Exercices de Loi binomiale, Terminale (page 3)

Lors de l'inspection de $30$ pales d'éoliennes fabriquées dans un atelier, on suppose que chaque pale présente une microfissure superficielle avec une probabilité égale à $0,08$, indépendamment des autres pales. On note $X$ le nombre de pales présentant une microfissure parmi les $30$ inspectées. À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité qu'au plus $2$ pales présentent une microfissure, puis la probabilité qu'au moins $4$ pales en présentent une. Arrondir les résultats au millième.

Une usine produit des connecteurs électriques dont $5\%$ sont non conformes. On prélève au hasard et sans remise un échantillon de $12$ connecteurs. Cas 1 : le prélèvement est effectué dans un carton contenant initialement $25$ connecteurs. Cas 2 : le prélèvement est effectué sur la production journalière de $50000$ connecteurs. Expliquer dans quel cas on peut modéliser le nombre de connecteurs non conformes par une loi binomiale et dans quel cas cette modélisation n'est pas adaptée.

On lance $5$ fois de suite un dé cubique équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. On considère comme un succès l'obtention d'un multiple de $3$. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de succès obtenus au cours des $5$ lancers. Calculer la probabilité d'obtenir exactement $3$ succès. On exprimera le résultat sous forme de fraction irréductible puis avec une valeur décimale approchée à $10^{-4}$ près.

Un grand complexe hôtelier commande un stock de plusieurs milliers de luminaires. Le fabricant garantit qu'exactement $98\%$ des luminaires fonctionnent parfaitement à la livraison. Le responsable technique prélève au hasard $45$ luminaires dans cette livraison pour en vérifier l'état. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. On s'intéresse au nombre $X$ de luminaires défectueux dans cet échantillon. Justifier avec soin que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Dans un rucher expérimental, un apiculteur dispose d'un piège sélectif. Lors d'un relevé d'une heure, la probabilité qu'au moins un frelon asiatique soit capturé est de $0,12$. L'apiculteur effectue $15$ relevés indépendants d'une heure répartis sur plusieurs jours. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de relevés ayant permis la capture d'au moins un frelon. Calculer la probabilité que l'apiculteur capture au moins un frelon sur l'ensemble des $15$ relevés. On donnera la formule littérale puis un arrondi au millième.

Un conseiller en rénovation énergétique appelle $20$ propriétaires choisis au hasard dans un annuaire. Pour chaque appel, la probabilité d'obtenir un rendez-vous d'évaluation est de $0,10$, indépendamment des autres appels. On note $X$ le nombre de rendez-vous obtenus au cours de ces $20$ appels. Déterminer la probabilité que le conseiller obtienne au moins deux rendez-vous. On donnera la valeur arrondie au dix-millième.

À l'embarquement d'un vol moyen-courrier, $80$ passagers se présentent avec un bagage de cabine. On estime que la probabilité qu'un bagage soit hors gabarit est de $0,15$, de façon indépendante pour chaque passager. On note $X$ le nombre de bagages hors gabarit parmi ces $80$. Calculer la probabilité que le nombre de bagages hors gabarit soit strictement supérieur à $7$ et inférieur ou égal à $16$, c'est-à-dire $P(8⩽X⩽16)$. Arrondir au millième.

Lors d'une kermesse, un stand propose deux défis au même tarif d'inscription : Défi A : lancer $6$ fois une pièce de monnaie équilibrée et obtenir au moins $4$ fois la face « Pile ». Défi B : lancer $3$ fois un dé équilibré à six faces et obtenir au moins $2$ fois un numéro pair. Déterminer quel défi offre au joueur la plus forte probabilité de gain.

Une société gère un parc de $60$ distributeurs automatiques de titres de transport. Chaque mois, chaque distributeur présente un risque d'avarie de son écran tactile égal à $0,05$, indépendamment des autres appareils. La réparation d'un écran tactile défectueux coûte forfaitairement $180$ euros à la société. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre d'écrans tombant en panne au cours d'un mois, et $C$ le coût mensuel total de réparation associé. Calculer l'espérance de $X$, puis en déduire le coût mensuel moyen de réparation que l'entreprise doit provisionner.

