Exercices de Limite et continuité de fonctions en maths Sup (prépa) (page 3)

82. $⌊ x ⌋ + {x} cont.$

Étudier la continuité sur

R

de la fonction

f

définie par

x \in R ⟼ f (x) = ⌊ x ⌋ + x - ⌊ x ⌋ .

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83. $⌊ x ⌋ sin (π x) cont.$

Étudier la continuité sur

R

de la fonction

f

définie par

x \in R ⟼ f (x) = ⌊ x ⌋ sin (π x) .

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84. $(- 1)^{⌊ x ⌋} : cont.$

Etudier la continuité sur

R

de la fonction

f

définie par

f (x) = (- 1)^{⌊ x ⌋} ((x - ⌊ x ⌋) - \frac{1}{2})

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85. $1_{Q} et x^{2} 1_{Q}$

On note

1_{Q}

la fonction indicatrice de

Q

Q1-Montrer que

1_{Q}

n'est continue en aucun point de

R

Q2-Démontrer que l'application

f : x \in R \mapsto x^{2} 1_{Q} (x)

est continue en

0

(et même dérivable en

0

), alors qu'elle est discontinue en tout autre point de

R

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86. $[x (ln x)^{2} + 1]^{1/ l n x} en 0, 1$

Soit

f : x \mapsto [x (ln x)^{2} + 1]^{\frac{1}{l n x}}

Q1-Montrer que

f

est définie sur

] 0, 1 [\cup] 1, + \infty [

Q2-Montrer avec soin que

f

est continue sur

] 0, 1 [\cup] 1, + \infty [

Q3-Montrer que

f

est prolongeable par continuité en

0

1

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87. $Fonctions monotones$

Soit

f :] 0, + \infty [\to R

telle que :

$f$ est croissante ;
$x > 0 \mapsto \frac{f ( x )}{x}$ est décroissante.

Établir que

f

est continue.

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88. $Périodique : f (c + T /2) = f (c)$

Soit

f

, une application continue, périodique, de période

T > 0

. Démontrer qu'il existe un réel

t_{0}

tel que

f (t_{0}) = f (t_{0} + \frac{T}{2}) .

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89. $Posé à Centrale en MP$

Soit

f

une fonction réelle définie et continue sur

[0, 1]

telle que

f (0) = f (1) = 0

. On suppose que

\forall x \in [0, 7/10], f (x + 3/10) \neq = f (x) .

Montrer que

f

s'annule au moins 7 fois sur

[0, 1]

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90. $Segment stable par f continue$

Soit

f

une application réelle, continue sur un segment

I

telle que

I \subset f (I)

. Montrer qu'il existe

t_{0} \in I

tel que

f (t_{0}) = t_{0}

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91. $Point fixe via lim f (x) / x = ℓ < 1$

Soit

f : R_{+} \to R_{+}

une fonction continue. On suppose qu'il existe

l \in [0, 1 [

tel que

x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = l .

Montrer que

f

possède au moins un point fixe.

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92. $Corde : f (x) = f (x + 1/ n)$

Soit

f

une fonction numérique continue sur

[0, 1]

telle que

f (0) = f (1)

. Montrer que pour tout

n \in N^{*}

, il existe

x \in [0, 1 - \frac{1}{n}]

tel que

f (x + \frac{1}{n}) = f (x)

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93. $Moyenne de valeurs d'une continue$

Soient

f : [0, 1] \to R

une application continue,

n \in N^{*}

x_{1}, \dots, x_{n} \in [0, 1]

. Montrer qu'il existe

x \in R

tel que

f (x) = \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (x_{k})

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94. $Point fixe d'une décroissante cont.$

Soit

f

une fonction décroissante et continue sur

R

. Montrer que

f

admet un unique point fixe.

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95. $Point fixe$

Soit

f

, une fonction continue de

[0, 1]

dans

R

telle que

\int_{0}^{1} f (t) d t = \frac{1}{2} .

Démontrer l'existence d'un nombre réel

c \in [0, 1]

tel que

f (c) = c

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96. $Point fixe de f \circ f et de f$

Soit

f : R \to R

continue telle que

f \circ f

admette un point fixe.

f

admet-elle un point fixe ?

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97. $Continue bornée, f (x) \to ℓ$

Soit

f : [0, + \infty [\to R

continue ayant une limite finie

ℓ

+ \infty

. Prouver que

f

est bornée.

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98. $Séparation de continues sur [0, 1]$

Soient

f

g

continues sur

[0, 1]

telles que

\forall x \in [0, 1], f (x) < g (x) .

Montrer qu'il existe

m > 0

tel que

\forall x \in [0, 1], f (x) + m < g (x) .

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99. $f \to + \infty en \pm \infty : minimum atteint$

Soit

f

continue sur

R

telle que

f (x) x \to + \infty + \infty

f (x) x \to - \infty + \infty

. Montrer que

f

est minorée et atteint sa borne inférieure.

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100. $Continue [a, b] \to [a, b] : pf$

Soient

(a, b) \in R^{2}

a < b

f : [a, b] ⟶ [a, b]

continue. Montrer que

f

admet au moins un point fixe.

