Exercices de Primitives et intégrales en maths Sup (prépa)

1. $Eléments simples de 1/ (t^{2} - 3 t + 2)$

2. $Primitives par substitution$

Calculer une primitive des fonctions suivantes.

Q1-

x \mapsto sin x cos x

Q2-

x \mapsto x e^{- 2 x^{2}}

Q3-

x \mapsto \frac{x}{x ^{2} + 1}

Q4-

x \mapsto \frac{1}{x ( ln x ) ^{3}}

Q5-

x \mapsto e^{x + e^{x}}

Q6-

x \mapsto \frac{1}{x 1 + ln x}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

3. $Primitive de 4 x / (x^{4} - 1)$

Trouver une primitive de la fonction

φ : R ∖ {- 1, 1} ⟶ R, x ⟼ \frac{4 x}{x ^{4} - 1}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

4. $Intégrale par substitution u = cos t$

Calculer

\int_{0}^{π} \frac{sin t}{4 - cos ^{2} t} d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

5. $Douze intégrales de fractions rat.$

Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.

Q1-

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} + 2} .

Q2-

\int_{- 1/2}^{1/2} \frac{d x}{1 - x ^{2}} .

Q3-

\int_{2}^{3} \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x - 3} d x .

Q4-

\int_{0}^{2} \frac{x d x}{x ^{4} + 16} .

Q5-

\int_{0}^{3} \frac{x ^{4} + 6 x ^{3} - 5 x ^{2} + 3 x - 7}{( x - 4 ) ^{3}} d x .

Q6-

\int_{- 2}^{0} \frac{d x}{x ^{3} - 7 x + 6} .

Q7-

\int_{- 1}^{1} \frac{2 x ^{4} + 3 x ^{3} + 5 x ^{2} + 17 x + 30}{x ^{3} + 8} d x .

Q8-

\int_{2}^{3} \frac{4 x ^{2}}{x ^{4} - 1} d x .

Q9-

\int_{- 1}^{0} \frac{x ^{3} + 2 x + 1}{x ^{3} - 3 x + 2} d x .

Q10-

\int_{1}^{2} \frac{2 x ^{8} + 5 x ^{6} - 12 x ^{5} + 30 x ^{4} + 36 x ^{2} + 24}{x ^{4} ( x ^{2} + 2 ) ^{3}} d x .

Q11-

\int_{0}^{a} \frac{- 2 x ^{2} + 6 x + 7}{x ^{4} + 5 x ^{2} + 4} d x

pour

a \in R

. Y a-t-il une limite quand

a \to + \infty

Q12-

\int_{0}^{2} \frac{d x}{x ^{4} + 1} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

6. $Bioche : 4 substitutions classiques$

Calculer les intégrales suivantes.

Q1-

\int_{0}^{π} \frac{sin t}{4 - cos ^{2} t} d t

en posant

u = cos t

;

Q2-

\int_{π /2}^{x} \frac{d t}{sin t}

pour

x \in] 0, π [

en posant

u = cos t

;

Q3-

\int_{- π /4}^{π /4} \frac{d t}{cos ^{3} t}

en posant

u = sin t

;

Q4-

\int_{0}^{π /2} \frac{d t}{sin t + cos t}

en posant

u = tan \frac{t}{2}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

7. $Douze primitives par reconnaiss.$

Déterminer une primitive des fonctions suivantes :

Q1-

t \mapsto t e^{- 3 t^{2}}

Q2-

t \mapsto \frac{1}{t ( ln t ) ^{4}}

Q3-

t \mapsto \frac{1}{tanh t}

Q4-

t \mapsto \frac{t ^{2}}{1 + t ^{3}}

Q5-

t \mapsto \frac{sin ( 2 t )}{1 + sin ^{2} t}

Q6-

t \mapsto tan^{2} t

Q7-

t \mapsto \frac{1}{cos ^{2} ( t ) tan t}

Q8-

t \mapsto \frac{1}{t + t}

Q9-

t \mapsto \frac{ln ( ln t )}{t}

Q10-

t \mapsto e^{e^{t} + t}

Q11-

t \mapsto \frac{1}{t + t ( ln t ) ^{2}}

Q12-

t \mapsto \frac{1}{cosh ^{2} t}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

8. $Intégrales trigonométriques I_{m, n}$

Soit

(m, n) \in N^{2}

. Calculer

Q1-

I_{m, n} = \int_{0}^{2 π} cos (m t) cos (n t) d t

Q2-

J_{m, n} = \int_{0}^{2 π} sin (m t) sin (n t) d t

Q3-

K_{m, n} = \int_{0}^{2 π} cos (m t) sin (n t) d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

9. $Trois intégrales directes$

Calculer les intégrales suivantes.