Un joueur participe à un concours hebdomadaire consistant à remplir $10$ grilles de pronostics indépendantes. Pour chaque grille, la probabilité d'obtenir un sans-faute est de $0,20$. Chaque sans-faute rapporte un prix de $25$ euros. La participation coûte $3$ euros par grille, soit une mise totale fixe de $30$ euros. On note $X$ le nombre de grilles gagnantes et $G$ le gain algébrique net du joueur (somme remportée moins la mise). Déterminer la loi de $X$, son espérance, puis calculer l'espérance du gain net $E(G)$. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Un magazine mensuel compte un groupe témoin de $150$ nouveaux abonnés. Chaque mois, la probabilité qu'un abonné résilie son abonnement est de $0,03$, de façon indépendante pour chaque abonné. On note $X$ le nombre de désabonnements enregistrés dans ce groupe ce mois-ci. Déterminer, à l'aide de la calculatrice par balayage successif des valeurs, le plus petit entier $k$ tel que $P(X⩽k)⩾0,90$.

Dans une station d'épuration, l'eau d'une cuve subit deux étapes successives de décantation indépendantes : l'étape 1 retient $80\%$ des impuretés résiduelles, et l'étape 2 retient $70\%$ de ce qui a échappé à la première étape. Une cuve est dite « totalement purifiée » si les impuretés sont retenues soit à l'étape 1, soit à l'étape 2. On traite indépendamment $8$ cuves identiques. Soit $Y$ le nombre de cuves totalement purifiées parmi les $8$. Calculer la probabilité qu'une cuve donnée soit totalement purifiée, puis calculer la probabilité qu'exactement $7$ cuves le soient.

Une fonderie fabrique des bagues en alliage d'aluminium. La proportion théorique de pièces sans défaut de moulage est $p=0,90$. On prélève au hasard un échantillon de $100$ pièces (assimilé à un tirage avec remise). Soit $X$ le nombre de pièces sans défaut dans l'échantillon. Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ du nombre de pièces sans défaut, sous la forme $[a;b]$, où $a$ est le plus petit entier tel que $P(X⩽a)>0,025$ et $b$ est le plus petit entier tel que $P(X⩽b)⩾0,975$. Un contrôle sur un lot donne $83$ pièces conformes : doit-on s'inquiéter de la qualité du réglage des moules ?

Dans un élevage de chevaux, une affection respiratoire touche $8\%$ des animaux. Un test sérologique est utilisé pour le dépistage : si le cheval est malade, le test est positif dans $95\%$ des cas ; si le cheval est sain, le test est négatif dans $90\%$ des cas (il est donc positif à tort dans $10\%$ des cas). On choisit un cheval au hasard. Partie A : calculer la probabilité que le test soit positif. Partie B : on fait passer ce test à un groupe de $25$ chevaux choisis au hasard et de manière indépendante. On note $X$ le nombre de tests positifs obtenus. Déterminer la loi de $X$, son espérance, et la probabilité qu'au plus $3$ tests soient positifs (arrondir au millième).

Une entreprise de construction s'approvisionne en tuiles solaires auprès de deux usines U1 et U2. L'usine U1 fournit $60\%$ des tuiles et l'usine U2 fournit les $40\%$ restants. Le taux de défectuosité est de $2\%$ pour les tuiles de U1 et de $5\%$ pour celles de U2. Partie A : montrer que la probabilité qu'une tuile prélevée au hasard dans le stock global soit défectueuse est égale à $0,032$. Partie B : un chantier nécessite la pose d'un lot de $40$ tuiles prélevées au hasard (le stock étant suffisamment grand pour assimiler cela à un tirage avec remise). Soit $X$ le nombre de tuiles défectueuses parmi les $40$. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus une tuile défectueuse sur ce chantier, arrondie à $10^{-4}$.

