Exercices de Divisibilité et congruences, Terminale (page 3)

Soit $n$ un entier naturel. On considère la division euclidienne de $2n+9$ par $n+3$.

Déterminer tous les entiers $n$ tels que $2n+1$ divise $n-3$.

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $6x\equiv 3[9]$ en dressant le tableau des valeurs de $6x$ modulo $9$ lorsque $x$ décrit tous les restes possibles. Donner l'ensemble des solutions sous la forme d'une classe de congruence, puis vérifier l'une des solutions trouvées.

On cherche le reste dans la division euclidienne de $5^{73}$ par $7$.

Montrer que pour tout entier $n$, l'entier $n^3+2n$ est divisible par $3$.

Déterminer tous les entiers $x$ vérifiant simultanément $x\equiv 3[8]$ et $x\equiv 1[6]$. Exprimer la réponse sous la forme d'une congruence unique modulo $24$, puis donner la plus petite solution positive et la plus grande solution strictement négative.

Montrer que pour tout entier $n$, l'entier $n^2+n+2$ n'est jamais divisible par $5$.

Le 1er janvier 2027 est un vendredi, et l'année 2027 n'est pas bissextile.

Déterminer le reste dans la division euclidienne de $3^{2027}$ par $11$, en détaillant la recherche de la période, la division euclidienne de l'exposant et la conclusion par compatibilité des puissances.

Chaque carte d'abonné d'une médiathèque porte un numéro à six chiffres $c_1{c}_2{c}_3{c}_4{c}_5{c}_6$, suivi d'une clé $c$ définie par $c\equiv c_1+2c_2+3c_3+4c_4+5c_5+6c_6[7]$, avec $0⩽c⩽6$.

On chiffre un message en remplaçant chaque lettre de rang $x$ (de $0$ pour A à $25$ pour Z) par la lettre de rang $y$ vérifiant $y\equiv 5x+3[26]$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n+1$ pour tout entier $n⩾0$.

Déterminer tous les entiers $x$ de l'intervalle $[1;200]$ vérifiant simultanément $x\equiv 4[7]$ et $x\equiv 2[9]$. Organiser le balayage de façon méthodique, puis donner la forme générale des solutions dans $\mathbb{Z}$.

Déterminer le reste dans la division euclidienne de $A=2^{100}+3^{75}$ par $5$.

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers et $n$ un entier naturel non nul tels que $a\equiv b[n]$ et $c\equiv d[n]$.

On considère l'équation $x^2=5y^2+2$, où $x$ et $y$ sont des entiers.

Un magasin attribue à chaque adhérent un numéro à six chiffres, complété par une clé $c$ définie par la congruence $c\equiv s[9]$, où $s$ est la somme des six chiffres, avec $0⩽c⩽8$.

On étudie la suite des restes des puissances de $2$ modulo $7$.

Un service de messagerie chiffre chaque lettre en remplaçant son rang $x$ (de $0$ pour A à $25$ pour Z) par le rang $y$ tel que $y\equiv 7x+11[26]$.

Soit $n$ un entier naturel non nul, et posons $A=4n+17$ et $B=2n+3$.

L'algorithme de Kaprekar est le suivant :

Choisir un nombre dont les chiffres sont tous différents.
1. À l'aide des chiffres composant ce nombre, écrire le nombre le plus grand possible.
2. À l'aide des chiffres composant ce nombre, écrire le nombre le plus petit possible.
3. Soustraire le nombre obtenu à l'étape 2 au nombre obtenu à l'étape 1.
Reprendre au début avec le résultat de la soustraction.

Tester l'algorithme de Kaprekar avec plusieurs nombres à quatre chiffres tous différents.
Le résultat mène à la constante de Kaprekar. Quel est ce nombre ?

Le lecteur de pensée demande de choisir un nombre entier à deux chiffres, de calculer la somme de ses deux chiffres, puis de soustraire cette somme au nombre choisi ; il « devine » alors le symbole associé au résultat dans un tableau.
Tester plusieurs fois le lecteur de pensée en appliquant le programme de calcul avec différents nombres choisis au départ.
Pour accéder au lecteur de pensée : www.k-netweb.net/projects/mindreader/
Pour télécharger le lecteur en local : https://www.maths-et-tiques.fr/telech/lecteur.zip

Dans la suite, on propose de découvrir l'astuce.
Pour cela, on pose :
- $u$ le chiffre des unités du nombre choisi au départ.
- $d$ le chiffre des dizaines du nombre choisi au départ.