Arithmétique des entiers relatifs | The Maths Tailor

Arithmétique des entiers relatifs

Cours Exercices

Cours

0Introduction

1Division dans

Z

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2Diviseurs et multiples communs

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3Nombres premiers

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4Compléments

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Méthodes9

TunnelRésoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs

Pour résoudre une équation diophantienne non linéaire dans $Z$ ou $Z^{2}$ :

Réécrire l'expression pour faire apparaître un produit égal à une constante $k$ . Techniques courantes : complétion ( $(x - a) (y - b) = k$ ), division euclidienne ( $a ∣ f (x) \Leftrightarrow \frac{f ( x )}{a} \in Z$ ), mise au même dénominateur.
Lister tous les couples de diviseurs $(d_{1}, d_{2})$ de $k$ tels que $d_{1} \cdot d_{2} = k$ , sans oublier les diviseurs négatifs.
Pour chaque couple, résoudre le système linéaire associé.
Vérifier les conditions de validité : intégralité, parité, positivité selon le contexte.
Conclure avec l'ensemble des solutions $S$ .

ClassiqueRéduction au cas copremier

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ClassiqueTransporter l'algorithme d'Euclide aux indices d'une suite

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ClassiqueIrrationalité ou intégralité par écriture irréductible et Gauss

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ClassiqueCalculer le reste de a^n dans la division par k

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ClassiqueDémontrer qu'un entier dépendant d'un paramètre est divisible par un petit entier

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PavlovCalculer le pgcd de deux entiers a et b

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ClassiqueFactoriser a^n ± 1 pour n composé

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TunnelRésoudre une équation de Bézout ax+by=c

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Exercices

Diophantiennes dans Z

Résoudre dans

Z

les équations suivantes :

$x - 1 ∣ x + 3$
$x + 2 ∣ x^{2} + 2$

Indication

Diophantiennes dans Z^{2}

Résoudre dans

Z^{2}

les équations suivantes :

$x y = 3 x + 2 y$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$
$x^{2} - y^{2} - 4 x - 2 y = 5$

Indication

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1

Résoudre dans

(N^{*})^{3}

l'équation

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1

.

Indication

5 x^{2} + 2 x y - 3 = 0 dans Z^{2}

Résoudre dans

Z^{2}

l'équation

5 x^{2} + 2 x y - 3 = 0

.

Indication

Centrale MP 2012

Résoudre dans

N^{2}

l'équation

n (n + 1) (n + 2) = m^{2}

Indication

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}

On se propose de résoudre l'équation

(E) : \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}

d'inconnue

(a, b, c) \in (N^{*})^{3}

.

Soit $(a, b, c) \in (N^{*})^{3}$ vérifiant $(E)$ . On suppose $a, b, c$ premiers entre eux dans leur ensemble. On pose $α = a - c$ et $β = b - c$ . Montrer que $α$ , $β$ , $c$ sont premiers entre eux dans leur ensemble puis que $α$ et $β$ sont premiers entre eux. En déduire que $α$ et $β$ sont des carrés d'entiers, puis qu'il existe $(u, v) \in (N^{*})^{2}$ tel que $a = (u + v) u$ , $b = (u + v) v$ et $c = uv$ .
Résoudre $(E)$ .

Indication

2^{n} + 1 = m^{3} dans N^{2}

Résoudre l'équation

2^{n} + 1 = m^{3}

d'inconnue

(n, m) \in N^{2}

.

Indication

n + 1 divise n^{2} + 1

Déterminer tous les entiers

n \in N

tels que

n + 1

divise

n^{2} + 1

.

Indication

Mines-Ponts MP 2007

Nombres de Fibonacci

Divisibilité par récurrence modulo

Équations diophantiennes