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Calcul intégral | The Maths Tailor

Calcul intégral

Cours Exercices

Cours

1Intégrale et aire

2Intégrale et primitive

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3Propriétés des intégrales

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4Intégration par parties

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5Applications du calcul intégral

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6Intégrale et aireCOMPLÉMENTAIRES

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7Intégrale et primitiveCOMPLÉMENTAIRES

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8Positivité et comparaisonCOMPLÉMENTAIRES

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9Aire délimitée par deux courbesCOMPLÉMENTAIRES

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10Valeur moyenne d'une fonctionCOMPLÉMENTAIRES

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Méthodes12p.1/2

PavlovIntégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a; b]$ (avec $a \leq b$ ), dans un repère orthogonal $(O, I, J)$ .

Si $f$ est positive sur $[a; b]$ , l'intégrale de $f$ sur $[a; b]$ , notée $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , est l'aire, exprimée en unités d'aire (u.a.), de la surface délimitée par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ .

Si $f$ est négative sur $[a; b]$ , cette aire vaut $- \int_{a}^{b} f (x) d x$ : l'intégrale est alors l'opposé de l'aire, c'est-à-dire une aire signée.

Si $f$ change de signe sur $[a; b]$ , on découpe l'intervalle en sous-intervalles où $f$ garde un signe constant (relation de Chasles) et on ajoute les aires signées de chaque partie.

Remarques :
- $a$ et $b$ sont les bornes d'intégration, $x$ est la variable d'intégration : elle est muette et peut être remplacée par toute autre lettre, $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t$ .
- Avant l'accès aux primitives, une intégrale peut être approchée numériquement par un encadrement à l'aide de rectangles : on partage $[a; b]$ en $n$ sous-intervalles de largeur $\frac{b - a}{n}$ et on encadre l'aire sous la courbe par la somme des rectangles inférieurs et la somme des rectangles supérieurs ; plus $n$ est grand, plus l'encadrement est précis.

TunnelRelation de Chasles et propriétés sur les bornes

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TunnelThéorème fondamental de l'analyse : primitive définie par une intégrale

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TunnelCalcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive

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ClassiqueCalculer une intégrale à l'aide d'une primitive usuelle

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TunnelLinéarité de l'intégrale

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TunnelPositivité et ordre de l'intégrale

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ClassiqueEncadrer une intégrale par comparaison de fonctions

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TunnelIntégration par parties

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ClassiqueBien choisir u et v dans une intégration par parties

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1 / 2

Exercices

Calcul géométrique d'une intégrale affine

Soit

f

la fonction affine définie sur

[0; 4]

par

f (x) = 2 x + 1

.
Calculer l'intégrale

I = \int_{0}^{4} (2 x + 1) d x

à l'aide d'un calcul d'aire géométrique, sans déterminer de primitive.

Intégrale d'une fonction affine par morceaux par décomposition

Soit

g

la fonction continue définie sur

[0; 5]

par :

g (x) = {3 - x + 5 si 0 ⩽ x ⩽ 2 si 2 < x ⩽ 5

Calculer l'intégrale

J = \int_{0}^{5} g (x) d x

par décomposition en figures géométriques simples.

Encadrement d'une intégrale par la méthode des rectangles

On considère la fonction

f

définie sur

[1; 3]

par

f (x) = \frac{1}{x}

.
On partage l'intervalle

[1; 3]

en

4

sous-intervalles de même amplitude.
a. Préciser le pas

ℓ

de la subdivision ainsi que les points

x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

.
b. Calculer la somme des aires des rectangles inférieurs et la somme des aires des rectangles supérieurs.
c. En déduire un encadrement de l'intégrale

I = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x

.

a. Préciser le pas $ℓ$ de la subdivision ainsi que les points $x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ .
b. Calculer la somme des aires des rectangles inférieurs et la somme des aires des rectangles supérieurs.
c. En déduire un encadrement de l'intégrale $I = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x$ .

