Exercices de Loi binomiale, Terminale (page 2)

Un archer s'entraîne au tir à l'arc. À chaque flèche tirée, la probabilité qu'elle atteigne le centre de la cible vaut $0,3$, et ce résultat ne dépend pas des tirs précédents. Il tire successivement $40$ flèches. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de flèches ayant atteint le centre. Montrer que les conditions d'un schéma de Bernoulli sont réunies et en déduire la loi de $X$.

Un fromager affine cinq tomes de gruyère dans son caveau. Chaque tome, indépendamment des autres, atteint un affinage parfait avec une probabilité égale à $\frac{1}{3}$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tomes parfaitement affinées. Calculer $P(X=2)$. On donnera la valeur exacte sous forme d'une fraction irréductible, puis une valeur arrondie au millième.

Un site de vente en ligne traite $120$ commandes par semaine. Chaque commande, indépendamment des autres, est retournée par le client avec une probabilité de $0,05$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de commandes retournées. Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter le résultat dans le contexte.

Un ciné-club programme $50$ séances. Pour chaque séance, indépendamment des autres, la probabilité que le film projeté soit un documentaire vaut $0,1$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de séances consacrées à un documentaire. Calculer la variance et l'écart-type de $X$, en arrondissant l'écart-type au centième.

Un fabricant contrôle un échantillon de $60$ stylos. Chaque stylo, indépendamment des autres, présente un défaut d'écriture avec une probabilité de $0,25$. On note $X$ le nombre de stylos défectueux de l'échantillon. Répondre à l'aide de la calculatrice, en arrondissant au millième : (a) calculer $P(X⩽10)$ ; (b) calculer $P(X⩾20)$ ; (c) calculer la probabilité que le nombre de stylos défectueux soit strictement inférieur à $8$.

Un étang contient $800$ poissons, dont $30\%$ de carpes. Un pêcheur capture successivement $12$ poissons. (a) Il relâche chaque poisson immédiatement après l'avoir capturé. Montrer que la variable $X$ comptant les carpes capturées suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. (b) Un second pêcheur, lui, conserve chaque poisson capturé. Dans ce cas, le schéma de Bernoulli s'applique-t-il strictement ? Peut-on malgré tout assimiler la situation à un tirage avec remise ? Justifier.

Une pâtissière enfourne $6$ tartes aux pommes. Pour chaque tarte, indépendamment des autres, la cuisson est parfaite avec une probabilité de $\frac{1}{4}$. On note $X$ le nombre de tartes parfaitement cuites. Calculer $P(X=3)$, d'abord sous forme de fraction irréductible, puis arrondie au millième.

Un atelier de gravure produit $80$ médailles commémoratives. Chaque médaille, indépendamment des autres, présente un léger défaut de gravure avec une probabilité de $0,12$. On note $X$ le nombre de médailles concernées. À la calculatrice, en arrondissant au millième : (a) calculer $P(X⩽6)$ ; (b) calculer $P(X<6)$ ; (c) calculer $P(X>12)$.

À une kermesse, une roue de loterie est partagée en $8$ secteurs de même dimension, dont $3$ sont gagnants. Un joueur fait tourner successivement $10$ fois la roue ; les lancers sont indépendants et la roue est parfaitement équilibrée. On note $X$ le nombre de lancers gagnants. (a) Montrer que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. (b) Calculer $P(X=3)$, arrondie au millième. (c) Combien de lots le forain doit-il prévoir en moyenne pour ce joueur ?

Un photographe animalier organise $5$ sorties pour tenter d'observer un lynx dans une vallée des Pyrénées. À chaque sortie, indépendamment des autres, la probabilité d'observer l'animal vaut $0,2$. On note $X$ le nombre de sorties durant lesquelles le lynx est observé. Quelle est la probabilité que le photographe observe le lynx au moins une fois ?