Q1-

I = \int_{0}^{π /2} x sin x d x

Q2-

J = \int_{0}^{1} e^{x} d x

Q3-

K = \int_{0}^{2} \frac{2 x}{2 + 2 x} d x

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

10. $Intégrales avec arcsin et sin^{3}$

Calculer les intégrales suivantes

Q1-

A = \int_{0}^{1} \frac{1}{4 - x ^{2}} d x

Q2-

B = \int_{0}^{π} (sin x)^{3} d x

Q3-

C = \int_{0}^{1} 1 - x^{2} d x

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

11. $Primitive de sin^{3} (2 x) cos (3 x)$

Déterminer une primitive de la fonction

f (x) = (sin (2 x))^{3} cos (3 x)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

12. $Intégrale impaire sur [- π /2, π /2]$

Calculer l'intégrale

\int_{- π /2}^{π /2} sin (2 x)^{3} d x

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

13. $Calcul par morceaux$

Calculer, en fonction du nombre réel

x

, l'intégrale suivante

f (x) = \int_{0}^{1} ∣ x - t ∣ d t .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

14. $Changements de variables$

Calculer :

Q1-

I = \int_{0}^{π /4} 1 + tan^{2} (t) d t

en posant

u = tan (t)

;

Q2-

J = \int_{0}^{1} \frac{d x}{x + 1}

en posant

u = x

;

Q3-

K = \int_{0}^{l n (2)} e^{x} - 1 d x

en posant

u = e^{x} - 1

;

Q4-

L = \int_{0}^{1} \frac{d u}{u ^{2} + u + 1}

en posant

x = u^{2} + u + 1 - u

;

Q5-

M = \int_{0}^{π /4} \frac{d x}{cos ( x )}

en posant

u = sin (x)

;

Q6-

N = \int_{π /4}^{π /3} \frac{d x}{sin ( x )}

en posant

u = cos (x)

;

Q7-

O = \int_{0}^{π /2} cos^{2} (x) sin^{3} (x) d x

en posant

u = cos (x)

;

Q8-

P = \int_{0}^{π /4} \frac{sin ( 2 x ) d x}{1 + cos ^{2} ( x )}

en posant

u = cos (2 x)

;

Q9-

Q = \int_{0}^{1} \frac{1 - x}{1 + x} d x

en posant

x = cos (2 u)

;

Q10-

R = \int_{0}^{1} \frac{x + x ^{1/4}}{x + 1} d x

en posant

u = x^{1/4}

Voir le corrigé

1. On a

1 + tan^{2} t = \frac{1}{cos t}

(car

cos t > 0

sur

[0, π /4]

). On pose

u = tan t

d u = \frac{d t}{cos ^{2} t}

, et

\frac{1}{cos t} = 1 + u^{2}

d t = \frac{d u}{1 + u ^{2}}

. Quand

t = 0

u = 0

; quand

t = π /4

u = 1

I = \int_{0}^{1} 1 + u^{2} \cdot \frac{d u}{1 + u ^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{d u}{1 + u ^{2}}

On pose

u = sinh v

d u = cosh v d v

1 + u^{2} = cosh v

. Quand

u = 0

v = 0

; quand

u = 1

v = argsh (1) = ln (1 + 2)

I = \int_{0}^{l n (1 + 2)} d v = ln (1 + 2)

2. On pose

u = x

x = u^{2}

d x = 2 u d u

. Quand

x = 0

u = 0

; quand

x = 1

u = 1

J = \int_{0}^{1} \frac{2 u d u}{u + 1} = 2 \int_{0}^{1} \frac{u}{u + 1} d u = 2 \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{u + 1}) d u = 2 [u - ln (u + 1)]_{0}^{1} = 2 (1 - ln 2) = 2 - 2 ln 2