Encadrement élémentaire d'une aire sur un quadrillage

Soit

f

une fonction continue et strictement positive sur l'intervalle

[1; 5]

.
On souhaite encadrer l'intégrale

I = \int_{1}^{5} f (x) d x

représentant l'aire située sous la courbe de

f

en unités d'aire (u.a.).
Dans un repère orthogonal où chaque carreau du quadrillage correspond à

1 u.a.

:
- la réunion des rectangles situés entièrement sous la courbe (de largeur 1 chacun) a une aire totale de

7 u.a.

;
- la réunion des rectangles contenant entièrement la région sous la courbe (de largeur 1 chacun) a une aire totale de

12 u.a.

.
1. Rappeler le lien entre l'intégrale

I

et l'aire du domaine situé sous la courbe de

f

.
2. En déduire un encadrement de l'intégrale

I

.
3. Donner la valeur approchée de

I

correspondant à la moyenne des bornes de cet encadrement.

1. Rappeler le lien entre l'intégrale $I$ et l'aire du domaine situé sous la courbe de $f$ .
2. En déduire un encadrement de l'intégrale $I$ .
3. Donner la valeur approchée de $I$ correspondant à la moyenne des bornes de cet encadrement.

Encadrement d'une intégrale par la méthode des rectangles

On considère la fonction

f

définie sur

[0; 2]

par

f (x) = \frac{4}{1 + x}

. On souhaite encadrer l'intégrale

I = \int_{0}^{2} f (x) d x

.
1. Démontrer que la fonction

f

est strictement décroissante sur

[0; 2]

.
2. On partage l'intervalle

[0; 2]

en deux sous-intervalles de même longueur :

[0; 1]

et

[1; 2]

.
a. Déterminer un encadrement de

f (x)

sur

[0; 1]

, puis sur

[1; 2]

.
b. En déduire la somme des aires des rectangles inférieurs et la somme des aires des rectangles supérieurs.
c. Établir l'encadrement de

I

qui en résulte.
3. Calculer la valeur exacte de

I

et vérifier la cohérence de l'encadrement obtenu.

1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0; 2]$ .
2. a. Déterminer un encadrement de $f (x)$ sur $[0; 1]$ , puis sur $[1; 2]$ .
2. b. En déduire la somme des aires des rectangles inférieurs et la somme des aires des rectangles supérieurs.
2. c. Établir l'encadrement de $I$ qui en résulte.
3. Calculer la valeur exacte de $I$ et vérifier la cohérence de l'encadrement obtenu.

Estimation d'une intégrale par lecture d'aire quadrillée

Dans un repère orthogonal du plan, l'unité graphique est de

1 cm

sur l'axe des abscisses et de

2 cm

sur l'axe des ordonnées. Une unité d'aire correspond ainsi à

2 cm^{2}

.

On considère une fonction

f

continue et positive sur

[0; 4]

. Le domaine délimité par la courbe représentative de

f

, l'axe des abscisses et les droites d'équations

x = 0

et

x = 4

recouvre exactement

7, 5

carreaux du quadrillage, chaque carreau mesurant

1 cm \times 1 cm

(soit

0, 5 u.a.

).

1. Déterminer la valeur de l'intégrale

I = \int_{0}^{4} f (x) d x

en unités d'aire.
2. En déduire la valeur de cette aire en

cm^{2}

.

1. Déterminer la valeur de l'intégrale $I = \int_{0}^{4} f (x) d x$ en unités d'aire.
2. En déduire la valeur de cette aire en $cm^{2}$ .

Interpréter une intégrale comme une aire sous une courbe

Dans un repère orthogonal, on considère la courbe représentative d'une fonction

f

continue et positive sur l'intervalle

[0; 5]

. Le domaine délimité par cette courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations

x = 0

et

x = 5

a une aire mesurée exactement à

14

unités d'aire.
a. Exprimer l'aire de ce domaine à l'aide d'une intégrale.
b. En déduire la valeur exacte de

\int_{0}^{5} f (x) d x

.

a. Exprimer l'aire de ce domaine à l'aide d'une intégrale.
b. En déduire la valeur exacte de $\int_{0}^{5} f (x) d x$ .