Un garagiste contrôle $45$ véhicules en une journée. Pour chaque véhicule, indépendamment des autres, la probabilité qu'au moins un pneu doive être remplacé vaut $0,35$. On note $X$ le nombre de véhicules concernés. Calculer $P(12⩽X⩽20)$, arrondie au millième, en détaillant la décomposition utilisée.

Au stand de fléchettes d'une kermesse, un joueur touche la cible à chaque lancer avec une probabilité de $0,35$, indépendamment d'un lancer à l'autre. Le forain propose deux défis. Défi A : effectuer $4$ lancers, le défi est gagné si au moins $2$ lancers touchent la cible. Défi B : effectuer $3$ lancers, le défi est gagné si au moins $1$ lancer touche la cible. Quel défi offre au joueur les meilleures chances de gain ?

Une imprimerie produit des cartes de visite par lots de $80$. Chaque carte, indépendamment des autres, présente un défaut d'impression avec une probabilité de $0,03$. La retouche d'une carte coûte $4$ euros à l'atelier. On note $X$ le nombre de cartes à retoucher dans un lot. (1) Donner la loi de $X$ et calculer $E(X)$. (2) En déduire le coût moyen de retouche par lot. (3) L'imprimeur peut-il affirmer que chaque lot lui coûtera exactement cette somme ?

Dans une boutique de chaussures, chaque client entrant achète une paire avec une probabilité de $0,45$, indépendamment des autres clients. Un samedi, $30$ clients entrent dans la boutique. On note $X$ le nombre de paires vendues. Déterminer, à la calculatrice, le plus petit entier $k$ tel que $P(X⩽k)⩾0,9$. Vérifier que la valeur précédente ne convient pas, puis interpréter le résultat.

Dans une menuiserie, chaque pièce de bois subit successivement deux opérations : un dégauchissage, réussi avec une probabilité de $0,9$, puis un ponçage, réussi avec une probabilité de $0,85$. Les deux opérations sont indépendantes. On choisit une pièce au hasard. (

Selon ses statistiques annuelles, $40\%$ des spectateurs d'un cinéma achètent du popcorn. On interroge un échantillon de $50$ spectateurs, assimilé à $50$ tirages indépendants de même probabilité. On note $X$ le nombre de spectateurs de l'échantillon achetant du popcorn. (a) Donner la loi de $X$. (b) Déterminer le plus petit entier $a$ tel que $P(X⩽a)⩾0,025$, puis le plus petit entier $b$ tel que $P(X⩽b)⩾0,975$. (c) En déduire un intervalle de fluctuation de la fréquence des acheteurs de popcorn au seuil de $95\%$. (d) Un soir, $21$ spectateurs sur $50$ achètent du popcorn. La proportion annoncée de $40\%$ est-elle remise en cause ?

Un joueur lance $8$ fois de suite un dé équilibré ; les lancers sont indépendants. À chaque lancer, obtenir un nombre premier ($2$, $3$ ou $5$) est considéré comme un succès. On note $X$ le nombre de succès. (a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. (b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins $6$ succès, d'abord sous forme exacte, puis arrondie au millième.

Un club de plongée programme $25$ sorties en saison. Pour chaque sortie, indépendamment des autres, la mer est propice à la plongée avec une probabilité de $0,6$. On note $X$ le nombre de sorties effectuées dans des conditions propices. Calculer $P(16⩽X⩽19)$, arrondie au millième, en détaillant la décomposition utilisée.

Dans une très grande ville, $18\%$ des habitants utilisent au moins de temps en temps les vélos en libre-service. On interroge au hasard $20$ habitants ; la ville étant très peuplée, on assimile ce sondage à un tirage avec remise. On note $X$ le nombre d'habitants interrogés utilisant les vélos en libre-service. (1) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. (2) Calculer $P(X=0)$, puis en déduire la probabilité qu'au moins un habitant interrogé utilise les vélos en libre-service. (3) Calculer $E(X)$ et interpréter.