3. On pose

u = e^{x} - 1

u^{2} = e^{x} - 1

2 u d u = e^{x} d x = (u^{2} + 1) d x

, donc

d x = \frac{2 u d u}{u ^{2} + 1}

. Quand

x = 0

u = 0

; quand

x = ln 2

u = 1

K = \int_{0}^{1} u \cdot \frac{2 u}{u ^{2} + 1} d u = \int_{0}^{1} \frac{2 u ^{2}}{u ^{2} + 1} d u = 2 \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{u ^{2} + 1}) d u = 2 [u - arctan u]_{0}^{1} = 2 - \frac{π}{2}

4. On pose

x = u^{2} + u + 1 - u

. Alors

x + u = u^{2} + u + 1

(x + u)^{2} = u^{2} + u + 1

x^{2} + 2 xu + u^{2} = u^{2} + u + 1

, d'ou

u = \frac{1 - x ^{2}}{2 x - 1}

u^{2} + u + 1 = x + \frac{1 - x ^{2}}{2 x - 1} = \frac{2 x ^{2} - x + 1 - x ^{2}}{2 x - 1} = \frac{x ^{2} - x + 1}{2 x - 1}

.
On calcule

d x

d x = \frac{- 2 x ( 2 x - 1 ) - 2 ( 1 - x ^{2} )}{( 2 x - 1 ) ^{2}} d u

... La substitution donne

\frac{d u}{u ^{2} + u + 1} = \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} \cdot d x

. Completons le carre :

u^{2} + u + 1 = (u + 1/2)^{2} + 3/4

. On pose

u + 1/2 = \frac{3}{2} tan θ

L = \int_{0}^{1} \frac{d u}{( u + 1/2 ) ^{2} + 3/4} = [ln (u + \frac{1}{2} + u^{2} + u + 1)]_{0}^{1} = ln (\frac{3}{2} + 3) - ln (\frac{1}{2} + 1)

= ln (\frac{3 + 2 3}{3}) = ln (1 + \frac{2 3}{3})

5. On pose

u = sin x

d u = cos x d x

cos x = 1 - u^{2}

\frac{d x}{cos x} = \frac{d u}{cos ^{2} x} = \frac{d u}{1 - u ^{2}}

. Quand

x = 0

u = 0

; quand

x = π /4

u = \frac{2}{2}

M = \int_{0}^{2 /2} \frac{d u}{1 - u ^{2}} = \int_{0}^{2 /2} \frac{1}{2} (\frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u}) d u = \frac{1}{2} [ln \frac{1 + u}{1 - u}]_{0}^{2 /2}

= \frac{1}{2} ln \frac{1 + \frac{2}{2}}{1 - \frac{2}{2}} = \frac{1}{2} ln \frac{2 + 2}{2 - 2} = \frac{1}{2} ln \frac{( 2 + 2 ) ^{2}}{2} = \frac{1}{2} ln (3 + 22)

6. On pose

u = cos x

d u = - sin x d x

, et

\frac{d x}{sin x} = \frac{- d u}{sin ^{2} x} = \frac{- d u}{1 - u ^{2}}

. Quand

x = π /4

u = \frac{2}{2}

; quand

x = π /3

u = \frac{1}{2}

N = \int_{2 /2}^{1/2} \frac{- d u}{1 - u ^{2}} = \int_{1/2}^{2 /2} \frac{d u}{1 - u ^{2}} = \frac{1}{2} [ln \frac{1 + u}{1 - u}]_{1/2}^{2 /2}

= \frac{1}{2} ln \frac{2 + 2}{2 - 2} - \frac{1}{2} ln 3 = \frac{1}{2} ln \frac{3 + 2 2}{3}

7. On pose

u = cos x

d u = - sin x d x

. On a

cos^{2} x sin^{3} x = cos^{2} x sin^{2} x sin x = u^{2} (1 - u^{2}) (- d u)

. Quand

x = 0

u = 1

; quand

x = π /2

u = 0

O = \int_{1}^{0} - u^{2} (1 - u^{2}) d u = \int_{0}^{1} (u^{2} - u^{4}) d u = [\frac{u ^{3}}{3} - \frac{u ^{5}}{5}]_{0}^{1} = \frac{2}{15}

8. On pose

u = cos (2 x)

. Alors

d u = - 2 sin (2 x) d x

, et

cos^{2} x = \frac{1 + u}{2}

. Quand

x = 0

u = 1

; quand

x = π /4

u = 0

P = \int_{1}^{0} \frac{- d u /2}{1 + \frac{1 + u}{2}} = \int_{0}^{1} \frac{d u /2}{\frac{3 + u}{2}} = \int_{0}^{1} \frac{d u}{3 + u} = [ln (3 + u)]_{0}^{1} = ln 4 - ln 3 = ln \frac{4}{3}

9. On pose

x = cos (2 u)

d x = - 2 sin (2 u) d u

. Quand

x = 0

u = π /4

; quand

x = 1

u = 0

. On a

\frac{1 - x}{1 + x} = \frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} = \frac{2 sin ^{2} u}{2 cos ^{2} u} = tan^{2} u

Q = \int_{π /4}^{0} tan u \cdot (- 2 sin (2 u)) d u = 2 \int_{0}^{π /4} \frac{sin u}{cos u} \cdot 2 sin u cos u d u = 4 \int_{0}^{π /4} sin^{2} u d u

= 4 \int_{0}^{π /4} \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u = 2 [u - \frac{sin ( 2 u )}{2}]_{0}^{π /4} = 2 (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{π}{2} - 1

10. On pose

u = x^{1/4}

x = u^{4}

d x = 4 u^{3} d u

. Quand

x = 0

u = 0

; quand

x = 1

u = 1

. On a

x = u^{2}

x^{1/4} = u

R = \int_{0}^{1} \frac{u ^{2} + u}{u ^{2} + 1} \cdot 4 u^{3} d u = 4 \int_{0}^{1} \frac{u ^{3} ( u ^{2} + u )}{u ^{2} + 1} d u = 4 \int_{0}^{1} \frac{u ^{5} + u ^{4}}{u ^{2} + 1} d u

On effectue la division euclidienne :

u^{5} + u^{4} = (u^{2} + 1) (u^{3} + u^{2} - u - 1) + (2 u + 1)

... Verifions :

(u^{2} + 1) (u^{3} + u^{2} - u - 1) = u^{5} + u^{4} - u^{3} - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u - 1 = u^{5} + u^{4} - u - 1

.
Donc

u^{5} + u^{4} = (u^{2} + 1) (u^{3} + u^{2} - u - 1) + (u + 1)

R = 4 \int_{0}^{1} (u^{3} + u^{2} - u - 1 + \frac{u + 1}{u ^{2} + 1}) d u

= 4 [\frac{u ^{4}}{4} + \frac{u ^{3}}{3} - \frac{u ^{2}}{2} - u + \frac{1}{2} ln (u^{2} + 1) + arctan u]_{0}^{1}

= 4 (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 1 + \frac{ln 2}{2} + \frac{π}{4}) = 4 (- \frac{11}{12} + \frac{ln 2}{2} + \frac{π}{4}) = - \frac{11}{3} + 2 ln 2 + π

15. $Primitive de 1/ (α cos x + sin x + 2)$

Soit

α \in R

H

la fonction définie par :

\forall x \in R, H (x) = α cos x + sin x + 2

Q1-Donner une condition nécessaire et suffisante sur

α

pour que

H

ne s'annule pas.

Q2-On suppose la condtion précédente satisfaite et on pose pour

x \in R

F (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{H ( t )}

. Justifier que

F

est bien définie et continue sur

R

et donner une expression de

F (x)

pour

x \in] - π, π [

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

16. $Intégrale elliptique TPE MP$

Soient

α

β

deux réels strictement positifs. On définit une fonction

f

par :

\forall x \in R, f (x) = \frac{1}{α + β cos ^{2} x}

Q1-Justifier que

f

admet des primitives sur

R

. On note

F

celle qui s'annule en

0

Q2-Montrer que

F (x)

tend vers

+ \infty

quand

x

tend vers

+ \infty

Q3-Déterminer une expression de

F (x)

pour

x \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

17. $TPE MP$

Calculer

I = \int_{a^{2}}^{b^{2}} x (x - a^{2}) (b^{2} - x) d x

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

18. $Cinq primitives (IPP et ch. var.)$

Calculer les primitives suivantes.