Une agence urbaine gère une flotte de $50$ trottinettes électriques. Chaque matin, chaque trottinette nécessite une recharge prioritaire avec une probabilité égale à $0,20$, de façon indépendante des autres. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de trottinettes nécessitant une recharge prioritaire. 1. Calculer l'espérance $E(X)$. 2. On cherche un intervalle d'entiers centré sur l'espérance de la forme $I_d=[E(X)-d;E(X)+d]$, avec $d\in \mathbb{N}$, tel que la probabilité $P(X\in I_d)$ soit supérieure ou égale à $0,90$. Déterminer la plus petite valeur entière de $d$ convenable à l'aide de la calculatrice.

Une coopérative fruitière utilise deux lignes de conditionnement A et B pour des barquettes de cerises. Sur la ligne A, on prélève un échantillon de $100$ barquettes, chacune ayant une probabilité de défaut de calibrage $p_A=0,15$. Sur la ligne B, on prélève un échantillon de $30$ barquettes, chacune ayant une probabilité de défaut de calibrage $p_B=0,50$. On note $X_A$ et $X_B$ les nombres de barquettes défectueuses sur chaque ligne respective. 1. Calculer et comparer les espérances de $X_A$ et $X_B$. 2. Calculer les variances et les écarts-types de $X_A$ et $X_B$. 3. Comparer la dispersion des deux procédés de conditionnement et interpréter ce résultat pour le responsable de l'atelier.

Une société d'exploration géologique réalise des forages indépendants pour localiser une nappe géothermique. Chaque forage atteint la nappe avec une probabilité de $0,25$. On note $n$ le nombre de forages réalisés et $X$ la variable aléatoire égale au nombre de forages réussis. On souhaite que la probabilité d'atteindre la nappe au moins une fois soit supérieure ou égale à $0,99$. 1. Exprimer $P(X⩾1)$ en fonction de $n$. 2. Résoudre algébriquement l'inéquation $P(X⩾1)⩾0,99$ à l'aide de la fonction logarithme népérien. 3. En déduire le nombre minimal de forages à planifier.

Dans un laboratoire de biotechnologie, des colonies de levures présentent une mutation spécifique avec une probabilité égale à $0,02$. Un biologiste analyse $n$ colonies indépendantes. On note $X$ le nombre de colonies mutantes observées. On veut déterminer la taille minimale $n$ de l'échantillon pour que la probabilité d'observer au moins une colonie mutante soit supérieure ou égale à $0,95$. 1. Exprimer la condition sous forme d'une inéquation d'inconnue $n$. 2. Déterminer la valeur minimale de l'entier $n$ par le calcul à l'aide du logarithme népérien.

Une commande comprend $19$ isolateurs en céramique. Chaque isolateur résiste à une surtension avec une probabilité $p=0,35$, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre d'isolateurs résistant à la surtension, qui suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(19;0,35)$. On souhaite déterminer le mode de cette loi, c'est-à-dire l'entier $k$ pour lequel $P(X=k)$ est maximal. 1. Pour tout entier $k\in \{0;1;\dots ;18\}$, simplifier le quotient $\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}$ en fonction de $k$. 2. Résoudre l'inéquation $\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}⩾1$. 3. En déduire la valeur la plus probable de $X$.

Un fabricant de composants électroniques compare deux protocoles de contrôle sur une production comportant $4\%$ de pièces défectueuses. Protocole 1 : on prélève $50$ composants individuellement et on les teste un par un ; on note $X_1$ le nombre de pièces défectueuses trouvées. Le protocole est jugé satisfaisant si $X_1⩽1$. Protocole 2 : on regroupe les composants par lots de $5$. Un lot est défectueux dès qu'il contient au moins une pièce défectueuse. On prélève $10$ lots de $5$ pièces et on note $X_2$ le nombre de lots défectueux. Le protocole est jugé satisfaisant si $X_2⩽1$. Calculer la probabilité qu'un lot de $5$ pièces soit défectueux, puis comparer les probabilités d'acceptation selon le protocole 1 et le protocole 2. Arrondir au millième.

