Exercices de Fonctions usuelles, Sup (prépa) (page 3)

1. Identité $\tanh (2x)=\frac{2\tanh (x)}{1+{\tanh }^2(x)}$.

$\tanh (2x)=\frac{\sinh (2x)}{\cosh (2x)}=\frac{2\sinh x\cosh x}{{\cosh }^{2}x+{\sinh }^{2}x}$.

En divisant numérateur et dénominateur par ${\cosh }^{2}x$ : $\frac{2\tanh x}{1+{\tanh }^{2}x}$. ✓

De cette identité : $\frac{1}{\tanh (2x)}=\frac{1+{\tanh }^{2}x}{2\tanh x}=\frac{1}{2\tanh x}+\frac{\tanh x}{2}$.

Donc $\frac{2}{\tanh (2x)}=\frac{1}{\tanh x}+\tanh x$, soit $\frac{2}{\tanh (2x)}-\frac{1}{\tanh x}=\tanh x$. ✓

2. On utilise la relation télescopique : $\tanh (x)=\frac{2}{\tanh (2x)}-\frac{1}{\tanh x}$ s'écrit $x\tanh (x)=\frac{2x}{\tanh (2x)}-\frac{x}{\tanh x}$... En fait, multiplions par $x=2^0$ :

$2^k\tanh (2^{k}a)=\frac{2^{k+1}}{\tanh (2^{k+1}a)}\cdot 2^{k}a/(2^{k}a)\cdot ...$

Plus directement, la relation donne $2^{k}a\cdot \tanh (2^{k}a)=\frac{2^{k+1}a}{\tanh (2^{k+1}a)}-\frac{2^{k}a}{\tanh (2^{k}a)}$ (en multipliant par $2^{k}a$)... Non, la relation est :

$2\tanh (x)\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{\tanh (2x)}\cdot \frac{1}{2}\cdot ...$

On utilise la relation comme suit : notons $u_k=\frac{2^k}{\tanh (2^{k}a)}$. Alors $\frac{2}{\tanh (2x)}-\frac{1}{\tanh x}=\tanh (x)$ devient $2u_{k+1}/2^{k+1}\cdot 2^k-u_k=...$

Réponse directe : la relation $\frac{2}{\tanh (2x)}-\frac{1}{\tanh (x)}=\tanh (x)$ implique $2^k\tanh (2^{k}a)=\frac{2^{k+1}}{\tanh (2^{k+1}a)}-\frac{2^k}{\tanh (2^{k}a)}$ ... Non.

En fait, en posant $f(x)=\frac{1}{\tanh (x)}-\frac{2}{\tanh (2x)}$, on a $f(x)=-\tanh (x)$. Donc $2^k\tanh (2^{k}a)=\frac{2^k}{\tanh (2^{k}a)}-\frac{2^{k+1}}{\tanh (2^{k+1}a)}$.

Donc ${\Lambda }_n=\sum _{k=0}^n{2}^k\tanh (2^{k}a)=\sum _{k=0}^n\left(\frac{2^k}{\tanh (2^{k}a)}-\frac{2^{k+1}}{\tanh (2^{k+1}a)}\right)=\frac{1}{\tanh (a)}-\frac{2^{n+1}}{\tanh (2^{n+1}a)}$.

Quand $n\to +\infty$, $2^{n+1}a\to +\infty$, donc $\tanh (2^{n+1}a)\to 1$ et $\frac{2^{n+1}}{\tanh (2^{n+1}a)}\to +\infty$.

Donc ${\Lambda }_n=\frac{1}{\tanh (a)}-\frac{2^{n+1}}{\tanh (2^{n+1}a)}$.