Solution polynomiale : ED y^{'} + x y$

27. $ED y^{'} + y : trois seconds membres$

28. $Problèmes de Cauchy du 1er ordre$

29. $ED avec ∣ x ∣ dans le coefficient$

30. $ED avec ∣ x (x - 1) ∣ par intervalles$

31. $ED (1 + t^{2}) x^{'} - x = 1$

32. $Solution paire d'une ED impaire$

33. $Périodicité$

34. $ED (1 - x^{2}) y^{'} - x y = 1$

35. $Suite de fonctions solutions d'ED$

36. $Limite de f quand f + f^{'} \to 0$

37. $ED (x + 1) y^{'} + x y = x^{2} - x + 1$

38. $ED2 : seconds membres exponentiels et trigonométriques$

39. $Deux problèmes de Cauchy$

40. $ED y^{''} + 4 y^{'} + 5 y = e^{- 2 x} sin (x)$

41. $ED y^{''} + 4 y = sin^{2} (t)$

42. $ED2 à solutions complexes$

43. $Problèmes de Cauchy du 2nd ordre$

44. $ED y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = e^{x} sin (x)$

45. $Série d'ED du 2nd ordre$

46. $ED complexe y^{''} - (1 - i) y^{'}$