Exercices de Sommes et produits en maths Sup (prépa)

1. $Linéarité des sommes : vrai ou faux$

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :

2. $Formules \sum k, \sum k^{2}, \sum k^{3}$

Établir l'une des trois formules suivantes :

Q1-

k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Q2-

k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

Q3-

k = 1 \sum n k^{3} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

3. $Sommes de \sum k et \sum k^{2}$

À partir des valeurs connues de

k = 1 \sum n k

k = 1 \sum n k^{2}

, calculer :

Q1-

k = 1 \sum n k (k + 1)

Q2-

1 \cdot n + 2 \cdot (n - 1) + \dots + (n - 1) \cdot 2 + n \cdot 1

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

4. $Somme alternée \sum (- 1)^{k} k$

Calculer

k = 1 \sum n (- 1)^{k} k .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

5. $Monotonie de \sum_{k = 1}^{n} 1/ (n + k)$

Montrer que la suite de terme général

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{n + k}

est strictement croissante.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

6. $Inégalité \sum k! \leq (n + 1)!$

Montrer

\forall n \in N, k = 0 \sum n k! \leq (n + 1)!

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

7. $Somme \sum k / (k + 1)! par télescopage$

Calculer

k = 1 \sum n \frac{k}{( k + 1 )!} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

8. $Développement en base factorielle$

On s'intéresse à la somme

k = 1 \sum p k \cdot k!

et à la décomposition des entiers en base factorielle.

Q1-Calculer

k = 1 \sum p k \cdot k!

Q2-Montrer que pour tout

n \in [[0, (p + 1)! - 1]]

, il existe un uplet

(n_{0}, n_{1}, \dots, n_{p}) \in N^{p + 1}

tel que

\forall k \in [[0; p]], 0 \leq n_{k} \leq k

n = k = 0 \sum p n_{k} k!

Q3-Justifier l'unicité d'une telle suite

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

9. $Minoration de \sum ∣ cos (k x) ∣$

Soient

n \in N^{*}

x \in R

. Montrer

k = 0 \sum n ∣ cos (k x) ∣ \geq \frac{2 n + 5}{8} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

10. $Somme géométrique \sum e^{ik θ}$

Calculer, pour tout

θ \in R

, la somme

k = 0 \sum n e^{ik θ}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

11. $Somme \sum q^{2 k} pour q \in C$

Calculer, pour tout

q \in C

, la somme

k = 0 \sum n q^{2 k}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

12. $Équation \sum cos (k x) / cos^{k} x = 0$

Soit

n \in N

. Résoudre, lorsqu'elle a un sens, l'équation :

k = 0 \sum n \frac{cos ( k x )}{cos ^{k} x} = 0.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

13. $Sommes doubles à partir de \sum k^{p}$

À partir des valeurs connues de

k = 1 \sum n k

k = 1 \sum n k^{2}

k = 1 \sum n k^{3}

, calculer :

Q1-

1 \leq i, j \leq n \sum (i + j)^{2}

Q2-

1 \leq i < j \leq n \sum ij

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

14. $Somme C_{n} = \sum_{p < q} (p + q)$

Soit

n \in N^{*}

. Calculer

C_{n} = 1 \leq p < q \leq n \sum (p + q)

en remarquant

1 \leq p, q \leq n \sum p + q = 2 C_{n} + 2 p = 1 \sum n p .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

15. $Propriétés des produits : vrai/faux$

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :

Q1-

i = 1 \prod n α a_{i} = α i = 1 \prod n a_{i}

Q2-

i = 1 \prod n a_{i} b_{i} = i = 1 \prod n a_{i} i = 1 \prod n b_{i}

Q3-

i = 1 \prod n a_{i} + b_{i} = i = 1 \prod n a_{i} + i = 1 \prod n b_{i}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

16. $Produit \prod (1 + 1/ k) télescopique$

Calculer

k = 1 \prod n (1 + \frac{1}{k}) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

17. $Produit \prod cos (2^{k} x) et formule$

On désire calculer le produit

P (x) = 0 \leq k \leq n \prod cos (2^{k} x)

pour tout

x \in R

Q1-Commencer par traiter le cas

x \equiv 0

[

π

]

Q2-Pour

x \neq \equiv 0

[

π

], simplifier

sin (x) P (x)

et exprimer

P (x)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

18. $Simplification de \prod (2 k + 3) / (2 k - 1)$

Pour

n \in N^{*}

, simplifier

k = 1 \prod n \frac{2 k + 3}{2 k - 1} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

19. $Factorielles doubles et simples$

Exprimer

2 \times 4 \times \dots \times (2 n)

puis

1 \times 3 \times \dots \times (2 n + 1)

à l'aide de factoriels

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

20. $Sommes binomiales pondérées$

Calculer pour tout

n \in N^{*}

Q1-

S_{0} = k = 0 \sum n (k n)

Q2-

S_{1} = k = 0 \sum n k (k n)

Q3-

S_{2} = k = 0 \sum n k^{2} (k n)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

21. $Sélection modulo 3 binomiale$

Soit

n \in N

. Calculer

p = 0 \sum n (p n) j^{p} .

