Exercices de Espaces vectoriels en maths Sup (prépa) (page 2)

42. $F + H = G + H, F \cap H = G \cap H$

Soient

F, G

H

trois sous-espaces vectoriels d'un

K

-espace vectoriel

E

tels que

F + H = G + H, F \cap H = G \cap H,

F \subset G

. Prouver que

F = G

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43. $Fonctions paires et impaires$

On note

E = R^{R}

P

le sous-ensemble de

E

formé par les fonctions paires et

I

le sous-ensemble de

E

formé par les fonctions impaires.

Q1-Montrer que

P

I

sont deux sous-espaces supplémentaires dans

E

Q2-Pour tout

f \in E

, la projection du vecteur

f

sur

P

parallèlement à

I

est appelée partie paire de

f

. On définit de même la partie impaire de

f

. Calculer les parties paire et impaire des fonctions suivantes : le cosinus, le sinus, l'exponentielle,

f : x \mapsto x^{4} + x

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44. $Un petit pas vers Lagrange$

Soient

E = C^{0} ([0, 1], R)

C

l'ensemble des fonctions constantes sur

[0, 1]

, et

A

l'ensemble des éléments de

E

s'annulant en 1.

Q1-Montrer que

C

A

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans

E

Q2-Montrer que

C

est également un supplémentaire dans

E

du sous-espace suivant

N = {f \in E ∣ \int_{0}^{1} f (t) d t = 0}

Q3-Calculer les projections sur

C

parallèlement à

A

puis à

N

d'une fonction

f \in E

Q4-Donner d'autres exemples de supplémentaires de

C

dans

E

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45. $Somme de deux plans$

On note

E = R^{3}

F = {(x, y, z) \in E ∣ x + y - z = 0}

G = {(a - b, a + b, a - 3 b) ∣ a, b \in R} .

Q1-Etablir que

F

G

sont des sev de

E

Q2-Déterminer

F \cap G

Q3-Prouver que

F + G = E

. La somme est-elle directe ?

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46. $Sev F, G, H : modularité$

Soient

A, B

C

trois sev d'un

K

-ev

E

. On note

F = (A \cap B) + (A \cap C), G = A \cap (B + (A \cap C))

H = A \cap (B + C)

Q1-Montrer que

F

G

sont des sev de

H

Q2-Etablir que

F = G

Q3-A-t-on toujours

F = G = H

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47. $Calcul d’une intersection$

Soient

F, G, F^{'}

G^{'}

quatre sev d'un

K

-ev

E

tels que

F \cap G = F^{'} \cap G^{'}

. Etablir que

(F + (G \cap F^{'})) \cap (F + (G \cap G^{'})) = F .

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48. $Affines et N supplémentaires$

On note

E

l'espace vectoriel réel des fonctions dérivables de

R

dans

R

. Soient

N

A

les sous-ensembles de

E

définis par,

A = {f \in E ∣ f affine}

N = {f \in E ∣ f (0) = f^{'} (0) = 0} .

Q1-Prouver que

A

N

sont deux sous-espaces vectoriels de

E

Q2-Montrer que

A

N

sont supplémentaires dans

E

Q3-Déterminer la projection sur

A

parallèlement à

N

d'une fonction

f \in E

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49. $Combinaison linéaire de vecteurs$

Soit

F = ((1, - 2, 1), (2, - 3, 1), (- 1, 3, - 2))

Q1-Le vecteur

(2, 1, 3)

est-il combinaison linéaire de la famille

F

Q2-Même question pour le vecteur

(2, 5, - 7)

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50. $Vect (cos^{n} x) =Vect (cos (n x))$

Soit

E = R^{R}

l'espace vectoriel sur

R

des applications de

R

dans

R

. Pour tout

n \in N

, on pose

f_{n} : x \mapsto cos^{n} (x) et g_{n} : x \mapsto cos (n x) .

