Combinatoire et dénombrement

Lorsque des ensembles finis $E_1,E_2,\dots ,E_p$ sont deux à deux disjoints (aucun élément commun), le principe additif donne $\mathrm{Card}(E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_p)=\mathrm{Card}(E_1)+\mathrm{Card}(E_2)+\cdots +\mathrm{Card}(E_p)$. Deux techniques s'en déduisent directement. D'abord le passage au complémentaire : si $A$ est une partie d'un ensemble fini $E$, alors $A$ et son complémentaire $\overline{A}$ sont disjoints et $A\cup \overline{A}=E$, donc $\mathrm{Card}(A)=\mathrm{Card}(E)-\mathrm{Card}(\overline{A})$, ce qui est souvent plus simple lorsque $\overline{A}$ est plus facile à dénombrer que $A$. Ensuite, lorsque deux ensembles $A$ et $B$ ne sont pas disjoints, on décompose $A\cup B$ en trois parties deux à deux disjointes $A\setminus B$, $A\cap B$ et $B\setminus A$ (un diagramme aide à visualiser ce découpage), puis on applique le principe additif à ces trois parties : $\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A\setminus B)+\mathrm{Card}(A\cap B)+\mathrm{Card}(B\setminus A)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B)$. Le principe additif lui-même est admis : il traduit qu'on ne compte jamais deux fois un même élément lorsque les ensembles réunis n'ont rien en commun.