En déduire

A = k = 0 \sum ⌊ n /3 ⌋ (3 k n), B = k = 0 \sum ⌊(n - 1) /3 ⌋ (3 k + 1 n) et C = k = 0 \sum ⌊(n - 2) /3 ⌋ (3 k + 2 n) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

22. $Développement de (a + b + c)^{n}$

Développer

(a + b + c)^{n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

23. $Transformée de Möbius binomiale$

On étudie des propriétés des coefficients binomiaux et une formule d'inversion de type Möbius discret.

Q1-Soit

n \in N

. Calculer

k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n)

Q2-Soient

k, ℓ, n \in N

tels que

ℓ \leq k \leq n

. Comparer

(k n) (ℓ k)

(ℓ n) (k - ℓ n - ℓ)

Q3-Soit

(x_{n})

une suite de réels. On pose

\forall k \in N, y_{k} = ℓ = 0 \sum k (ℓ k) x_{ℓ}

. Montrer que

\forall n \in N, x_{n} = k = 0 \sum n (- 1)^{n - k} (k n) y_{k}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

24. $Somme de produits consécutifs$

Calculer pour

n, p \in N^{*}

, la somme

i = 0 \sum n (j = 1 \prod p (i + j)) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

25. $Somme harmonique alternée$

Montrer que pour tout

n \in N^{*}

k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{k} (k n) = k = 1 \sum n \frac{1}{k} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

26. $Binomiaux et primalité$

Soit

n \in N

avec

n \geq 2

Q1-On suppose que

n

est premier. Montrer

\forall k \in {2, \dots, n - 1}, n divise (k n)

Q2-Inversement, on suppose que

n

est composé. Montrer

\exists k \in {2, \dots, n - 1}, n ne divise pas (k n)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

27. $Unimodalité de k \mapsto (k n)$

Soient

n \in N^{*}

Q1-Justifier

\forall1 \leq k \leq n, (k n) = \frac{n - k + 1}{k} (k - 1 n)

Q2-En déduire que pour tout entier

k

vérifiant

1 \leq k \leq n /2

(k - 1 n) < (k n)

et pour tout entier

k

vérifiant

n /2 \leq k \leq n - 1

(k + 1 n) < (k n)

Q3-Comment interpréter simplement les inégalités qui viennent d'être obtenues ?

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

28. $Minoration de (n 2 n)$

Montrer

\forall n \in N^{*}, (n 2 n) \geq \frac{2 ^{2 n}}{2 n + 1} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

29. $Sommes arithmétiques variées$

Calculer les sommes suivantes.

Q1-

S_{n} = k = 2 \sum n - 1 (3 k - 2)

Q2-

T_{n} = k = - 1 \sum n + 1 (2 k - 1)

Q3-

U_{n} = k = n - 2 \sum n + 5 2^{- k}

Q4-

V_{n} = k = n \sum 2 n (k - 1)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

30. $Sommes géométriques variées$

Calculer les sommes suivantes.

Q1-

S_{n} = k = 2 \sum n - 1 3^{k - 2}

Q2-

T_{n} = k = - 1 \sum n + 1 2^{k - 1}

Q3-

U_{n} = k = n - 2 \sum n + 5 4 \cdot 2^{k}

Q4-

V_{n} = k = n \sum 2 n \frac{2 ^{k - 1}}{3 ^{k + 2}}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

31. $Télescopage de \sum ln (1 + 1/ k)$

Calculer, pour tout entier non nul

n

S_{n} = k = 1 \sum n ln (1 + 1/ k)

au moyen d'un télescopage.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

32. $Simplification de télescopiques$

Simplifier les sommes suivantes.

Q1-

k = p \sum q (u_{k + 1} - u_{k})

Q2-

k = p - 3 \sum q - 1 (u_{k + 1} - u_{k - 1})

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

33. $Sommes par éléments simples$

Calculer les sommes suivantes :

Q1-

k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )}

Q2-

k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )}

Q3-

k = 1 \sum n k \cdot k!

