Exercices de Sommes et produits en maths Sup (prépa) (page 2)

41. $Somme \sum 2^{k - 1} 3^{n - k} (k n)$

42. $Identité de Vandermonde itérée$

Pour tous

n

p

dans

N

, établir que l'on a

k = 0 \sum p (n n + k) = (n + 1 n + p + 1) .

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43. $Sommes \sum k^{2} (k n)$

Calculer les sommes suivantes

Q1-

k = 0 \sum n k^{2} (k n)

Q2-

k = 0 \sum n k^{2} (2 k 2 n)

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44. $Sommes paires de (k 2 n)$

Soit

n

un entier naturel non nul.

Q1-Calculer

S_{1} = k = 0 \sum 2 n (k 2 n)

S_{2} = k = 0 \sum 2 n (k 2 n) (- 1)^{k}

Q2-En déduire

T_{1} = k = 0 \sum n (2 k 2 n)

T_{2} = k = 0 \sum n - 1 (2 k + 1 2 n)

Q3-Calculer

U_{1} = k = 0 \sum n - 1 (2 k 2 n - 1)

U_{2} = k = 0 \sum n - 1 (2 k + 1 2 n - 1)

. On pourra, si on le souhaite, s'inspirer des questions précédentes.

Q4-À l'aide des changements d'indices

ℓ = n - k

ℓ = n - 1 - k

, calculer

V_{1} = k = 0 \sum n k (2 k 2 n)

V_{2} = k = 0 \sum n - 1 k (2 k + 1 2 n)

Q5-Calculer enfin

W_{1} = k = 0 \sum n - 1 k (2 k 2 n - 1)

W_{2} = k = 0 \sum n - 1 k (2 k + 1 2 n - 1)

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1. Par la formule du binôme,

(1 + 1)^{2 n} = k = 0 \sum 2 n (k 2 n)

donc

S_{1} = 2^{2 n} = 4^{n}

. De même

(1 - 1)^{2 n} = k = 0 \sum 2 n (k 2 n) (- 1)^{k}

donc

S_{2} = 0

.

2. En additionnant :

S_{1} + S_{2} = 2 k = 0 \sum n (2 k 2 n)

donc

T_{1} = \frac{S _{1}}{2} = 2^{2 n - 1}

. En soustrayant :

S_{1} - S_{2} = 2 k = 0 \sum n - 1 (2 k + 1 2 n)

donc

T_{2} = 2^{2 n - 1}

.

3. On applique la même méthode au développement de

(1 + 1)^{2 n - 1}

(1 - 1)^{2 n - 1}

(1 + 1)^{2 n - 1} = k = 0 \sum 2 n - 1 (k 2 n - 1) = 2^{2 n - 1}

(1 - 1)^{2 n - 1} = 0

. Ainsi

U_{1} = k = 0 \sum n - 1 (2 k 2 n - 1) = 2^{2 n - 2}

U_{2} = k = 0 \sum n - 1 (2 k + 1 2 n - 1) = 2^{2 n - 2}

.

4. On exploite la symétrie du domaine.

Pour

V_{1} = k = 0 \sum n k (2 k 2 n)

, le changement d'indice

ℓ = n - k

donne, puisque

(2 ( n - ℓ ) 2 n) = (2 ℓ 2 n)

V_{1} = ℓ = 0 \sum n (n - ℓ) (2 ℓ 2 n) .

En ajoutant cette écriture à la définition de

V_{1}

, les termes

k

n - k

se recombinent :

2 V_{1} = k = 0 \sum n (k + (n - k)) (2 k 2 n) = n k = 0 \sum n (2 k 2 n) = n T_{1} = n 2^{2 n - 1},

d'où

V_{1} = n 2^{2 n - 2}

.

