Arithmétique des entiers relatifs

Soit la suite telle que $u_0 = 0$ et $\forall n \in \mathbb{N}^*, u_n = \sqrt{n} + u_{n-1}$. Démontrer successivement que
(1) $u_n \leq n$, par récurrence ;
(2) $u_n/n \to 0$, par encadrement ;
(3) $u_n/\sqrt{n} \to 1$ ;
(4) $u_n - \sqrt{n} \to 1/2$, en utilisant la quantité conjuguée.

Les questions sont indépendantes. On demande de démontrer les propriétés par récurrence.
(1) Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$.
(2) Si $q \neq 1$, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $1 + q + \cdots + q^{n-1} = \frac{1-q^n}{1-q}$.
(3) Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
(4) Soit un réel $a \geq -1$. Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(1+a)^n \geq 1 + na$.
(5) Démontrer que, pour tout entier $n \geq 1$, $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} \leq 2 - \frac{1}{n}$.
(6) On définit les nombres de Fermat par $F_n = 2^{2^n} + 1$. Démontrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}^*, F_0 \cdots F_{n-1} = F_n - 2$.
(7) On définit la suite de Fibonacci par les relations suivantes : $f_0 = 0$, $f_1 = 1$ et $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$ pour $n \geq 2$. Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :
(a) $f_{n+1}f_{n-1} - f_n^2 = (-1)^n$ ;
(b) $f_1 + f_3 + \cdots + f_{2n+1} = f_{2n+2}$ ;
(c) $f_0 + f_2 + \cdots + f_{2n} = f_{2n+1} - 1$ ;
(d) $f_0 + f_1 + f_2 + \cdots + f_n = f_{n+2} - 1$ ;
(e) $f_0^2 + \cdots + f_n^2 = f_nf_{n+1}$.

Rappeler la valeur de $S_n = 1+2+\cdots+n$. En déduire les valeurs de $A_n = 2+4+\cdots+2n$ et $B_n = 1+3+\cdots+(2n-1)$. Vérifier par récurrence le résultat obtenu pour $B_n$.

En utilisant la question 6 de l'exercice n°37, démontrer que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux.