Exercices de Espaces vectoriels en maths Sup (prépa)

1. $Ev E \times E sur C$

2. $Sev de R^{2}$

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de

R^{2}

Q1-

{(x, y) \in R^{2} ∣ x \leq y}

Q2-

{(x, y) \in R^{2} ∣ x y = 0}

Q3-

{(x, y) \in R^{2} ∣ x = y}

Q4-

{(x, y) \in R^{2} ∣ x + y = 1}

Q5-

{(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} - y^{2} = 0}

Q6-

{(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} = 0}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

3. $Sev F, G de R^{3}$

Soient

F = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x + y - z = 0}

G = {(a - b, a + b, a - 3 b) ∣ a, b \in R}

Q1-Montrer que

F

G

sont des sous-espaces vectoriels de

R^{3}

Q2-Déterminer

F \cap G

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

4. $Sev de R^{N}$

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de

R^{N}

Q1-

{(u_{n}) \in R^{N} ∣ (u_{n}) born \overset{e}{ˊ} e}

Q2-

{(u_{n}) \in R^{N} ∣ (u_{n}) monotone}

Q3-

{(u_{n}) \in R^{N} ∣ (u_{n}) convergente}

Q4-

{(u_{n}) \in R^{N} ∣ (u_{n}) arithm \overset{e}{ˊ} tique}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

5. $Suite récurrente : sev$

Soit

F = {(u_{n}) \in R^{N} ∣ \forall n \in N, u_{n + 2} = n u_{n + 1} + u_{n}}

.
Montrer que

F

est un sous-espace vectoriel de

R^{N}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

6. $Sev de l'espace de fonctions$

Les parties de

F (R, R)

suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ?

Q1-

{f : R \to R ∣ f est monotone}

Q2-

{f : R \to R ∣ f s’annule en 0}

Q3-

{f : R \to R ∣ f s’annule}

Q4-

{f : R \to R ∣ f est impaire}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

7. $Sev d'un espace de fonctions$

Montrer que les parties de

F ([a; b], R)

suivantes sont des sous-espaces vectoriels :

Q1-

F = {f \in C^{1} ([a; b], R) ∣ f^{'} (a) = f^{'} (b)}

Q2-

G = {f \in C^{0} ([a; b], R) ∣ \int_{a}^{b} f (t) d t = 0}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

8. $Sev ω \cdot R$

Soit

ω \in C

. On note

ω \cdot R = {ω x ∣ x \in R}

.
Montrer que

ω \cdot R

est un sous-espace vectoriel de

C

vu comme

R

-espace vectoriel.
À quelle condition

ω \cdot R

est-il un sous-espace vectoriel de

C

vu comme

C

-espace vectoriel ?

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

9. $L'enveloppe linéaire est un sev$

Soient

u_{1}, \dots, u_{n}

des vecteurs d'un

K

-espace vectoriel

E

.
Montrer que l'ensemble

F = {λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{n} u_{n} ∣ λ_{1}, \dots, λ_{n} \in K}

est un sous-espace vectoriel de

E

contenant les vecteurs

u_{1}, \dots, u_{n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

10. $Diff. croissantes : sev$

Soient

E = F (R, R)

C

l'ensemble des fonctions de

E

croissantes et

Δ = {f - g ∣ f, g \in C}

.
Montrer que

Δ

est un sous-espace vectoriel de

E

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

11. $Suites périodiques : sev$

Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d'une structure que l'on précisera.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

12. $F \cap G = F + G ⟺ F = G$

Soient

F

G

des sous-espaces vectoriels de

E

.
Montrer

F \cap G = F + G ⟺ F = G

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

13. $F \cap (G + H) vs (F \cap G) + (F \cap H)$

Soient

F

G

H

des sous-espaces vectoriels d'un

K

-espace vectoriel

E

.
Comparer :

Q1-

F \cap (G + H)

(F \cap G) + (F \cap H)

Q2-

F + (G \cap H)

(F + G) \cap (F + H)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

14. $Union de deux sev : condition$

À quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle un sous-espace vectoriel ?

