Exercices de Limite et continuité de fonctions en maths Sup (prépa)

19. $Continue injective est monotone$

Notre objectif dans cet exercice est d'établir la proposition :
Si $I$ est un intervalle de $R$ , toute fonction $f : I \to R$ continue et injective est strictement monotone.
Pour cela on raisonne par l'absurde et on suppose :

\exists (x_{1}, y_{1}) \in I^{2}, x_{1} < y_{1} et f (x_{1}) \geq f (y_{1}) et \exists (x_{2}, y_{2}) \in I^{2}, x_{2} < y_{2} et f (x_{2}) \leq f (y_{2}) .

Montrer que la fonction

φ : [0, 1] \to R

définie par

φ (t) = f ((1 - t) x_{1} + t x_{2}) - f ((1 - t) y_{1} + t y_{2})

s'annule. Conclure.

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1.Point fixe d'une croissante [0,1]

2.Fonction sans extremum sur [a,b]

3.Limites : xx, (1+x)1/x

4.Limites : sin(1/x), E(x)

5.Limites : x⌊1/x⌋

6.Périodique convergente en +∞

7.Monotonie de x↦limx+​f

8.f=E(x)+x−E(x)​ : continuité

9.Indicatrice de Q

10.Continuité de f(x)=supn​xn/n!

11.TVI : annulation par limites

12.Point fixe sur [0,1] par TVI

13.Point fixe unique, f décroissante

14.Point fixe avec limf/x<1

15.Continues de R vers Z

16.∣f∣=∣g∣ implique f=±g

17.∣f∣→∞ et f→±∞

18.Valeur intermédiaire pondérée

19.Continue injective est monotone

20.Surjectivité de z↦zez

21.Point fixe de f via fn

22.Périodique continue est bornée

23.Composition bornée et continue

24.Écart minimal de deux continues

25.f admet un min. si f→+∞

26.Au plus deux antécédents par valeur

27.Bijection x/(1+∣x∣) sur ]−1,1[

28.Strictement monotone : prolongement

29.f∈C1 avec f′(x)=αf(x+1)

30.f∘f=Id sur R+​

31.Continue en 0,1 : f(x)=f(x2)

32.f((x+1)/2)=f(x) continue

33.Équation f(2x)=f(x)cosx, f(0)=1

34.Additive continue

35.Équation de Cauchy, continuité en un point

36.f(2x+y​)=2f(x)+f(y)​

37.Cauchy f(x+y)=f(x)+f(y)

38.sin est 1-lipschitzienne

39.Contraction lipschitz : point fixe

40.t↦sup(f+tg) est continue

1. $Point fixe d'une croissante [0, 1]$

2. $Fonction sans extremum sur [a, b]$

3. $Limites : x^{x}, (1 + x)^{1/ x}$

4. $Limites : sin (1/ x), E (x)$

5. $Limites : x ⌊ 1/ x ⌋$

6. $Périodique convergente en + \infty$

7. $Monotonie de x \mapsto lim_{x^{+}} f$

8. $f = E (x) + x - E (x) : continuité$

9. $Indicatrice de Q$

10. $Continuité de f (x) = sup_{n} x^{n} / n!$

11. $TVI : annulation par limites$

12. $Point fixe sur [0, 1] par TVI$

13. $Point fixe unique, f décroissante$

14. $Point fixe avec lim f / x < 1$

15. $Continues de R vers Z$

16. $∣ f ∣ = ∣ g ∣ implique f = \pm g$

17. $∣ f ∣ \to \infty et f \to \pm \infty$

18. $Valeur intermédiaire pondérée$

19. $Continue injective est monotone$

20. $Surjectivité de z \mapsto z e^{z}$

21. $Point fixe de f via f^{n}$

22. $Périodique continue est bornée$

23. $Composition bornée et continue$

24. $Écart minimal de deux continues$

25. $f admet un min. si f \to + \infty$

26. $Au plus deux antécédents par valeur$

27. $Bijection x / (1 + ∣ x ∣) sur] - 1, 1 [$

28. $Strictement monotone : prolongement$

29. $f \in C^{1} avec f^{'} (x) = α f (x + 1)$

30. $f \circ f = Id sur R_{+}$

31. $Continue en 0, 1 : f (x) = f (x^{2})$

32. $f ((x + 1) /2) = f (x) continue$

33. $Équation f (2 x) = f (x) cos x, f (0) = 1$

34. $Additive continue$

35. $Équation de Cauchy, continuité en un point$

36. $f (\frac{x + y}{2}) = \frac{f ( x ) + f ( y )}{2}$

37. $Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y)$

38. $sin est 1 -lipschitzienne$

39. $Contraction lipschitz : point fixe$

40. $t \mapsto sup (f + t g) est continue$