Un concours de recrutement de pilotes d'essai comporte une épreuve d'admissibilité A suivie, en cas de réussite, de deux épreuves pratiques indépendantes B1 et B2. Un candidat réussit l'épreuve A avec une probabilité égale à $0,75$. S'il est admissible, les épreuves B1 et B2 constituent deux épreuves identiques et indépendantes de probabilité de succès $p=0,60$ chacune. Le candidat est définitivement admis s'il réussit l'épreuve A ainsi qu'au moins une des deux épreuves pratiques. 1. Soit $Y$ le nombre d'épreuves pratiques réussies par un candidat admissible. Donner la loi de $Y$ et calculer la probabilité qu'il réussisse au moins une épreuve pratique. 2. En déduire la probabilité qu'un candidat quelconque soit admis au concours.

Un mécanisme de déclenchement de secours est constitué de $10$ déclencheurs autonomes fonctionnant de manière indépendante. Pour que le dispositif soit certifié, il faut que la probabilité qu'au moins $9$ déclencheurs fonctionnent correctement lors d'une alerte soit supérieure ou égale à $0,95$. On suppose que chaque déclencheur fonctionne avec une même probabilité inconnue $p$. On note $X$ le nombre de déclencheurs qui fonctionnent correctement.

Dans un schéma de Bernoulli d'ordre $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et de probabilité de succès $p\in ]0;1[$, on note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre total de succès. L'objectif est de démontrer rigoureusement la formule donnant $P(X=k)$ pour tout entier $k\in \{0;1;\dots ;n\}$. 1. Décrire la structure d'un chemin de l'arbre associé comportant exactement $k$ succès et $n-k$ échecs, et calculer la probabilité d'un tel chemin en justifiant par l'indépendance des épreuves. 2. Justifier le nombre total de chemins de l'arbre comportant exactement $k$ succès à l'aide des coefficients binomiaux. 3. Justifier que les événements associés à ces chemins sont deux à deux disjoints et conclure en établissant la formule $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$.

Un téléphérique panoramique de haute montagne comporte une cabine unique d'une capacité maximale de $45$ passagers. L'exploitant vend $60$ billets horodatés pour une montée. L'expérience montre que chaque acheteur a une probabilité de $0,22$ de ne pas se présenter au départ (désistement), de façon indépendante pour chaque acheteur. On note $X$ le nombre de passagers qui se présentent effectivement à l'embarquement parmi les $60$ acheteurs. 1. Préciser la loi suivie par $X$ et justifier ses paramètres. 2. On dit qu'il y a surréservation si le nombre de passagers présents dépasse la capacité de la cabine ($X>45$). Exprimer l'événement $(X>45)$ en fonction de probabilités cumulées et calculer sa probabilité arrondie au millième à l'aide de la calculatrice. 3. L'exploitant souhaite réajuster le nombre total de billets vendus $N$ (avec $N⩾45$) de sorte que le risque de refouler au moins un passager reste strictement inférieur à $1\%$, soit $P(X_N>45)<0,01$, où $X_N\sim \mathcal{B}(N;0,78)$. Justifier pourquoi la probabilité $P(X_N>45)$ est strictement croissante par rapport à $N$, puis déterminer la valeur maximale admissible de $N$.