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

15. $Modularité : F \subset G$

Soient

F

G

H

trois sous-espaces vectoriels d'un

K

-espace vectoriel

E

.
Montrer que

F \subset G ⟹ F + (G \cap H) = (F + G) \cap (F + H)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

16. $Relations entre sev F, G, H$

Soient

F

G

F^{'}

G^{'}

des sous-espaces vectoriels de

E

tels que

F \cap G = F^{'} \cap G^{'}

.
Montrer que

(F + (G \cap F^{'})) \cap (F + (G \cap G^{'})) = F

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

17. $Inclusion entre Vect (X \cap Y)$

Comparer

Vect (A \cap B)

Vect (A) \cap Vect (B)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

18. $Vect (u, v) dans R^{3}$

On considère les vecteurs de

R^{3}

u = (1, 1, 1)

v = (1, 0, - 1)

.
Montrer

Vect (u, v) = {(2 α, α + β, 2 β) ∣ α, β \in R}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

19. $Appartenance à Vect (x, y)$

Dans

R^{3}

, on considère

x = (1, - 1, 1)

y = (0, 1, a)

où

a \in R

.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur

a

pour que

u = (1, 1, 2)

appartienne à

Vect (x, y)

. Comparer alors

Vect (x, y)

Vect (x, u)

Vect (y, u)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

20. $Sev F, G supplémentaires$

Soient

F = {f \in C^{1} (R, R) ∣ f (0) = f^{'} (0) = 0}

G = {x \mapsto a x + b ∣ (a, b) \in R^{2}}

.
Montrer que

F

G

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

C^{1} (R, R)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

21. $Fonctions et constantes : supplt.$

Soient

F = {f \in C ([- 1; 1], C) ∣ \int_{- 1}^{1} f (t) d t = 0}

G = {f \in C ([- 1; 1], C) ∣ f constante}

.
Montrer que

F

G

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

C ([- 1; 1], C)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

22. $Hyperplan et Vect (1, \dots, 1)$

Soient

H = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in K^{n} ∣ x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 0}

u = (1, \dots, 1) \in K^{n}

.
Montrer que

H

Vect (u)

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

K^{n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

23. $Sev de C ([0, π])$

Dans l'espace

E = C ([0; π], R)

on considère les parties

F = {f \in E ∣ f (0) = f (π /2) = f (π)}

G = Vect (sin, cos)

.
Montrer que

F

G

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

E

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

24. $Sev {f (0) + f (1) = 0}$

Soit

F = {f \in F (R, R) ∣ f (0) + f (1) = 0}

Q1-Montrer que

F

est un sous-espace vectoriel.

Q2-Déterminer un supplémentaire de

F

dans

F (R, R)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

25. $Condition : sev affine vectoriel$

À quelle condition simple le sous-espace affine

V = a + F

est-il un sous-espace vectoriel ?

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

26. $Intersection de sev affines$

Soient

V = a + F

W = b + G

deux sous-espaces affines d'un

R

-espace vectoriel

E

.
Montrer que

V \cap W \neq = \emptyset ⟺ b - a \in F + G

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

27. $Exemples d'espaces vectoriels$

Préciser pour chacun des triplets suivants les lois

+

\cdot

qui les munissent d'une structure d'espace vectoriel ainsi que le vecteur nul.

Q1-

(R^{n}, +, \cdot)

Q2-

(R^{R}, +, \cdot)

Q3-

(R^{N}, +, \cdot)

Q4-

(C, +, \cdot)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

28. $Ev sur R_{+}^{*}$

Vérifier que l'ensemble

R_{+}^{*}

muni des lois interne et externe suivantes

u ⊞ v = uv et λ ⊡ u = u^{λ},

où

u

v

sont dans

R_{+}^{*}

λ \in R

, est un

R

-espace vectoriel.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

29. $Sev F, G de R^{3}$

Dans l'espace vectoriel

E = R^{3}

, on considère les ensembles suivants,

F = {(λ - 3 μ, 2 λ + 3 μ, λ) ∣ (λ, μ) \in R^{2}}

G = {(x, y, z) \in E ∣ x + 2 y = 0} .