Pour

V_{2} = k = 0 \sum n - 1 k (2 k + 1 2 n)

, le changement d'indice

ℓ = n - 1 - k

donne, puisque

(2 ( n - 1 - ℓ ) + 1 2 n) = (2 n - 1 - 2 ℓ 2 n) = (2 ℓ + 1 2 n)

V_{2} = ℓ = 0 \sum n - 1 (n - 1 - ℓ) (2 ℓ + 1 2 n) .

En ajoutant à la définition de

V_{2}

2 V_{2} = k = 0 \sum n - 1 (k + (n - 1 - k)) (2 k + 1 2 n) = (n - 1) k = 0 \sum n - 1 (2 k + 1 2 n) = (n - 1) T_{2} = (n - 1) 2^{2 n - 1},

d'où

V_{2} = (n - 1) 2^{2 n - 2}

.

5. On suppose

n \geq 2

(pour

n = 1

, les sommes

W_{1}

W_{2}

se réduisent à leur terme

k = 0

, nul) et on utilise la formule d'absorption

j (j 2 n - 1) = (2 n - 1) (j - 1 2 n - 2)

.

Pour

W_{1} = k = 0 \sum n - 1 k (2 k 2 n - 1)

, l'absorption avec

j = 2 k

donne

k (2 k 2 n - 1) = \frac{2 n - 1}{2} (2 k - 1 2 n - 2)

, donc

W_{1} = \frac{2 n - 1}{2} k = 1 \sum n - 1 (2 k - 1 2 n - 2) = \frac{2 n - 1}{2} 2^{2 n - 3} = (2 n - 1) 2^{2 n - 4},

car la somme des

(j 2 n - 2)

d'indice

j

impair vaut

2^{2 n - 3}

.

Pour

W_{2} = k = 0 \sum n - 1 k (2 k + 1 2 n - 1)

, on écrit

k (2 k + 1 2 n - 1) = \frac{( 2 k + 1 ) ( 2 k + 1 2 n - 1 ) - ( 2 k + 1 2 n - 1 )}{2}

, et l'absorption avec

j = 2 k + 1

donne

(2 k + 1) (2 k + 1 2 n - 1) = (2 n - 1) (2 k 2 n - 2)

. D'où

W_{2} = \frac{1}{2} [(2 n - 1) k = 0 \sum n - 1 (2 k 2 n - 2) - k = 0 \sum n - 1 (2 k + 1 2 n - 1)] = \frac{1}{2} [(2 n - 1) 2^{2 n - 3} - 2^{2 n - 2}] = (2 n - 3) 2^{2 n - 4},

en utilisant

k = 0 \sum n - 1 (2 k 2 n - 2) = 2^{2 n - 3}

(indices pairs) et

k = 0 \sum n - 1 (2 k + 1 2 n - 1) = U_{2} = 2^{2 n - 2}

45. $Sommes doubles max, ij, ∣ i - j ∣$

Calculer les sommes suivantes :

Q1-

U_{n} = 1 \leq i, j \leq n \sum max (i, j)

Q2-

V_{n} = 1 \leq i, j \leq n \sum ij

Q3-

W_{n} = 1 \leq i \leq j \leq n \sum ∣ i - j ∣

Q4-

X_{n} = 1 \leq i < j \leq n \sum i

Q5-

Y_{n} = 1 \leq i < j \leq n \sum ij

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46. $Interversion et \sum (- 1)^{k} / k^{2}$

En permutant l'ordre des sommations, démontrer l'égalité

n = 0 \sum N - 1 k = n + 1 \sum N \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ^{2}} = k = 1 \sum N \frac{( - 1 ) ^{k}}{k} .

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47. $Sommes doubles.$

On calcule deux sommes doubles portant sur les couples

(i, j)

avec

1 \leq i < j \leq n

Q1-Calculer la somme double

1 \leq i < j \leq n \sum (i + j)

Q2-Calculer la somme double

1 \leq i < j \leq n \sum ij

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48. $Simplification de \sum_{i \leq j} i / j$

Soit

n \in N^{*}

. Simplifier

S_{n} = i = 1 \sum n j = i \sum n \frac{i}{j} .

