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Comparaison de fonctions | The Maths Tailor

Comparaison de fonctions

Cours Exercices

Cours— 5 sections

1Notion de voisinage

1. Notion de voisinage

1.1. Définition

Définition —Voisinage

Soit

a \in \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}

. On appelle voisinage de

a

une partie de

\mathbb{R}

contenant un intervalle de la forme :

$]a - \varepsilon, a + \varepsilon[$ avec $\varepsilon > 0$ si $a \in \mathbb{R}$ ,
$[\mathrm{A}, +\infty[$ si $a = +\infty$ ,
$]-\infty, \mathrm{A}]$ si $a = -\infty$ .

Exemple

$x \mapsto \sqrt{1 - x^2}$ est définie au voisinage de 0 puisqu'elle est définie sur $]-1, 1[$ .
$x \mapsto x^2 + x^3$ est positive au voisinage de 0 puisqu'elle l'est sur $]-1, 1[$ .
$x \mapsto \ln x$ est positive au voisinage de $+\infty$ puisqu'elle l'est sur $]1, +\infty[$ .

2Négligeabilité

3Équivalence

4Lien avec les limites

5Domination

Cours

1Notion de voisinage

2Négligeabilité

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3Équivalence

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4Lien avec les limites

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5Domination

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Méthodes7

ClassiqueMéthode du changement de variable pour simplifier les équivalents

Quand

u_n \to \ell

, poser

\varepsilon_n = u_n - \ell

pour étudier la vitesse de convergence. Exemple : si

u_n \to 1

avec

u_n^n e^{-u_n} = 1

, poser

\varepsilon_n = u_n - 1

. L'équation devient

(1 + \varepsilon_n)^n e^{-(1+\varepsilon_n)} = 1

, soit

(1 + \varepsilon_n)^n = e^{1+\varepsilon_n} = e \cdot e^{\varepsilon_n}

. En passant au logarithme et utilisant

\ln(1+x) \sim x

:

n\varepsilon_n \sim 1 + \varepsilon_n

, donc

\varepsilon_n \sim \frac{1}{n-1}

.

TunnelMéthode des développements limités classiques

Méthode complète avec le plan Élève

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PavlovMéthode de comparaison des puissances dominantes

Méthode complète avec le plan Élève

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TunnelMéthode de comparaison série-intégrale

Méthode complète avec le plan Élève

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TunnelMéthode du théorème de Cesàro pour les sommes télescopiques

Méthode complète avec le plan Élève

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PavlovMéthode des équivalents usuels pour les fonctions élémentaires

Méthode complète avec le plan Élève

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ClassiqueDéveloppement asymptotique de suites définies implicitement

Méthode complète avec le plan Élève

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Exercices

1

e^x=x^n

Montrer que l'équation

e^x = x^n

admet deux racines strictement positives notées

u_n

et

e^x = x^n

(

u_n < v_n

) pour

n

assez grand.Montrer que

(u_n)_n

est convergente. Trouver sa limite

\ell

et montrer que

u_n - \ell \underset{(\infty)}{\sim} \frac{1}{n}

.

IndicationMasquer

Combiner les Développement asymptotique de suites définies implicitement et Méthode du changement de variable pour simplifier les équivalents : après avoir montré l'existence et la limite

\ell

de

(u_n)

par TVI et monotonie, poser

\varepsilon_n = u_n - \ell

et linéariser l'équation

e^{\varepsilon_n} = (\ell + \varepsilon_n)^n / \ell^n

en utilisant

\ln(1+u) \sim u

pour obtenir

n\varepsilon_n \to 1

.