Une unité industrielle produit des puces électroniques sur deux lignes de gravure L1 et L2. La ligne L1 assure $70\%$ de la fabrication totale et son taux de composants défectueux est de $1\%$. La ligne L2 assure les $30\%$ restants et son taux de composants défectueux est de $4\%$. 1. On prélève une puce au hasard dans la production globale. Démontrer que la probabilité qu'elle soit défectueuse est égale à $0,019$. 2. Sachant qu'une puce prélevée est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle provienne de la ligne L2 (arrondir au millième). 3. On prélève au hasard un lot de $50$ puces dans la production (le stock étant suffisamment important pour que le tirage soit assimilé à un tirage avec remise). Soit $X$ le nombre de puces défectueuses dans ce lot. Calculer la probabilité que le lot contienne au moins deux puces défectueuses (arrondir au dix-millième). 4. Déterminer le nombre minimal $n$ de puces à prélever pour que la probabilité d'avoir au moins une puce défectueuse dépasse $99\%$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, où $n⩾2$ est un entier et $p\in ]0;1[$. On note $q=1-p$. On s'intéresse à l'événement « obtenir au moins $n-1$ succès », c'est-à-dire que le nombre d'échecs est au plus égal à $1$. 1. Exprimer la probabilité $P(X⩾n-1)$ en fonction de $n$, $p$ et $q$. 2. Montrer que cette probabilité peut s'écrire sous la forme $P(X⩾n-1)=p^{n-1}(p+nq)$. 3. Dans le cadre d'un système spatial redondant comprenant $n=8$ ordinateurs de bord indépendants ayant chacun une fiabilité $p=0,98$, calculer la probabilité que le système fonctionne avec au plus une panne. Donner la valeur exacte sous forme factorisée puis une approximation au cent-millième.

On lance $9$ fois de suite une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de « pile » obtenus : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(9;0,5)$. On sait que $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=28$ et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=56$.

1. Dans l'arbre pondéré des $9$ lancers, on classe les chemins comportant exactement $3$ « pile » selon le résultat du dernier lancer. Combien y a-t-il de chemins dont le dernier lancer est « pile » ? Combien y en a-t-il dont le dernier lancer est « face » ?
2. En déduire $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)$ sans utiliser la formule avec les factorielles.
3. Calculer $P(X=3)$ sous forme de fraction irréductible, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.

On considère un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves ; on rappelle que $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ est le nombre de chemins de l'arbre pondéré comportant exactement $k$ succès.

1. On prend $n=6$ et $k=2$. On sépare les chemins à $2$ succès selon que la première épreuve est un succès ou un échec. Combien de chemins de chaque sorte y a-t-il ? En déduire $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)$ en fonction de coefficients binomiaux d'ordre $5$, puis calculer sa valeur.
2. Soit $n⩾2$ et $k$ un entier tel que $1⩽k⩽n-1$. En reprenant le raisonnement de la question 1, démontrer que$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k}\right).$$3. La ligne $n=6$ du triangle de Pascal est : $1,6,15,20,15,6,1$. Écrire la ligne $n=7$.

Soit $p\in ]0;1[$, $q=1-p$, et, pour tout entier $n⩾1$, $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$. Soit $k$ un entier tel que $1⩽k⩽n-1$.

1. Dans l'arbre pondéré à $n$ épreuves, distinguer les chemins à $k$ succès selon le résultat de la première épreuve et en déduire la relation de Pascal $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k}\right)$.
2. À l'aide de cette relation, démontrer que$$P(X_n=k)=pP(X_{n-1}=k-1)+qP(X_{n-1}=k).$$3. Application. On prend $p=0,3$. Calculer $P(X_4=1)$ et $P(X_4=2)$, puis en déduire $P(X_5=2)$ avec la relation de la question 2. Vérifier par un calcul direct.

Une compagnie d'autocars accepte $120$ réservations pour un trajet. On admet que chaque voyageur ne se présente pas au départ avec une probabilité de $0,04$, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de voyageurs absents au départ.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer à la calculatrice $P(X=5)$, arrondie à $10^{-3}$ près.
3. Écrire l'expression de $P(X=5)$ avec la formule du cours. Donner l'ordre de grandeur de $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{120}{5}\right)$ (on donne $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{120}{5}\right)=190578024$) et expliquer pourquoi il est préférable d'utiliser la calculatrice.
4. Calculer $P(X=0)$ puis en déduire la probabilité qu'il y ait au moins un absent.
5. À la calculatrice, calculer $P(X=k)$ pour $k$ entier de $2$ à $7$ (arrondis à $10^{-3}$ près) et indiquer la valeur de $k$ la plus probable.