Exercices de Fonctions usuelles en maths Sup (prépa)

6. $Lemme de Gibbs$

(Lemme de Gibbs)

(a) Justifier $\forall x > 0, ln x \leq x - 1.$
(b) Soient $(p_{1}, \dots, p_{n})$ et $(q_{1}, \dots, q_{n})$ des $n$ -uplets formés de réels strictement positifs vérifiant $k = 1 \sum n p_{k} = k = 1 \sum n q_{k} = 1.$ Établir $i = 1 \sum n p_{i} ln q_{i} \leq i = 1 \sum n p_{i} ln p_{i} .$ Dans quel(s) cas y a-t-il égalité ?

Q1-Justifier

\forall x > 0, ln x \leq x - 1

Q2-Établir

i = 1 \sum n p_{i} ln q_{i} \leq i = 1 \sum n p_{i} ln p_{i}

et déterminer le cas d'égalité

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

1.Encadrement de ln(1+x)

2.Inégalité ln et limite (1+1/n)n

3.Inégalité ln et moyenne

4.Monotonie de ln(1+ax)/ln(1+bx)

5.Nombre de chiffres et log10​

6.Lemme de Gibbs

7.Simplification de ab avec exp

8.Comparaison de xx et (xx)x

9.Limites d'exponentielles

10.Équations avec ln et exp

11.Systèmes avec ln et exp

12.Système ea+eb+ec=3

13.Inégalités sinx≤x et cosx

14.Développement de cos3a

15.Calcul de cos(π/8)

16.tan(π/24) et formule produit-somme

17.Sommes ∑cos(a+kb) et sinus

18.Somme de cos2k ou sin2k

19.Équations trigonométriques

20.Équation tanxtan2x=1

21.Somme ∑k=14​cos2(kπ/9)

22.Simplification d'arccos et arctan

23.Simplification de arccos(4x3−3x)

24.Simplification d'un arcsin composé

25.Limite de arccos(1−x)/x​

26.Étude et tracé de fonctions

27.Simplification de sommes d'arctan

28.Simplification arctana+arctanb

29.Série télescopique d'arctan

30.Inégalités sinhx≥x et cosh

31.Lien ln(tan(y/2+π/4)) et sinh

32.Produit ∏k=1n​cosh(x/2k)

33.Télescopage avec tanh

34.Système avec cosh et sinh

35.arctan(sinhx)=arccos(1/coshx)

36.Variation de x−∣4x−x2∣​

37.Étude de arcsin(2x/(1+x2))

38.Factorisation et développement, ex

39.Signe de e5x−ex2−3x−9

40.Étude de tanhx

1. $Encadrement de ln (1 + x)$

2. $Inégalité ln et limite (1 + 1/ n)^{n}$

3. $Inégalité ln et moyenne$

4. $Monotonie de ln (1 + a x) / ln (1 + b x)$

5. $Nombre de chiffres et lo g_{10}$

6. $Lemme de Gibbs$

7. $Simplification de a^{b} avec exp$

8. $Comparaison de x^{x} et (x^{x})^{x}$

9. $Limites d'exponentielles$

10. $Équations avec ln et exp$

11. $Systèmes avec ln et exp$

12. $Système e^{a} + e^{b} + e^{c} = 3$

13. $Inégalités sin x \leq x et cos x$

14. $Développement de cos 3 a$

15. $Calcul de cos (π /8)$

16. $tan (π /24) et formule produit-somme$

17. $Sommes \sum cos (a + k b) et sinus$

18. $Somme de cos^{2 k} ou sin^{2 k}$

19. $Équations trigonométriques$

20. $Équation tan x tan 2 x = 1$

21. $Somme \sum_{k = 1}^{4} cos^{2} (k π /9)$

22. $Simplification d'arccos et arctan$

23. $Simplification de arccos (4 x^{3} - 3 x)$

24. $Simplification d'un arcsin composé$

25. $Limite de arccos (1 - x) / x$

26. $Étude et tracé de fonctions$

27. $Simplification de sommes d'arctan$

28. $Simplification arctan a + arctan b$

29. $Série télescopique d'arctan$

30. $Inégalités sinh x \geq x et cosh$

31. $Lien ln (tan (y /2 + π /4)) et sinh$

32. $Produit \prod_{k = 1}^{n} cosh (x / 2^{k})$

33. $Télescopage avec tanh$

34. $Système avec cosh et sinh$

35. $arctan (sinh x) = arccos (1/ cosh x)$

36. $Variation de x - ∣4 x - x^{2} ∣$

37. $Étude de arcsin (2 x / (1 + x^{2}))$

38. $Factorisation et développement, e^{x}$

39. $Signe de e^{5 x} - e^{x^{2} - 3 x - 9}$

40. $Étude de tanh x$