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Calcul littéral | The Maths Tailor

Calcul littéral

Cours Exercices

Cours

1Somme et produit

2Développement

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3Factorisation

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4Identités remarquables

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Méthodes10

PavlovRéduire et ordonner un polynôme

Après avoir développé une expression, il faut souvent la réduire (regrouper les termes de même degré) puis l'ordonner (du plus haut degré au plus bas, ou inversement).

Étape 1 : Repérer les termes de même nature (même puissance de la variable).

Étape 2 : Additionner les coefficients de ces termes.

Étape 3 : Écrire le résultat en ordonnant les termes, généralement du degré le plus élevé au plus faible.

Exemple : Réduire et ordonner $3 x^{2} - 5 + 2 x - x^{2} + 7 - 4 x$ .

$3 x^{2} - x^{2} = 2 x^{2}$

$2 x - 4 x = - 2 x$

$- 5 + 7 = 2$

Résultat ordonné : $2 x^{2} - 2 x + 2$

PavlovCalculer la valeur numérique d'une expression littérale

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ClassiqueDémontrer une propriété avec le calcul littéral

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ClassiqueTester une égalité algébrique et trouver un contre-exemple

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ClassiqueMettre un problème en équation avec le calcul littéral

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ClassiqueChoisir entre forme développée et forme factorisée

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TunnelDévelopper une expression avec la distributivité simple

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TunnelDévelopper un produit de deux sommes

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TunnelRésoudre une équation par factorisation (produit nul)

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TunnelFactoriser par identité remarquable sans facteur commun visible

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Exercices

Réduire une expression littérale

Réduire les expressions suivantes.

D = 3 x + 5 - x + 2

E = 7 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} - x + 1

Comparer les aires de deux terrains rectangulaires

Un terrain rectangulaire a pour longueur

(3 x + 5)

m et pour largeur

(x + 6)

m.
On modifie ses dimensions : la nouvelle longueur est

(3 x + 9)

m et la nouvelle largeur est

(x + 4)

m.
1. Exprimer et développer l'aire

A

du terrain initial et l'aire

B

du nouveau terrain.
2. Développer et réduire

A - B

, puis déterminer pour quelles valeurs de

x

l'aire initiale

A

est supérieure à l'aire modifiée

B

.

Réduire une expression à deux variables

Réduire les expressions suivantes.

D = 4 x + 3 y - 2 x + 5 y - 1

E = 2 x^{2} - 3 x y + x^{2} + 5 x y

Développer et réduire une expression avec une soustraction de parenthèse

Développer puis réduire

H = 2 (x + 3) - (x - 5) + 4

.

PROBLEME 1

1. Effectuer les calculs ci-dessous :
a.

12 3^{2} - 12 2^{2} - 12 1^{2} + 12 0^{2}

b.

4 5^{2} - 4 4^{2} - 4 3^{2} + 4 2^{2}

c.

8 7^{2} - 8 6^{2} - 8 5^{2} + 8 4^{2}

Quelle remarque peut-on faire concernant les résultats ?
2. Choisir quatre nombres consécutifs et effectuer les mêmes calculs qu'à la question 1.
3. À l'aide des questions précédentes, écrire une conjecture.
4. Expliquer pourquoi la conjecture peut s'écrire ainsi :

(n + 3)^{2} - (n + 2)^{2} - (n + 1)^{2} + n^{2} = 4

.
5. Prouver que cette égalité est vraie pour tout nombre

n

entier et conclure.

Circuit Niveau 1

Chaque domino ci-dessous porte deux expressions : à gauche une expression réduite, à droite une expression à développer. Reconstituer le circuit sur le principe des dominos : à droite de chaque domino, on place le domino dont la moitié gauche est égale à sa moitié droite. Le circuit est correct lorsqu'il se referme sur le premier domino.

Domino	Moitié gauche	Moitié droite
1	$9 x^{2} - 42 x + 20$	$9 x^{2} - 4 + (3 x - 2) (x - 3)$
2	$4 x^{2} + 8 x - 5$	$(3 x + 1)^{2} - 4$
3	$x^{2} - 9$	$(2 x + 2)^{2} - 9$
4	$4 x^{2} + 16 x - 4$	$(2 x - 3)^{2} - 3 (2 x - 3)$
5	$x^{2} - 4$	$(2 x + 4)^{2} - 20$
6	$4 x^{2} + 8 x - 21$	$(x + 2) (x - 3) + (x - 3)$
7	$15 x^{2} + 35 x - 100$	$(2 x + 7) (2 x - 3)$
8	$4 x^{2} - 18 x + 18$	$(3 x - 7)^{2} - 29$
9	$9 x^{2} + 6 x - 3$	$(x + 2) (3 x + 1) - (x + 2) (2 x + 3)$
10	$12 x^{2} - 11 x + 2$	$9 x^{2} - 25 + (3 x - 5) (2 x + 15)$

Indication