Arithmétique des entiers relatifs | The Maths Tailor

Arithmétique des entiers relatifs

Cours Exercices

Cours— 5 sections

0Introduction

0. Introduction

0.1. Propriétés fondamentales

Théorème

Toute partie non vide et majorée de

\mathbb{N}

possède un plus grand élément. Toute partie non vide de

\mathbb{N}

possède un plus petit élément.

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Toute partie non vide et minorée de

\mathbb{Z}

admet un plus petit élément. Toute partie non vide et majorée de

\mathbb{Z}

admet un plus grand élément.

1Division dans

\mathbb{Z}

2Diviseurs et multiples communs

3Nombres premiers

4Compléments

Cours

0Introduction

1Division dans

\mathbb{Z}

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2Diviseurs et multiples communs

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3Nombres premiers

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4Compléments

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Méthodes9

TunnelRésoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs

Pour résoudre une équation diophantienne non linéaire dans

\mathbb{Z}

ou

\mathbb{Z}^2

:

Réécrire l'expression pour faire apparaître un produit égal à une constante $k$ . Techniques courantes : complétion ( $(x-a)(y-b) = k$ ), division euclidienne ( $k$ ), mise au même dénominateur.
Lister tous les couples de diviseurs $(d_1, d_2)$ de $k$ tels que $d_1 \cdot d_2 = k$ , sans oublier les diviseurs négatifs.
Pour chaque couple, résoudre le système linéaire associé.
Vérifier les conditions de validité : intégralité, parité, positivité selon le contexte.
Conclure avec l'ensemble des solutions $S$ .

ClassiqueRéduction au cas copremier

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ClassiqueTransporter l'algorithme d'Euclide aux indices d'une suite

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ClassiqueIrrationalité ou intégralité par écriture irréductible et Gauss

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ClassiqueCalculer le reste de a^n dans la division par k

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ClassiqueDémontrer qu'un entier dépendant d'un paramètre est divisible par un petit entier

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PavlovCalculer le pgcd de deux entiers a et b

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ClassiqueFactoriser a^n ± 1 pour n composé

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TunnelRésoudre une équation de Bézout ax+by=c

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Exercices

1

\mathbb{Z}

Résoudre dans

\mathbb{Z}

les équations suivantes :

$x - 1 \mid x + 3$
$x + 2 \mid x^2 + 2$

Indication

Appliquer la Résoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs (factorisation-diviseurs) : réécrire chaque condition de divisibilité sous la forme

x - a \mid k

(constante), puis lister tous les diviseurs de

k

.

2

\mathbb{Z}^2

Résoudre dans

\mathbb{Z}^2

les équations suivantes :

$xy = 3x + 2y$
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}$
$x^2 - y^2 - 4x - 2y = 5$

Indication

Appliquer la Résoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs (factorisation-diviseurs) : pour chaque equation, regrouper les termes pour faire apparaitre un produit

(x - a)(y - b) = k

, lister tous les diviseurs (positifs et negatifs) de

k

, puis resoudre les systemes lineaires associes.

3

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1

Résoudre dans

(\mathbb{N}^*)^3

l'équation

\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1

.

Indication

Appliquer la Résoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs (factorisation-diviseurs) : supposer SPDG

x \leq y \leq z

, en deduire un encadrement de

x

(

3/x \geq 1

donc

x \leq 3

), puis pour chaque valeur de

x

lister les diviseurs de la constante resultante.

4

3/x \geq 1

Résoudre dans

\mathbb{Z}^2

l'équation

5x^2 + 2xy - 3 = 0

.

Indication

Appliquer la Résoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs (factorisation-diviseurs) : exprimer

y

en fonction de

x

depuis

5x^2 + 2xy = 3

, imposer

y \in \mathbb{Z}

pour obtenir une condition de divisibilite

2x \mid c

(constante), lister les diviseurs.

5

Centrale MP 2012

Résoudre dans

\mathbb{N}^2

l'équation

n(n+1)(n+2) = m^2

Indication

Appliquer la Résoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs (factorisation-diviseurs) : encadrer

n(n+1)(n+2)

entre les carres parfaits consecutifs

(n^{3/2})^2

et verifier que le produit de trois entiers consecutifs ne peut etre un carre en montrant l'absence de carres dans l'intervalle

((n-1)(n+2))^2

a

(n(n+1))^2

.

6

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}

On se propose de résoudre l'équation

(E) : \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c}

d'inconnue

(a, b, c) \in (\mathbb{N}^*)^3

.