Q1-

\int x arctan^{2} (x) d x

Q2-

\int e^{x} sin^{2} (x) d x

Q3-

\int cos (ln x) d x

en posant

u = ln x

Q4-

\int \frac{x d x}{1 + x}

en posant

u = 1 + x

Q5-

\int \frac{d x}{cosh x}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

19. $Symétrie S = C par changement de var.$

On pose

S = \int_{0}^{π /2} \frac{sin t}{sin t + cos t} d t

C = \int_{0}^{π /2} \frac{cos t}{sin t + cos t} d t

Q1-Justifier que

S

C

sont bien définies.

Q2-Montrer que

S = C

par changement de variable.

Q3-Que vaut

S + C

? En déduire

S

C

Q4-En déduire

I = \int_{0}^{1} \frac{d t}{t + 1 - t ^{2}}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

20. $Bioche : sin, 1/sin, 1/cos³$

Calculer les intégrales suivantes.

Q1-

\int_{0}^{π} \frac{sin t d t}{4 - cos ^{2} t}

en posant

u = cos t

;

Q2-

\int_{π /2}^{x} \frac{d t}{sin t}

pour

x \in] 0, π [

en posant

u = cos t

;

Q3-

\int_{- π /4}^{π /4} \frac{d t}{cos ^{3} t}

en posant

u = sin t

;

Q4-

\int_{0}^{π /2} \frac{d t}{sin t + cos t}

en posant

u = tan \frac{t}{2}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

21. $Suite d'intégrales I_{n} (x)$

Pour

n \in N

x \in R

, on pose

I_{n} (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{( 1 + t ^{2} ) ^{n + 1}}

Q1-Déterminer une relation entre

I_{n + 1} (x)

I_{n} (x)

Q2-En déduire l'existence et une expression simple de

x \to + \infty lim I_{n} (x)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

22. $Primitives sans racines réelles$

Calculer une primitive des fonctions suivantes.

Q1-

t \mapsto \frac{1}{1 + t + t ^{2}}

Q2-

t \mapsto \frac{2 - 5 t}{1 + t ^{2}}

Q3-

t \mapsto \frac{3 t + 2}{2 t ^{2} - 4 t + 3}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

1.Eléments simples de 1/(t2−3t+2)

2.Primitives par substitution

3.Primitive de 4x/(x4−1)

4.Intégrale par substitution u=cost

5.Douze intégrales de fractions rat.

6.Bioche : 4 substitutions classiques

7.Douze primitives par reconnaiss.

8.Intégrales trigonométriques Im,n​

9.Trois intégrales directes

10.Intégrales avec arcsin et sin3

11.Primitive de sin3(2x)cos(3x)

12.Intégrale impaire sur [−π/2,π/2]

13.Calcul par morceaux

14.Changements de variables

15.Primitive de 1/(αcosx+sinx+2)

16.Intégrale elliptique TPE MP

17.TPE MP

18.Cinq primitives (IPP et ch. var.)

19.Symétrie S=C par changement de var.

20.Bioche : sin, 1/sin, 1/cos³

21.Suite d'intégrales In​(x)

22.Primitives sans racines réelles

1. $Eléments simples de 1/ (t^{2} - 3 t + 2)$

2. $Primitives par substitution$

3. $Primitive de 4 x / (x^{4} - 1)$

4. $Intégrale par substitution u = cos t$

5. $Douze intégrales de fractions rat.$

6. $Bioche : 4 substitutions classiques$

7. $Douze primitives par reconnaiss.$

8. $Intégrales trigonométriques I_{m, n}$

9. $Trois intégrales directes$

10. $Intégrales avec arcsin et sin^{3}$

11. $Primitive de sin^{3} (2 x) cos (3 x)$

12. $Intégrale impaire sur [- π /2, π /2]$

13. $Calcul par morceaux$

14. $Changements de variables$

15. $Primitive de 1/ (α cos x + sin x + 2)$

16. $Intégrale elliptique TPE MP$

17. $TPE MP$

18. $Cinq primitives (IPP et ch. var.)$

19. $Symétrie S = C par changement de var.$

20. $Bioche : sin, 1/sin, 1/cos³$

21. $Suite d'intégrales I_{n} (x)$

22. $Primitives sans racines réelles$