Q1-Prouver que les ensembles

F

G

sont des sous-espaces vectoriels de

E

Q2-Déterminer le sous-espace vectoriel

F \cap G

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

30. $Enveloppe de X \cap Y et inclusions$

Soient

E

K

-espace vectoriel et

X, Y

deux parties de

E

. Prouver que

v ec t (X \cap Y) \subset v ec t (X) \cap v ec t (Y) .

Donner un exemple où cette inclusion est stricte.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

31. $Union de deux sev stricts$

Montrer qu'un

K

-espace vectoriel

E

n'est jamais l'union de deux sous-espaces vectoriels stricts (i.e. distincts de

E

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

32. $Sev de R^{3} : exemples$

Q1-

E_{1} = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x + y = 0}

est-il un sous-espace vectoriel de

R^{3}

Q2-

E_{2} = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x y = 0}

est-il un sous-espace vectoriel de

R^{3}

Q3-

E_{3} = {(x, y, z, t) \in R^{4} ∣ x = 0, y = z}

est-il un sous-espace vectoriel de

R^{4}

Q4-

E_{4} = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x = 1}

est-il un sous-espace vectoriel de

R^{3}

Q5-

E_{5} = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + x y \geq 0}

est-il un sous-espace vectoriel de

R^{2}

Q6-

E_{6} = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + x y + y^{2} \geq 0}

est-il un sous-espace vectoriel de

R^{2}

Voir le corrigé

1. $E_{1} = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x + y = 0}$ : Oui.

(0, 0, 0) \in E_{1}

. Si

(x_{1}, y_{1}, z_{1}), (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \in E_{1}

α, β \in R

, alors

(α x_{1} + β x_{2}) + (α y_{1} + β y_{2}) = α (x_{1} + y_{1}) + β (x_{2} + y_{2}) = 0

E_{1}

est stable par combinaison linéaire, c'est un sev.

2. $E_{2} = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x y = 0}$ : Non.

(1, 0, 0) \in E_{2}

(0, 1, 0) \in E_{2}

mais

(1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) \in / E_{2}

car

1 \times 1 = 1 \neq = 0

E_{2}

n'est pas stable par addition.

3. $E_{3} = {(x, y, z, t) \in R^{4} ∣ x = 0, y = z}$ : Oui.

(0, 0, 0, 0) \in E_{3}

. Si

(0, y_{1}, y_{1}, t_{1}), (0, y_{2}, y_{2}, t_{2}) \in E_{3}

α, β \in R

, alors

α (0, y_{1}, y_{1}, t_{1}) + β (0, y_{2}, y_{2}, t_{2}) = (0, α y_{1} + β y_{2}, α y_{1} + β y_{2}, α t_{1} + β t_{2}) \in E_{3}

. C'est un sev.

4. $E_{4} = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x = 1}$ : Non.

(0, 0, 0) \in / E_{4}

car la première coordonnée du vecteur nul est

0 \neq = 1

E_{4}

ne contient pas le vecteur nul.

5. $E_{5} = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + x y \geq 0}$ : Non. Prenons

(x, y) = (1, - 3)

1 + 1 \cdot (- 3) = - 2 < 0

, donc

(1, - 3) \in / E_{5}

. Mais

(1, 0) \in E_{5}

(car

1 \geq 0

) et

(0, - 3) \in E_{5}

(car

0 \geq 0

), et

(1, 0) + (0, - 3) = (1, - 3) \in / E_{5}

E_{5}

n'est pas stable par addition.

6. $E_{6} = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + x y + y^{2} \geq 0}$ : Oui, mais trivialement :

E_{6} = R^{2}

. En effet,

x^{2} + x y + y^{2} = (x + \frac{y}{2})^{2} + \frac{3 y ^{2}}{4} \geq 0

pour tout

(x, y) \in R^{2}

R^{2}

est un sev de lui-même.

33. $R sev de C ?$

R

est-il un sous-espace du

R

-espace vectoriel

C

? du

R

-espace vectoriel

C

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

34. $Sev de R^{R}$

Parmi les parties suivantes du

R

-espace vectoriel

R^{R}

, déterminer celles qui en sont des sous-espaces vectoriels.

