Exercices de Nombres réels en maths Sup (prépa)

4. $Irrationalité de e^{r} rationnel$

(Irrationalité de

e^{r}

pour

r \in Q^{*}

)

(a) Pour $a, b \in N^{*}$ , montrer que la fonction polynomiale $P_{n} (x) = \frac{1}{n !} x^{n} (b x - a)^{n}$ et ses dérivées successives prennent en $x = 0$ des valeurs entières.
(b) Établir la même propriété en $x = a / b$ .
(c) On pose $r = a / b$ et pour $n \in N^{*}$ $I_{n} = \int_{0}^{r} P_{n} (t) e^{t} d t .$ Montrer que $I_{n} \to 0$ .
(d) En supposant $e^{r} = p / q$ avec $p, q \in N^{*}$ , montrer que $q I_{n} \in Z$ . Conclure.

Q1-Montrer que

P_{n}

et ses dérivées prennent en

x = 0

des valeurs entières

Q2-Établir la même propriété en

x = a / b

Q3-Montrer que

I_{n} \to 0

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1.Irrationalité de 2​

2.Application additive sur Q

3.Expression cubique simplifiée

4.Irrationalité de er rationnel

5.Irrationalité de 2​+33​

6.Additive monotone sur R

7.Égalité sommes et sommes de carrés

8.Inégalité x2+y2−xy≤1

9.Inégalité géométrique-arithmétique

10.Couples (α,β) bornés

11.Inégalité de Chebychev

12.Inégalité sur [0,1]2

13.Inéquations réelles

14.Encadrement par min et max

15.Inégalité parties entières

16.Formule de Hermite

17.Cardinal de [a;b]∩Z

18.Propriété sur entier n

19.Exercice sur les réels

20.Inégalité xy≤(x2+y2)/2

21.Racines carrées et valeurs absolues

22.Inéquation avec racine carrée

23.Inégalité produit de fractions

24.Inégalités de Bernoulli

25.Inégalité arithmético-géométrique

26.Inégalités

27.Équations et inéquations réelles

28.Inégalité avec valeur absolue

29.Inéquation ∣x2−3∣>2

30.Inégalité géométrique des réels

31.Inégalité avec a et b positifs

32.De la méthode

33.Partie entière et racine carrée

34.⌊n​+n+1​⌋

35.Formule de Hermite (bis)

36.Calcul d'une partie entière

37.Partie entière itérée et division

38.Somme de parties entières

39.Partie fractionnaire d'un réel

40.Saut de la partie entière de x+y

1. $Irrationalité de 2$

2. $Application additive sur Q$

3. $Expression cubique simplifiée$

4. $Irrationalité de e^{r} rationnel$

5. $Irrationalité de 2 + 33$

6. $Additive monotone sur R$

7. $Égalité sommes et sommes de carrés$

8. $Inégalité x^{2} + y^{2} - x y \leq 1$

9. $Inégalité géométrique-arithmétique$

10. $Couples (α, β) bornés$

11. $Inégalité de Chebychev$

12. $Inégalité sur [0, 1]^{2}$

13. $Inéquations réelles$

14. $Encadrement par min et max$

15. $Inégalité parties entières$

16. $Formule de Hermite$

17. $Cardinal de [a; b] \cap Z$

18. $Propriété sur entier n$

19. $Exercice sur les réels$

20. $Inégalité x y \leq (x^{2} + y^{2}) /2$

21. $Racines carrées et valeurs absolues$

22. $Inéquation avec racine carrée$

23. $Inégalité produit de fractions$

24. $Inégalités de Bernoulli$

25. $Inégalité arithmético-géométrique$

26. $Inégalités$

27. $Équations et inéquations réelles$

28. $Inégalité avec valeur absolue$

29. $Inéquation ∣ x^{2} - 3∣ > 2$

30. $Inégalité géométrique des réels$

31. $Inégalité avec a et b positifs$

32. $De la méthode$

33. $Partie entière et racine carrée$

34. $⌊ n + n + 1 ⌋$

35. $Formule de Hermite (bis)$

36. $Calcul d'une partie entière$

37. $Partie entière itérée et division$

38. $Somme de parties entières$

39. $Partie fractionnaire d'un réel$

40. $Saut de la partie entière de x + y$