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49. $Somme des sommes partielles H_{n}$

Posons, pour tout

n \in N^{*}

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}

u_{n} = k = 1 \sum n S_{k} .

Établir que

\forall n \geq 1, u_{n} = (n + 1) S_{n} - n .

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50. $Relations entre S_{p} (n) = \sum k^{p}$

On pose pour

(n, p) \in N^{2}

S_{p} (n) = k = 0 \sum n k^{p}

j = 0 \sum p (j p + 1) S_{j} (n) = (n + 1)^{p + 1}

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51. $Produit \prod (1 - 1/ k^{2}) télescopique$

Simplifier le produit suivant :

P = k = 2 \prod n (1 - \frac{1}{k ^{2}})

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52. $Produits doubles V, W, X, Y, Z$

Soient

V = 1 \leq i, j \leq n \prod ij

W = 1 \leq i \neq = j \leq n \prod ij

X = 1 \leq i \leq j \leq n \prod ij

Y = 1 \leq j \leq i \leq n \prod ij

Z = 1 \leq i < j \leq n \prod ij

Q1-Calculer

V

Q2-En déduire

W

Q3-Exprimer

W

en fonction de

X

Y

Q4-Montrer, sans calcul, que

X = Y

Q5-En déduire

X

puis

Z

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53. $Produit \prod 2^{1/ (k (k + 1))}$

Simplifier le produit

k = 1 \prod n 2^{1/ k (k + 1)} .

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54. $Calcul d’un produit infini$

Pour tout

n \geq 2

, on pose

u_{n} = k = 2 \prod n \frac{k ^{3} - 1}{k ^{3} + 1} .

Q1-Déterminer une suite d'entiers relatifs

(v_{k})_{k \geq 1}

telle que

\forall k \geq 2, \frac{k ^{3} - 1}{k ^{3} + 1} = \frac{k - 1}{k + 1} \times \frac{v _{k}}{v _{k - 1}} .

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55. $Produit \prod cos (a / 2^{k})$

Soit

a \in R

et pour

n \in N

P_{n} = k = 1 \prod n cos \frac{a}{2 ^{k}} .

Montrer que

sin (\frac{a}{2 ^{n}}) P_{n} = \frac{1}{2 ^{n}} sin (a)

et déterminer

n \to \infty lim P_{n}

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41.Somme ∑2k−13n−k(kn​)

42.Identité de Vandermonde itérée

43.Sommes ∑k2(kn​)

44.Sommes paires de (k2n​)

45.Sommes doubles max, ij, ∣i−j∣

46.Interversion et ∑(−1)k/k2

47.Sommes doubles.

48.Simplification de ∑i≤j​i/j

49.Somme des sommes partielles Hn​

50.Relations entre Sp​(n)=∑kp

51.Produit ∏(1−1/k2) télescopique

52.Produits doubles V,W,X,Y,Z

53.Produit ∏21/(k(k+1))

54.Calcul d’un produit infini

55.Produit ∏cos(a/2k)

41. $Somme \sum 2^{k - 1} 3^{n - k} (k n)$

42. $Identité de Vandermonde itérée$

43. $Sommes \sum k^{2} (k n)$

44. $Sommes paires de (k 2 n)$

45. $Sommes doubles max, ij, ∣ i - j ∣$

46. $Interversion et \sum (- 1)^{k} / k^{2}$

47. $Sommes doubles.$

48. $Simplification de \sum_{i \leq j} i / j$

49. $Somme des sommes partielles H_{n}$

50. $Relations entre S_{p} (n) = \sum k^{p}$

51. $Produit \prod (1 - 1/ k^{2}) télescopique$

52. $Produits doubles V, W, X, Y, Z$

53. $Produit \prod 2^{1/ (k (k + 1))}$

54. $Calcul d’un produit infini$

55. $Produit \prod cos (a / 2^{k})$