Q1-

E_{1} = {f \in R^{R} ∣ f (1) = 0} .

Q2-

E_{2} = {f \in R^{R} ∣ f (0) = 1} .

Q3-L'ensemble

E_{3}

des fonctions croissantes de

R

dans

R

Q4-L'ensemble

E_{4}

des fonctions décroissantes de

R

dans

R

Q5-L'ensemble

E_{5}

des fonctions monotones de

R

dans

R

Q6-L'ensemble

E_{6}

des fonctions paires de

R

dans

R

Q7-L'ensemble

E_{7}

des fonctions impaires de

R

dans

R

Q8-L'ensemble

E_{8}

des fonctions

2 π

-périodiques.

Q9-L'ensemble

E_{9}

des fonctions périodiques.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

35. $Suites convergentes : sev$

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de

E = R^{N}

Q1-L'ensemble

E_{1}

des suites réelles convergentes.

Q2-L'ensemble

E_{2}

des suites réelles divergentes.

Q3-L'ensemble

E_{3}

des suites réelles constantes.

Q4-L'ensemble

E_{4}

des suites réelles bornées.

Q5-L'ensemble

E_{5}

des suites réelles de limite nulle.

Q6-

E_{6} = {u \in E ∣ u_{n} n \to + \infty = O (n^{2})}

Q7-

E_{7} = {u \in E ∣ u_{n} n \to + \infty \sim \frac{1}{n}}

Q8-

E_{8} = {u \in E ∣ \exists α \in R, u_{n} n \to + \infty \sim \frac{α}{n}}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

36. $Supplémentaires dans R^{3}$

Soit

F

le sous-espace vectoriel de

R^{3}

d'équation

x + y + z = 0

G

le sous-espace vectoriel de

R^{3}

d'équations

{x - y + 2 z = 0 x + y - z = 0

Q1-Montrer que

F

G

sont supplémentaires dans

R^{3}

Q2-Soit

(x, y, z) \in R^{3}

. Déterminer la projection de

(x, y, z)

sur

F

(resp.

G

) parallèlement à

G

(resp.

F

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

37. $Suites : E = F \oplus G$

On note

E

l'ensemble des suites réelles convergentes,

F

l'ensemble des suites réelles de limite nulle et

G

l'ensemble des suites réelles constantes.

Q1-Montrer que

E, F, G

sont des sous-espaces vectoriels de

R^{N}

Q2-Montrer que

E = F \oplus G

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

38. $Fonctions : sev supplémentaires$

On note

E = R^{R}

F = {f \in R^{R}, f (0) + f (1) = 0}

G

l'ensemble des fonctions constantes sur

R

Q1-Montrer que

F

G

sont des sous-espaces vectoriels de

E

Q2-Montrer que

F

G

sont supplémentaires dans

E

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

39. $Équations diff. et sev$

On considère les équations différentielles suivantes :

(E) : y^{'''} - y = 0

(F) : y^{''} + y^{'} + y = 0

(G) : y^{'} - y = 0

On note

E, F

G

les ensembles respectifs des solutions à valeurs réelles de

(E), (F)

(G)

. Les solutions de

(E), (F)

(G)

sont toutes de classe

C^{\infty}

sur

R

, ce qu'on ne demande pas de montrer. On note

C^{\infty} (R, R)

l'ensemble des fonctions de classe

C^{\infty}

sur

R

à valeurs dans

R

Q1-Montrer que

E

est un sous-espace vectoriel de

C^{\infty} (R, R)

Q2-Montrer que

F \subset E

G \subset E

Q3-Donner les solutions des équations différentielles

(F)

(G)

Voir le corrigé

1. $E$ est un sev de $C^{\infty} (R, R)$ : La fonction nulle vérifie

0^{'''} - 0 = 0

, donc

0 \in E

. Si

y_{1}, y_{2} \in E

α, β \in R

, alors

(α y_{1} + β y_{2})^{'''} - (α y_{1} + β y_{2}) = α (y_{1}^{'''} - y_{1}) + β (y_{2}^{'''} - y_{2}) = 0

. Donc

E

est un sev de

C^{\infty} (R, R)

.