Q1-Montrer que pour tout

n

positif,

v ec t (f_{k}, 0 \leq k \leq n) = v ec t (g_{k}, 0 \leq k \leq n) .

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51. $Condition sur a : Vect (u, v)$

Soient

a \in R

E = R^{3}

u = (1, - 1, 1), v = (0, 1, a) .

Q1-Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur

a

pour que

(1, 1, 2) \in v ec t (u, v)

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52. $Familles génératrices de sev$

Donner une famille génératrice des espaces vectoriels suivants.

Q1-Le plan de

R^{3}

d'équation

x + y + z = 0

Q2-Le

R

-espace vectoriel des solutions à valeurs réelles de l'équation différentielle

y^{''} + 2 y^{'} + 2 y = 0

Q3-Le

C

-espace vectoriel des suites

(u_{n})

à valeurs complexes vérifiant

u_{n + 2} + (2 - 3 i) u_{n + 1} - (5 + i) u_{n} = 0

pour tout

n \in N

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53. $Vect (a, b) = Vect (c, d)$

On définit les vecteurs de

R^{3}

suivants :

a = (1, 2, - 3)

b = (3, 2, - 2)

c = (- 1, 2, - 4)

d = (- 6, - 8, 11)

Q1-Montrer que

v ec t (a, b) = v ec t (c, d)

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54. $X — Indép. sin (x + a), sin (x + b)$

Soit

(a, b, c) \in R^{3}

. Les fonctions

x \mapsto sin (x + a)

x \mapsto sin (x + b)

x \mapsto sin (x + c)

sont-elles linéairement indépendantes ?

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55. $X — Somme de sous-espaces$

Soient

E

un espace vectoriel,

F_{1}

F_{2}

deux sous-espaces vectoriels de

E

Q1-Montrer que si

F_{1}

F_{2}

ont un supplémentaire commun alors ils sont isomorphes.

Q2-Montrer que la réciproque est fausse.

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Exercices de Espaces vectoriels, Sup (prépa) (page 2)

41.

42. $F + H = G + H, F \cap H = G \cap H$

43. $Fonctions paires et impaires$

44. $Un petit pas vers Lagrange$

45. $Somme de deux plans$

46. $Sev F, G, H : modularité$

47. $Calcul d’une intersection$

48. $Affines et N supplémentaires$

49. $Combinaison linéaire de vecteurs$

50. $Vect (cos^{n} x) =Vect (cos (n x))$

51. $Condition sur a : Vect (u, v)$

52. $Familles génératrices de sev$

53. $Vect (a, b) = Vect (c, d)$

54. $X — Indép. sin (x + a), sin (x + b)$

55. $X — Somme de sous-espaces$

41.

42.F+H=G+H, F∩H=G∩H

43.Fonctions paires et impaires

44.Un petit pas vers Lagrange

45.Somme de deux plans

46.Sev F,G,H : modularité

47.Calcul d’une intersection

48.Affines et N supplémentaires

49.Combinaison linéaire de vecteurs

50.Vect(cosnx)=Vect(cos(nx))

51.Condition sur a : Vect(u,v)

52.Familles génératrices de sev

53.Vect(a,b)=Vect(c,d)

54.X — Indép. sin(x+a), sin(x+b)

55.X — Somme de sous-espaces

42. $F + H = G + H, F \cap H = G \cap H$

43. $Fonctions paires et impaires$

44. $Un petit pas vers Lagrange$

45. $Somme de deux plans$

46. $Sev F, G, H : modularité$

47. $Calcul d’une intersection$

48. $Affines et N supplémentaires$

49. $Combinaison linéaire de vecteurs$

50. $Vect (cos^{n} x) =Vect (cos (n x))$

51. $Condition sur a : Vect (u, v)$

52. $Familles génératrices de sev$

53. $Vect (a, b) = Vect (c, d)$

54. $X — Indép. sin (x + a), sin (x + b)$

55. $X — Somme de sous-espaces$