Comparaison de fonctions

Quand $u_n\to \ell$, poser ${\epsilon }_n=u_n-\ell$ pour étudier la vitesse de convergence. Exemple : si $u_n\to 1$ avec $u_n^n{e}^{-u_n}=1$, poser ${\epsilon }_n=u_n-1$. L'équation devient $(1+{\epsilon }_n{)}^n{e}^{-(1+{\epsilon }_n)}=1$, soit $(1+{\epsilon }_n{)}^n=e^{1+{\epsilon }_n}=e\cdot e^{{\epsilon }_n}$. En passant au logarithme et utilisant $\ln (1+x)\sim x$ : $n{\epsilon }_n\sim 1+{\epsilon }_n$, donc ${\epsilon }_n\sim \frac{1}{n-1}$.