Partie A. Dans une forêt, $10\%$ des chênes sont atteints par un champignon parasite. On choisit un chêne au hasard. On note $M$ l'événement « le chêne est atteint » et $T$ l'événement « le test de dépistage est positif ». Le test est positif pour $90\%$ des chênes atteints et pour $5\%$ des chênes sains. (1) Modéliser la situation par un arbre pondéré (le décrire). (2) Calculer $P(T)$. (3) Un chêne a un test positif : quelle est la probabilité qu'il soit réellement atteint ? Partie B. La forêt est si vaste qu'on assimile le choix des chênes à des tirages indépendants. On sélectionne au hasard $10$ chênes dont le test est positif. On note $Z$ le nombre de chênes réellement atteints parmi eux. (1) Justifier que $Z$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. (2) Calculer $P(Z⩾8)$, arrondie au millième. (3) Calculer $E(Z)$ et interpréter.

Le chef d'un restaurant accueille chaque midi $60$ clients. Chaque client, indépendamment des autres, choisit le menu du jour avec une probabilité de $0,3$. On note $X$ le nombre de menus du jour commandés. Déterminer un intervalle d'entiers $[a;b]$ de largeur minimale tel que $P(a⩽X⩽b)⩾0,9$ et, s'il y en a plusieurs, celui dont la probabilité est la plus grande. Détailler la démarche de recherche et vérifier qu'aucun intervalle plus étroit ne convient.

Une chocolaterie conditionne chaque jour $200$ boîtes de pralines. Chaque boîte, indépendamment des autres, subit un choc au conditionnement qui casse des pralines avec une probabilité de $0,12$. On note $X$ le nombre de boîtes concernées dans une journée. (a) Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$ (écart-type arrondi au centième). (b) Le directeur déclenche une révision de la chaîne dès que le nombre de boîtes concernées dépasse $E(X)+2\sigma (X)$. Calculer ce seuil et préciser à partir de combien de boîtes il est dépassé. (c) Un mercredi, $31$ boîtes sont signalées. La révision est-elle déclenchée ? Ce nombre est-il inhabituel ?

Un technicien cherche une fuite dans le réseau d'eau d'une piscine à l'aide d'un test acoustique. Chaque test, indépendamment des autres, localise la fuite avec une probabilité de $0,35$. Le technicien effectue $n$ tests. Déterminer le nombre minimal de tests $n$ pour que la probabilité de localiser la fuite au moins une fois soit supérieure ou égale à $0,99$.

À l'entraînement, un basketteur effectue $12$ lancers francs. Chaque lancer, indépendamment des autres, est réussi avec une probabilité de $0,45$. On note $X$ le nombre de lancers réussis. (a) Pour un entier $k$ compris entre $0$ et $11$, calculer le rapport $\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}$ et montrer qu'il vaut $\frac{9}{11}\times \frac{12-k}{k+1}$. (b) En déduire la valeur du nombre de lancers réussis la plus probable. (c) Vérifier à la calculatrice en calculant $P(X=4)$, $P(X=5)$ et $P(X=6)$.

Un arboriculteur hésite entre deux vergers pour une récolte destinée aux marchés. Dans le verger A, $10$ pommiers sont plantés et chaque arbre, indépendamment des autres, donne une récolte abondante avec une probabilité de $0,6$. Dans le verger B, $15$ pommiers sont plantés et chaque arbre, indépendamment des autres, donne une récolte abondante avec une probabilité de $0,4$. (a) Calculer l'espérance du nombre d'arbres à récolte abondante dans chaque verger. (b) Calculer, arrondie au millième, la probabilité qu'au moins $6$ arbres donnent une récolte abondante dans chaque verger. (c) Quel verger choisir si l'objectif est d'obtenir au moins $6$ arbres à récolte abondante ?

