Exercices de Primitives et intégrales en maths Sup (prépa) (page 2)

25. $Limites d'intégrales (3 cas)$

Calculer les limites suivantes. On ne cherchera pas à calculer les intégrales.

Q1-

x \to 0 lim \int_{- x}^{x} sin (t^{2}) d t

Q2-

x \to + \infty lim \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{ln t}

Q3-

x \to + \infty lim \int_{x}^{2 x} \frac{sin t}{t} d t

Voir le corrigé

1. $x \to 0 lim \int_{- x}^{x} sin (t^{2}) d t = 0$ .

On majore :

\int_{- x}^{x} sin (t^{2}) d t \leq \int_{- ∣ x ∣}^{∣ x ∣} t^{2} d t = \frac{2∣ x ∣ ^{3}}{3} \to 0

.

2. $x \to + \infty lim \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{ln t} = + \infty$ .

Pour

t \in [x, 2 x]

x \geq 3

ln t \leq ln (2 x)

, donc

\frac{1}{ln t} \geq \frac{1}{ln ( 2 x )}

\int_{x}^{2 x} \frac{d t}{ln t} \geq \frac{x}{ln ( 2 x )} = \frac{x}{ln x + ln 2} \to + \infty

3. $x \to + \infty lim \int_{x}^{2 x} \frac{sin t}{t} d t = 0$ .

On integre par parties avec

u = \frac{1}{t}

v^{'} = sin t

\int_{x}^{2 x} \frac{sin t}{t} d t = [- \frac{cos t}{t}]_{x}^{2 x} - \int_{x}^{2 x} \frac{cos t}{t ^{2}} d t = - \frac{cos ( 2 x )}{2 x} + \frac{cos x}{x} - \int_{x}^{2 x} \frac{cos t}{t ^{2}} d t

Les deux premiers termes tendent vers

0

. Pour le dernier :

\int_{x}^{2 x} \frac{cos t}{t ^{2}} d t \leq \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{t ^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2 x} \to 0

Donc

x \to + \infty lim \int_{x}^{2 x} \frac{sin t}{t} d t = 0