Q4-

k = 0 \sum n (k + 2) 2^{k}

Q5-

k = 1 \sum n ln (1 + 1/ k)

Q6-

k = 0 \sum n 2 sin (\frac{x}{2}) cos (k x)

Voir le corrigé

1. Décomposition en éléments simples :

\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}

. Par télescopage :

k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}

2. On a

\frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k ( k + 1 )} - \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )})

. En effet,

\frac{1}{k ( k + 1 )} - \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{( k + 2 ) - k}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{2}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )}

. Par télescopage :

k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 ( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{n ( n + 3 )}{4 ( n + 1 ) ( n + 2 )}

3. On remarque que

k \cdot k! = (k + 1 - 1) \cdot k! = (k + 1)! - k!

. Par télescopage :

k = 1 \sum n k \cdot k! = k = 1 \sum n ((k + 1)! - k!) = (n + 1)! - 1

4. On pose

f (k) = (k + 2) 2^{k}

. On cherche un télescopage. On remarque que

2^{k + 1} - 2^{k} = 2^{k}

et on essaie

u_{k} = (ak + b) 2^{k}

tel que

u_{k + 1} - u_{k} = (k + 2) 2^{k}

. On a

u_{k + 1} - u_{k} = (a (k + 1) + b) 2^{k + 1} - (ak + b) 2^{k} = (2 a (k + 1) + 2 b - ak - b) 2^{k} = (ak + 2 a + b) 2^{k}

. On identifie :

a = 1

2 a + b = 2

d'où

b = 0

. Ainsi

(k + 2) 2^{k} = (k + 1) 2^{k + 1} - k \cdot 2^{k}

. Par télescopage :

k = 0 \sum n (k + 2) 2^{k} = (n + 1) 2^{n + 1} - 0 \cdot 2^{0} = (n + 1) 2^{n + 1}

5. C'est l'exercice 3 :

ln (1 + 1/ k) = ln (k + 1) - ln (k)

, donc par télescopage :

k = 1 \sum n ln (1 + 1/ k) = ln (n + 1)

6. On utilise la formule de linéarisation

2 sin (x /2) cos (k x) = sin (k x + x /2) - sin (k x - x /2)

. Ainsi la somme est télescopique :

k = 0 \sum n 2 sin (x /2) cos (k x) = k = 0 \sum n (sin ((k + \frac{1}{2}) x) - sin ((k - \frac{1}{2}) x)) = sin ((n + \frac{1}{2}) x) - sin (- x /2)

= sin ((n + \frac{1}{2}) x) + sin (x /2)

sin (x /2) \neq = 0

, on peut diviser par

2 sin (x /2)

pour obtenir :

k = 0 \sum n cos (k x) = \frac{sin (( n + 1/2 ) x ) + sin ( x /2 )}{2 sin ( x /2 )} = \frac{sin (( 2 n + 1 ) x /2 )}{2 sin ( x /2 )} + \frac{1}{2}

34. $Sommation par paquets$

Simplifier la somme

k = 1 \sum 2 n (- 1)^{k} k

en sommant par paquets.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

35. $Un changement d’indice$

Calculer la somme

k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{n + 1 - k}) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

36. $Permutation et somme \sum k 2^{k}$

Vérifier que

k = 1 \sum n k 2^{k} = 1 \leq j \leq k \leq n \sum 2^{k}

et calculer une expression simple de cette somme en permutant l'ordre des sommations dans la somme double.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

37. $Télescopage de \sum ln ((k^{2} - 1) / k^{2})$

Simplifier la somme

k = 2 \sum n ln (\frac{k ^{2} - 1}{k ^{2}}) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

38. $Télescopage par éléments simples$

On cherche à calculer, par décomposition en éléments simples, la somme

v_{n} = k = 2 \sum n \frac{1}{k ^{2} - 1}

Q1-Montrer qu'il existe

(α, β) \in R^{2}

tel que

\forall t > 1, \frac{1}{t ^{2} - 1} = \frac{α}{t - 1} + \frac{β}{t + 1} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

39. $Sommation d’Abel$

Soient

(a_{n})_{n \in N}

(B_{n})_{n \in N}

deux suites complexes. On définit deux suites

(A_{n})_{n \in N}

(b_{n})_{n \in N}

de la manière suivante :