2. $F \subset E$ et $G \subset E$ : Si

y \in F

, alors

y^{''} + y^{'} + y = 0

, donc

y^{''} = - y^{'} - y

y^{'''} = - y^{''} - y^{'} = y^{'} + y - y^{'} = y

, d'où

y^{'''} - y = 0

y \in E

. Si

y \in G

, alors

y^{'} = y

, donc

y^{''} = y^{'} = y

y^{'''} = y^{''} = y

, d'où

y^{'''} - y = 0

y \in E

.

3. Solutions de $(F)$ et $(G)$ :

(G)

y^{'} - y = 0

, l'équation caractéristique est

r - 1 = 0

, soit

r = 1

. Solutions :

y (x) = C e^{x}

C \in R

(F)

y^{''} + y^{'} + y = 0

, l'équation caractéristique est

r^{2} + r + 1 = 0

. Le discriminant est

Δ = 1 - 4 = - 3 < 0

. Les racines sont

r = \frac{- 1 \pm i 3}{2}

, donc

r = - \frac{1}{2} \pm i \frac{3}{2}

. Solutions :

y (x) = e^{- x /2} (A cos (\frac{3}{2} x) + B sin (\frac{3}{2} x))

A, B \in R

.

4. $F$ et $G$ sont des sev de $E$ + familles génératrices :

F

G

sont des ensembles de solutions d'équations différentielles linéaires homogènes, et

F \subset E

G \subset E

par la question 2. Ce sont des sev de

E

(stabilité par combinaison linéaire, même argument qu'en question 1).

Famille génératrice de

G

G = vect (e^{x})

(une seule fonction).

Famille génératrice de

F

F = vect (x \mapsto e^{- x /2} cos (\frac{3}{2} x), x \mapsto e^{- x /2} sin (\frac{3}{2} x))

.

5. a. Soit

y \in E

y_{1} = 2 y - y^{'} - y^{''}

y_{2} = y + y^{'} + y^{''}

y_{1} \in F

: il faut montrer

y_{1}^{''} + y_{1}^{'} + y_{1} = 0

y_{1}^{'} = 2 y^{'} - y^{''} - y^{'''}

y_{1}^{''} = 2 y^{''} - y^{'''} - y^{(4)}

.
Mais

y^{'''} = y

(car

y \in E

), donc

y^{(4)} = y^{'}

.
Ainsi

y_{1}^{'} = 2 y^{'} - y^{''} - y

y_{1}^{''} = 2 y^{''} - y - y^{'}

y_{1}^{''} + y_{1}^{'} + y_{1} = (2 y^{''} - y - y^{'}) + (2 y^{'} - y^{''} - y) + (2 y - y^{'} - y^{''}) = 0

. Donc

y_{1} \in F

y_{2} \in G

: il faut montrer

y_{2}^{'} = y_{2}

y_{2}^{'} = y^{'} + y^{''} + y^{'''} = y^{'} + y^{''} + y

(car

y^{'''} = y

).
Or

y_{2} = y + y^{'} + y^{''}

. Donc

y_{2}^{'} = y_{2}

, i.e.

y_{2} \in G

.

b. On a

y_{1} + y_{2} = (2 y - y^{'} - y^{''}) + (y + y^{'} + y^{''}) = 3 y

, donc

y = \frac{1}{3} (y_{1} + y_{2}) \in F + G

. Ceci montre que

E \subset F + G

, et comme

F, G \subset E

E = F + G

.

Pour montrer que la somme est directe, soit

y \in F \cap G

. Alors

y^{'} = y

(car

y \in G

) et

y^{''} + y^{'} + y = 0

(car

y \in F

). De

y^{'} = y

, on tire

y^{''} = y

, donc

y + y + y = 3 y = 0

, soit

y = 0

. Ainsi

F \cap G = {0}

.

Donc

E = F \oplus G

.