Un concours de cuisine comporte d'abord une épreuve de sélection, qu'un candidat passe avec une probabilité de $0,7$. S'il est admis, il passe ensuite $5$ épreuves techniques identiques, et il réussit chaque épreuve avec une probabilité de $0,5$, indépendamment d'une épreuve à l'autre. Le résultat de la sélection ne dépend pas des épreuves suivantes. Un candidat se présente. (a) Quelle est la probabilité qu'il soit admis et réussisse exactement $3$ des $5$ épreuves ? (b) Quelle est la probabilité qu'il soit admis et réussisse au moins $4$ des $5$ épreuves ? (c) Sachant que le candidat a été admis, quelle est la probabilité qu'il ait réussi au moins $4$ épreuves ?

Une station météorologique isolée fonctionne grâce à $25$ panneaux solaires identiques. Un jour donné, chaque panneau, indépendamment des autres, fonctionne correctement avec la même probabilité $p$. La station fournit assez d'énergie si au moins $22$ panneaux fonctionnent. On note $X$ le nombre de panneaux fonctionnant. Déterminer, au centième près, la plus petite valeur de $p$ telle que $P(X⩾22)⩾0,9$.

Une coopérative conditionne des sachets de graines potagères. Chaque sachet, indépendamment des autres, présente une germination défaillante avec une probabilité de $0,08$. Un contrôleur prélève un lot de $50$ sachets. On note $X$ le nombre de sachets défaillants du lot. (a) Calculer $E(X)$. (b) Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $P(X⩾k)⩽0,05$. (c) Interpréter ce seuil comme règle d'alerte qualité.

Un ornithologue veut photographier un circaète dans une région des Cévennes. À chaque sortie, indépendamment des autres, la probabilité d'observer l'espèce vaut $0,25$. Déterminer le nombre minimal de sorties nécessaires pour que la probabilité d'observer le rapace au moins une fois soit supérieure ou égale à $0,95$.

Partie A. Dans un bassin d'irrigation, $6\%$ des échantillons d'eau présentent une contamination bactériologique. On prélève un échantillon au hasard. On note $C$ l'événement « l'échantillon est contaminé » et $T$ l'événement « le test rapide est positif ». Le test est positif pour $92\%$ des échantillons contaminés et pour $3\%$ des échantillons sains. (1) Modéliser la situation par un arbre pondéré (le décrire). (2) Calculer $P(T)$. (3) Un échantillon donne un test positif : quelle est la probabilité qu'il soit réellement contaminé ? Partie B. Un technicien prélève au hasard $12$ échantillons dans une zone du bassin où la proportion d'échantillons contaminés vaut $6\%$ ; les prélèvements sont assimilés à des tirages indépendants. On note $Y$ le nombre d'échantillons contaminés. (1) Justifier que $Y$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. (2) Calculer $P(Y=0)$. (3) Calculer la probabilité qu'au moins un échantillon soit contaminé. (4) Calculer $E(Y)$ et interpréter.

Une commune plante $50$ jeunes arbres le long d'une avenue. Chaque arbre, indépendamment des autres, survit à la première année avec une probabilité de $0,7$. On note $X$ le nombre d'arbres survivants. (a) Déterminer le plus petit entier $a$ tel que $P(X⩽a)⩾0,01$, puis le plus petit entier $b$ tel que $P(X⩽b)⩾0,99$. (b) En déduire un intervalle $[a;b]$ tel que $P(a⩽X⩽b)⩾0,98$, en vérifiant l'inégalité. (c) Interpréter le résultat pour le service des espaces verts.

Soit $n$ un entier naturel non nul et $p$ un réel de l'intervalle $]0;1[$. On répète $n$ fois, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ (le succès a la probabilité $p$, l'échec la probabilité $1-p$). On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès. Démontrer que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ : $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$. La démonstration devra faire apparaître distinctement la probabilité d'un chemin donné et le dénombrement des chemins, avant leur sommation.