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101. $I \subset f (I) cont. : point fixe$

Soit

I

un segment de

R

f

une fonction continue de

I

dans

R

telle que

I \subset f (I)

. Montrer que

f

admet un point fixe.

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102. $I \subset f (I) : f prend les valeurs a et b$

Soit

f

une fonction continue sur un segment

I = [a, b]

telle que

I \subset f (I)

Q1-Montrer que

f

prend les valeurs

a

b

sur

I

Q2-En déduire que

f

admet un point fixe.

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103. $g \circ f = f \circ g : point fixe$

Soit

f

g

deux applications continues de

[0, 1]

dans

[0, 1]

telles que

g \circ f = f \circ g

Q1-Montrer que

f

admet au moins un point fixe.

Q2-On note

F

l'ensemble des points fixes de

f

. Montrer que

F

admet un plus grand et un plus petit élément.

Q3-Montrer que

F

est stable par

g

Q4-Montrer qu'il existe

x \in [0, 1]

tel que

f (x) = g (x)

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104. $Périodique : propriétés générales$

Soit

f : R \to R

une fonction périodique.

Q1-Si

f

admet une limite finie en

+ \infty

, montrer que

f

est constante.

Q2-Si

f

est continue non constante, montrer que

f

admet une plus petite période.

Q3-Si

f

est continue, montrer que

f

est bornée et atteint ses bornes.

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105. $Une fonction implicite$

On se propose d'établir la continuité d'une fonction définie implicitement.

Q1-Montrer qu'il existe une unique fonction

f : [0, 2] ⟶ [0, 1]

telle que

\forall x \in [0, 2], f (x)^{5} + f (x) = x .

Q2-Prouver que

f

est continue.

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106. $Histoires de bijections$

Soit

f : [0, 1] ⟶ [0, 1]

continue telle que

f \circ f = id_{[0, 1]}

f (0) = 0

Q1-Etablir que

f

est strictement croissante.

Q2-En déduire que

f = id_{[0, 1]}

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107. $f (2 x) = f (x), cont. en 0 : f constante$

Soit

f : R \to R

une fonction continue en

0

telle que

f (2 x) = f (x)

pour tout

x \in R

.
Montrer que

f

est constante.

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108. $Isométries de R$

Soit

f

, une application de

R

dans

R

telle que

\forall (x, y) \in R^{2}, ∣ f (x) - f (y) ∣ = ∣ x - y ∣. (*)

Pour tout réel

x

, on pose

g (x) = f (x) - f (0)

Q1-Etablir que

f

g

sont continues sur

R

Q2-Calculer

(g (x))^{2}

pour tout réel

x

et en calculant

(g (x) - g (y))^{2}

, démontrer que

g (x) g (y) = x y

pour tous réels

x

y

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109. $\prod cos (x / 2^{k}) = sin x / x$

On étudie le produit

P_{n} (x) = k = 1 \prod n cos \frac{x}{2 ^{k}}

et ses applications aux équations fonctionnelles.

Q1-Pour

x \in R

n \in N^{*}

, on pose

P_{n} (x) = k = 1 \prod n cos \frac{x}{2 ^{k}}

. Montrer que pour

x \neq = 0

n \to + \infty lim P_{n} (x) = \frac{sin x}{x} .

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110. $Fonctionnelle additive continue$

Soit

f

, une application de

R

dans

R

, telle que

\forall (x, y) \in R^{2}, f (x + y) = f (x) + f (y) . (*)

Q1-Calculer

f (0)

Q2-Vérifier que

f

est impaire.

Q3-On pose

a = f (1)

. Calculer par récurrence

f (n)

pour tout

n \in Z

Q4-Montrer que

\forall r \in Q

f (r) = a r

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111. $Continues : f (a x) = f (x)$

Déterminer les fonctions

f : R ⟶ R

continues telles que

\exists a \in R ∖ {- 1, 1}, \forall x \in R, f (a x) = f (x) .

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112. $Continues : f (x^{n}) = f (x)$

Déterminer les fonctions

f : R ⟶ R

continues telles que

\exists n \in N, \forall x \in R, f (x^{n}) = f (x) .

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113. $Une équation fonctionnelle$

Déterminer les fonctions

g : R ⟶ R

continues telles que

\forall (x, y) \in R^{2}, 2 g (\frac{x + y}{2}) = g (x) + g (y) .

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114. $f (x + y) = f (x) f (y) continue$

Soit

f

, une application continue de

R

dans

R

, telle que

\forall (x, y) \in R^{2}, f (x + y) = f (x) f (y) .

Q1-Quelles sont les valeurs possibles de

f (0)

Q2-Déterminer

f

f (0) = 0

Q3-On suppose

f (0) \neq = 0

. (i) Démontrer que

f

ne s'annule pas sur

R

. (ii) En déduire que, pour tout réel

x

f (x)

est strictement positif. (iii) Montrer qu'il existe

a \in R

tel que

f (x) = e^{a x}

pour tout

x \in R

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115. $Point fixe sur I et contraction$

On établit l'existence et l'unicité de points fixes pour des applications continues ou lipschitziennes.