Soit $(a, b, c) \in (\mathbb{N}^*)^3$ vérifiant $(E)$ . On suppose $a, b, c$ premiers entre eux dans leur ensemble. On pose $\alpha = a - c$ et $\beta = b - c$ . Montrer que $\alpha$ , $\beta$ , $c$ sont premiers entre eux dans leur ensemble puis que $\alpha$ et $\beta$ sont premiers entre eux. En déduire que $\alpha$ et $\beta$ sont des carrés d'entiers, puis qu'il existe $(u, v) \in (\mathbb{N}^*)^2$ tel que $a = (u+v)u$ , $b = (u+v)v$ et $c = uv$ .
Résoudre $(E)$ .

Indication

Appliquer conjointement la Résoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs (factorisation

(a-c)(b-c) = c^2

, listing des diviseurs) et la Réduction au cas copremier (reduction au cas copremier pour montrer que les facteurs sont des carres parfaits).

7

2^n+1=m^3

Résoudre l'équation

2^n + 1 = m^3

d'inconnue

(n, m) \in \mathbb{N}^2

.

Indication

Appliquer la Résoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs (factorisation-diviseurs) : ecrire

m^3 - 1 = (m-1)(m^2+m+1) = 2^n

et montrer que

m^2 + m + 1

est toujours impair, donc doit valoir

1

, ce qui est impossible pour

m \geq 2

.

8

n+1

Déterminer tous les entiers

n \in \mathbb{N}

tels que

n + 1

divise

n^2 + 1

.

Indication

Appliquer la Résoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs (factorisation-diviseurs) : ecrire

n^2 + 1 = (n-1)(n+1) + 2

, donc

(n+1) \mid n^2 + 1 \Leftrightarrow (n+1) \mid 2

; lister les diviseurs de

2

.

9

Mines-Ponts MP 2007

Parmi les entiers qui s'écrivent en base

10

sous la forme

(aabb)_{10}

, déterminer ceux qui sont des carrés d'entiers.

Indication

Appliquer la Résoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs (factorisation-diviseurs) : ecrire

(aabb)_{10} = 1100a + 11b = 11(100a + b)

; pour que ce soit un carre,

11 \mid 100a + b

, d'ou

a + b = 11

; substituer et chercher les valeurs de

a \in \{1, \ldots, 9\}

telles que

9a + 1

soit un carre parfait.

10

Nombres de Fibonacci

On considère la suite

(F_n)

définie par ses premiers termes

F_0 = 0

et

(F_n)

et par la relation de récurrence

F_{n+2} = F_n + F_{n+1}

pour

n \in \mathbb{N}

.

Montrer que pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ , $F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$ . En déduire que $F_n$ et $F_{n-1}$ sont premiers entre eux.
Montrer que pour tout couple $(n, p) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$ , $F_{n+p} = F_p F_{n+1} + F_{p-1} F_n$ . En déduire que $F_n \wedge F_p = F_{n+p} \wedge F_p$ .
Démontrer que pour tout $(m, n) \in \mathbb{N}^2$ , $F_m \wedge F_n = F_{m \wedge n}$ .

Indication

Appliquer la Transporter l'algorithme d'Euclide aux indices d'une suite (transport de l'algorithme d'Euclide aux indices) : etablir d'abord l'identite de Cassini

F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n

(coprimite de termes consecutifs), puis montrer

F_{n+p} = F_p F_{n+1} + F_{p-1} F_n

(additivite des indices) pour transporter Euclide.

11

Divisibilité par récurrence modulo

Montrer que pour tout

n \in \mathbb{N}

,

$17 \mid 7^{8n+1} + 10(-1)^n$
$11 \mid 9^{5n+2} - 4$
$6 \mid 10^{3n+2} - 4^{n+1}$

Indication

Appliquer la Calculer le reste de a^n dans la division par k : pour chaque sous-question, trouver l'ordre de la base modulo le diviseur, puis réduire l'exposant modulo cet ordre.

12

Équations diophantiennes

Résoudre dans

\mathbb{Z}^2

les équations suivantes :

$221x + 247y = 52$
$323x - 391y = 612$
$198x + 216y = 36$

Indication

Appliquer la Résoudre une équation de Bézout ax+by=c pour chaque équation : calculer le pgcd des coefficients, vérifier la condition de divisibilité, trouver une solution particulière par l'algorithme d'Euclide étendu, puis décrire toutes les solutions.