Un théâtre de $500$ places vend $520$ billets pour une représentation exceptionnelle. Chaque spectateur ayant acheté un billet se présente le soir de la représentation avec une probabilité de $0,97$, indépendamment des autres spectateurs. On note $X$ le nombre de spectateurs présents. (

Partie A. Une maison de joaillerie contrôle ses pierres précieuses. En moyenne, $4\%$ des pierres possèdent un défaut interne invisible à l'œil nu. On note $D$ l'événement « la pierre possède un défaut » et $L$ l'événement « la lampe de détection s'illumine ». La lampe s'illumine pour $90\%$ des pierres défectueuses et pour $2\%$ des pierres saines. (1) Modéliser la situation par un arbre pondéré (le décrire). (2) Calculer $P(L)$. (3) Calculer la probabilité qu'une pierre qui fait s'illuminer la lampe soit défectueuse. Partie B. Un client achète $9$ pierres d'un lot dans lequel la proportion de pierres défectueuses vaut $4\%$ ; les pierres sont choisies indépendamment les unes des autres. On note $Y$ le nombre de pierres défectueuses achetées par le client. (1) Justifier que $Y$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. (2) Calculer la probabilité qu'aucune des $9$ pierres ne soit défectueuse. (3) Calculer la probabilité qu'au moins une pierre soit défectueuse. (4) Déterminer le plus petit nombre entier $n$ de pierres à acheter pour que la probabilité d'avoir au moins une pierre défectueuse dépasse $0,5$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ (entier naturel non nul) et $p$ (réel de l'intervalle $]0;1[$). (a) Démontrer que $P(X⩾n-1)=p^{n-1}\left(n-(n-1)p\right)$. (b) Application : un ordinateur effectue $8$ calculs successifs indépendants, chacun exact avec une probabilité de $0,9$. Calculer la probabilité qu'au moins $7$ calculs soient exacts. (c) En déduire l'encadrement $p^n⩽P(X⩾n-1)⩽n{p}^{n-1}$, et commenter le comportement de cette probabilité lorsque $p$ est proche de $1$.

Le gérant d'une navette de ski dispose d'un véhicule de $15$ places. Chaque voyageur ayant réservé se présente au départ avec une probabilité de $0,85$, indépendamment des autres voyageurs. Le gérant veut que la probabilité qu'au plus $15$ voyageurs se présentent reste supérieure ou égale à $0,9$ (autrement dit, le risque que plus de $15$ voyageurs se présentent doit rester inférieur ou égal à $0,1$). Pour un entier $n⩾15$, on note $X_n$ le nombre de voyageurs présents parmi $n$ réservations. (a) Justifier que $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,85$. (b) Calculer $P(X_{16}⩽15)$ et $P(X_{17}⩽15)$. (c) Justifier soigneusement que la suite des probabilités $P(X_n⩽15)$ est décroissante en $n$, puis déterminer le plus grand entier $n$ tel que $P(X_n⩽15)⩾0,9$. (d) Conclure sur le nombre de réservations à accepter.

Sur une conduite de gaz industrielle, une série de $50$ capteurs de pression indépendants est installée. Chaque capteur présente une probabilité de défaut de fonctionnement égale à $0,04$. On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de capteurs défaillants parmi les $50$. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

On lance un dé tétraédrique parfaitement équilibré à quatre faces numérotées de $1$ à $4$, de manière indépendante, quatre fois de suite. Le succès consiste à obtenir la face numérotée $4$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où la face $4$ est obtenue. Déterminer la valeur exacte de la probabilité $P(X=2)$ sous forme de fraction irréductible, puis donner une valeur arrondie au dix-millième.

Une agence de transport distribue chaque matin $120$ colis volumineux. Pour chaque colis, la probabilité d'être livré avant midi est égale à $0,85$, indépendamment des autres colis. On note $X$ la variable aléatoire dénombrant les colis livrés avant midi. Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat dans le cadre concret de l'agence.