Exercices de Nombres réels en maths Sup (prépa) (page 3)

81. $Borne sup de l'opposé d'une partie$

Soit

A

une partie non vide et bornée de

R

. On note

- A = {- x ∣ x \in A}

. On veut montrer

sup (- A) = - in f (A)

82. $Diamètre et bornes d'une partie$

Soit

A

une partie non vide et bornée de

R

. On pose

B = {∣ x - y ∣ ∣ (x, y) \in A^{2}}

Q1-Montrer que

\forall b \in B, b ⩽ sup (A) - in f (A)

Q2-Soit

ϵ > 0

. Montrer qu'il existe

x \in A

tel que

x > sup (A) - \frac{ϵ}{2}

et qu'il existe

y \in A

tel que

y < in f (A) + \frac{ϵ}{2}

puis qu'il existe

b \in B

tel que

b > sup (A) - in f (A) - ϵ

Q3-En déduire que

sup (B) = sup (A) - in f (A)

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83. $Sup inf et inf sup d'une fonction$

On considère la fonction

f : [0, 1]^{2} \to R

définie par

\forall (x, y) \in [0, 1]^{2}, f ((x, y)) = (x - y)^{2}

. Déterminer

x \in [0, 1] sup (y \in [0, 1] in f f ((x, y)))

y \in [0, 1] in f (x \in [0, 1] sup f ((x, y)))

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84. $Connexité d'un intervalle réel$

Pour rappel, une partie

A

R

est un ouvert de

R

si et seulement si :

\forall x \in A, \exists ε > 0,] x - ε, x + ε [\subset A

. Soit

I

un intervalle non vide de

R

. On suppose par l'absurde qu'il existe deux ouverts non vides

A

B

R

tels que

A \cup B = I

A \cap B = \emptyset

. Soit

a \in A

b \in B

tels que

a ⩽ b

. On pose

E = {t \in [0, 1] ∣ a + t (b - a) \in A}

Q1-Montrer que

E

admet une borne supérieure qu'on notera

T

Q2-Montrer - en utilisant que

I

est un intervalle - que

a + T (b - a) \in I

Q3-Montrer - en utilisant que

A

est ouvert - que

a + T (b - a) \in / A

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81.Borne sup de l'opposé d'une partie

82.Diamètre et bornes d'une partie

83.Sup inf et inf sup d'une fonction

84.Connexité d'un intervalle réel

81. $Borne sup de l'opposé d'une partie$

82. $Diamètre et bornes d'une partie$

83. $Sup inf et inf sup d'une fonction$

84. $Connexité d'un intervalle réel$