6. Solutions de $(E)$ : Puisque

E = F \oplus G

, tout

y \in E

s'écrit de manière unique

y = f + g

avec

f \in F

g \in G

. Les solutions de

(E)

sont donc :

y (x) = e^{- x /2} (A cos (\frac{3}{2} x) + B sin (\frac{3}{2} x)) + C e^{x}, A, B, C \in R .

40. $Propriétés de F \cap G et F + G$

Soient

F, G

deux sous-espaces vectoriels de

E

. Quelles assertions parmi les suivantes sont vraies en général ?

Q1-

F \cap G \subset F + G

;

Q2-

F \cup G \subset F + G

;

Q3-

F \subset F + G

;

Q4-

F + F = F

;

Q5-

F \cup (F \cap G) \subset F + G

;

Q6-

F + G = G + F

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

1.Ev E×E sur C

2.Sev de R2

3.Sev F, G de R3

4.Sev de RN

5.Suite récurrente : sev

6.Sev de l'espace de fonctions

7.Sev d'un espace de fonctions

8.Sev ω⋅R

9.L'enveloppe linéaire est un sev

10.Diff. croissantes : sev

11.Suites périodiques : sev

12.F∩G=F+G⟺F=G

13.F∩(G+H) vs (F∩G)+(F∩H)

14.Union de deux sev : condition

15.Modularité : F⊂G

16.Relations entre sev F, G, H

17.Inclusion entre Vect(X∩Y)

18.Vect(u,v) dans R3

19.Appartenance à Vect(x,y)

20.Sev F, G supplémentaires

21.Fonctions et constantes : supplt.

22.Hyperplan et Vect(1,…,1)

23.Sev de C([0,π])

24.Sev {f(0)+f(1)=0}

25.Condition : sev affine vectoriel

26.Intersection de sev affines

27.Exemples d'espaces vectoriels

28.Ev sur R+∗​

29.Sev F,G de R3

30.Enveloppe de X∩Y et inclusions

31.Union de deux sev stricts

32.Sev de R3 : exemples

33.R sev de C ?

34.Sev de RR

35.Suites convergentes : sev

36.Supplémentaires dans R3

37.Suites : E=F⊕G

38.Fonctions : sev supplémentaires

39.Équations diff. et sev

40.Propriétés de F∩G et F+G

1. $Ev E \times E sur C$

2. $Sev de R^{2}$

3. $Sev F, G de R^{3}$

4. $Sev de R^{N}$

5. $Suite récurrente : sev$

6. $Sev de l'espace de fonctions$

7. $Sev d'un espace de fonctions$

8. $Sev ω \cdot R$

9. $L'enveloppe linéaire est un sev$

10. $Diff. croissantes : sev$

11. $Suites périodiques : sev$

12. $F \cap G = F + G ⟺ F = G$

13. $F \cap (G + H) vs (F \cap G) + (F \cap H)$

14. $Union de deux sev : condition$

15. $Modularité : F \subset G$

16. $Relations entre sev F, G, H$

17. $Inclusion entre Vect (X \cap Y)$

18. $Vect (u, v) dans R^{3}$

19. $Appartenance à Vect (x, y)$

20. $Sev F, G supplémentaires$

21. $Fonctions et constantes : supplt.$

22. $Hyperplan et Vect (1, \dots, 1)$

23. $Sev de C ([0, π])$

24. $Sev {f (0) + f (1) = 0}$

25. $Condition : sev affine vectoriel$

26. $Intersection de sev affines$

27. $Exemples d'espaces vectoriels$

28. $Ev sur R_{+}^{*}$

29. $Sev F, G de R^{3}$

30. $Enveloppe de X \cap Y et inclusions$

31. $Union de deux sev stricts$

32. $Sev de R^{3} : exemples$

33. $R sev de C ?$

34. $Sev de R^{R}$

35. $Suites convergentes : sev$

36. $Supplémentaires dans R^{3}$

37. $Suites : E = F \oplus G$

38. $Fonctions : sev supplémentaires$

39. $Équations diff. et sev$

40. $Propriétés de F \cap G et F + G$