Q1-Soit

I

un segment de

R

f : I \to R

continue telle que

f (I) \subset I

. Montrer que

f

admet un point fixe.

Q2-Soit

f : R \to R

une application lipschitzienne de rapport

0 \leq k < 1

. Montrer qu'il existe

M \in R_{+}

tel que

f ([- M, M]) \subset [- M, M]

Q3-En déduire qu'une application

f : R \to R

lipschitzienne de rapport

0 \leq k < 1

admet un unique point fixe.

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116. $Continue sur [0, + \infty [: UC$

Soit

f : [0, + \infty [\to R

une fonction continue ayant une limite finie en

+ \infty

Q1-Montrer que

f

est bornée.

Q2-Montrer que

f

admet un minimum ou un maximum absolu mais pas nécessairement les deux.

Q3-Montrer que

f

est uniformément continue.

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117. $Mines MP 2002$

Soit

f : R \to R

uniformément continue telle que

n \to + \infty lim f (n) = + \infty avec n \in N .

Montrer que

x \to + \infty lim f (x) = + \infty

avec

x \in R

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118. $Sur R_{+}, bornée, UC$

Soit

f

une application continue sur

R_{+}

admettant une limite finie en

+ \infty

. Montrer que

f

est uniformément continue sur

R_{+}

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119. $Périodique continue : UC$

Montrer que toute fonction périodique continue sur

R

est uniformément continue.

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120. $X — Bornitude et cont. uniforme$

Soit

f : [0; 1 [\to R

uniformément continue. Montrer que

f

est bornée.

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81.

82.⌊x⌋+{x}​ cont.

83.⌊x⌋sin(πx) cont.

84.(−1)⌊x⌋ : cont.

85.1Q​ et x21Q​

86.[x(lnx)2+1]1/lnx en 0,1

87.Fonctions monotones

88.Périodique : f(c+T/2)=f(c)

89.Posé à Centrale en MP

90.Segment stable par f continue

91.Point fixe via limf(x)/x=ℓ<1

92.Corde : f(x)=f(x+1/n)

93.Moyenne de valeurs d'une continue

94.Point fixe d'une décroissante cont.

95.Point fixe

96.Point fixe de f∘f et de f

97.Continue bornée, f(x)→ℓ

98.Séparation de continues sur [0,1]

99.f→+∞ en ±∞ : minimum atteint

100.Continue [a,b]→[a,b] : pf

101.I⊂f(I) cont. : point fixe

102.I⊂f(I) : f prend les valeurs a et b

103.g∘f=f∘g : point fixe

104.Périodique : propriétés générales

105.Une fonction implicite

106.Histoires de bijections

107.f(2x)=f(x), cont. en 0 : f constante

108.Isométries de R

109.∏cos(x/2k)=sinx/x

110.Fonctionnelle additive continue

111.Continues : f(ax)=f(x)

112.Continues : f(xn)=f(x)

113.Une équation fonctionnelle

114.f(x+y)=f(x)f(y) continue

115.Point fixe sur I et contraction

116.Continue sur [0,+∞[ : UC

117.Mines MP 2002

118.Sur R+​, bornée, UC

119.Périodique continue : UC

120.X — Bornitude et cont. uniforme

82. $⌊ x ⌋ + {x} cont.$

83. $⌊ x ⌋ sin (π x) cont.$

84. $(- 1)^{⌊ x ⌋} : cont.$

85. $1_{Q} et x^{2} 1_{Q}$

86. $[x (ln x)^{2} + 1]^{1/ l n x} en 0, 1$

87. $Fonctions monotones$

88. $Périodique : f (c + T /2) = f (c)$

89. $Posé à Centrale en MP$

90. $Segment stable par f continue$

91. $Point fixe via lim f (x) / x = ℓ < 1$

92. $Corde : f (x) = f (x + 1/ n)$

93. $Moyenne de valeurs d'une continue$

94. $Point fixe d'une décroissante cont.$

95. $Point fixe$

96. $Point fixe de f \circ f et de f$

97. $Continue bornée, f (x) \to ℓ$

98. $Séparation de continues sur [0, 1]$

99. $f \to + \infty en \pm \infty : minimum atteint$

100. $Continue [a, b] \to [a, b] : pf$

101. $I \subset f (I) cont. : point fixe$

102. $I \subset f (I) : f prend les valeurs a et b$

103. $g \circ f = f \circ g : point fixe$

104. $Périodique : propriétés générales$

105. $Une fonction implicite$

106. $Histoires de bijections$

107. $f (2 x) = f (x), cont. en 0 : f constante$

108. $Isométries de R$

109. $\prod cos (x / 2^{k}) = sin x / x$

110. $Fonctionnelle additive continue$

111. $Continues : f (a x) = f (x)$

112. $Continues : f (x^{n}) = f (x)$

113. $Une équation fonctionnelle$

114. $f (x + y) = f (x) f (y) continue$

115. $Point fixe sur I et contraction$

116. $Continue sur [0, + \infty [: UC$

117. $Mines MP 2002$

118. $Sur R_{+}, bornée, UC$

119. $Périodique continue : UC$

120. $X — Bornitude et cont. uniforme$