\forall n \in N, A_{n} = k = 0 \sum n a_{k}, b_{n} = B_{n + 1} - B_{n}

Q1-Montrer que

k = 0 \sum n a_{k} B_{k} = A_{n} B_{n} - k = 0 \sum n - 1 A_{k} b_{k} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

40. $S_{n} (x) = \sum k x^{k} par dérivation$

Soit

x \in R

. On pose

S_{n} (x) = k = 0 \sum n k x^{k}

. On cherche à calculer

S_{n} (x)

de deux manières :

Q1-en introduisant

T_{n} (x) = k = 0 \sum n x^{k}

;

Q2-en calculant dans un premier temps

(x - 1) S_{n} (x)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

1.Linéarité des sommes : vrai ou faux

2.Formules ∑k, ∑k2, ∑k3

3.Sommes de ∑k et ∑k2

4.Somme alternée ∑(−1)kk

5.Monotonie de ∑k=1n​1/(n+k)

6.Inégalité ∑k!≤(n+1)!

7.Somme ∑k/(k+1)! par télescopage

8.Développement en base factorielle

9.Minoration de ∑∣cos(kx)∣

10.Somme géométrique ∑eikθ

11.Somme ∑q2k pour q∈C

12.Équation ∑cos(kx)/coskx=0

13.Sommes doubles à partir de ∑kp

14.Somme Cn​=∑p<q​(p+q)

15.Propriétés des produits : vrai/faux

16.Produit ∏(1+1/k) télescopique

17.Produit ∏cos(2kx) et formule

18.Simplification de ∏(2k+3)/(2k−1)

19.Factorielles doubles et simples

20.Sommes binomiales pondérées

21.Sélection modulo 3 binomiale

22.Développement de (a+b+c)n

23.Transformée de Möbius binomiale

24.Somme de produits consécutifs

25.Somme harmonique alternée

26.Binomiaux et primalité

27.Unimodalité de k↦(kn​)

28.Minoration de (n2n​)

29.Sommes arithmétiques variées

30.Sommes géométriques variées

31.Télescopage de ∑ln(1+1/k)

32.Simplification de télescopiques

33.Sommes par éléments simples

34.Sommation par paquets

35.Un changement d’indice

36.Permutation et somme ∑k2k

37.Télescopage de ∑ln((k2−1)/k2)

38.Télescopage par éléments simples

39.Sommation d’Abel

40.Sn​(x)=∑kxk par dérivation

1. $Linéarité des sommes : vrai ou faux$

2. $Formules \sum k, \sum k^{2}, \sum k^{3}$

3. $Sommes de \sum k et \sum k^{2}$

4. $Somme alternée \sum (- 1)^{k} k$

5. $Monotonie de \sum_{k = 1}^{n} 1/ (n + k)$

6. $Inégalité \sum k! \leq (n + 1)!$

7. $Somme \sum k / (k + 1)! par télescopage$

8. $Développement en base factorielle$

9. $Minoration de \sum ∣ cos (k x) ∣$

10. $Somme géométrique \sum e^{ik θ}$

11. $Somme \sum q^{2 k} pour q \in C$

12. $Équation \sum cos (k x) / cos^{k} x = 0$

13. $Sommes doubles à partir de \sum k^{p}$

14. $Somme C_{n} = \sum_{p < q} (p + q)$

15. $Propriétés des produits : vrai/faux$

16. $Produit \prod (1 + 1/ k) télescopique$

17. $Produit \prod cos (2^{k} x) et formule$

18. $Simplification de \prod (2 k + 3) / (2 k - 1)$

19. $Factorielles doubles et simples$

20. $Sommes binomiales pondérées$

21. $Sélection modulo 3 binomiale$

22. $Développement de (a + b + c)^{n}$

23. $Transformée de Möbius binomiale$

24. $Somme de produits consécutifs$

25. $Somme harmonique alternée$

26. $Binomiaux et primalité$

27. $Unimodalité de k \mapsto (k n)$

28. $Minoration de (n 2 n)$

29. $Sommes arithmétiques variées$

30. $Sommes géométriques variées$

31. $Télescopage de \sum ln (1 + 1/ k)$

32. $Simplification de télescopiques$

33. $Sommes par éléments simples$

34. $Sommation par paquets$

35. $Un changement d’indice$

36. $Permutation et somme \sum k 2^{k}$

37. $Télescopage de \sum ln ((k^{2} - 1) / k^{2})$

38. $Télescopage par éléments simples$

39. $Sommation d’Abel$

40. $S_{n} (x) = \sum k x^{k} par dérivation$