Soit a∈R=R∪{±∞}. On appelle voisinage de a une partie de R contenant un intervalle de la forme :
]a−ε,a+ε[ avec ε>0 si a∈R,
[A,+∞[ si a=+∞,
]−∞,A] si a=−∞.
Exemple
x↦1−x2 est définie au voisinage de 0 puisqu'elle est définie sur ]−1,1[.
x↦x2+x3 est positive au voisinage de 0 puisqu'elle l'est sur ]−1,1[.
x↦lnx est positive au voisinage de +∞ puisqu'elle l'est sur ]1,+∞[.
2Négligeabilité3Équivalence4Lien avec les limites5Domination
Méthode de comparaison des puissances dominantes
Pour trouver un équivalent de fractions rationnelles, identifier les termes de plus haut degré au numérateur et dénominateur. Si un=Q(n)P(n) où P et Q sont des polynômes ou expressions avec puissances, alors un∼bqnqapnp où apnp et bqnq sont les termes dominants. Exemple : un=lnn−2n2n3−n2+1∼−2n2n3=−2n car lnn négligeable devant n2.
Méthode du théorème de Cesàro pour les sommes télescopiquesMéthode des équivalents usuels pour les fonctions élémentairesDéveloppement asymptotique de suites définies implicitementMéthode de comparaison série-intégrale
Exercices lies— 10
1Exercice 1
Trouver un équivalent simple des suites (un) suivantes et donner leur limite :
(a) un=(n+3lnn)e−(n+1)
(b) un=n+1ln(n2+1)
(c) un=3n2−n+1n2+n+1
2Exercice 2
Trouver un équivalent simple des suites (un) suivantes :
(a) un=n−11−n+11
(b) un=n+1−n−1
(c) un=ln(n+1)−ln(n)
3Exercice 3
On pose Sn=∑k=1nk1.
(a) Justifier que n+11≤2(n+1−n)≤n1.
(b) Déterminer la limite de (Sn).
(c) On pose un=Sn−2n. Montrer que (un) converge.
(d) Donner un équivalent simple de (Sn).
4Exercice 4
On étudie la suite (Sn) de terme général Sn=∑k=1nk1.
(a) Établir que pour tout t>−1, ln(1+t)≤t et en déduire ln(1+t)≥t+1t.
(b) Observer que ln(n+1)≤Sn≤lnn+1 et en déduire un équivalent simple de Sn.
(c) Montrer que la suite un=Sn−lnn est convergente. Sa limite est appelée constante d'Euler et est usuellement notée γ.
5Exercice 5
Soit f:]0,+∞[→R la fonction définie par f(x)=lnx+x.
(a) Montrer que pour tout n∈N, il existe un unique xn tel que f(xn)=n.
(b) Former le développement asymptotique de la suite (xn) à la précision lnn/n.
6Exercice 6
(a) Pour tout n∈N, justifier que l'équation x+ex=n possède une unique solution xn∈R.
(b) Déterminer la limite de (xn) puis un équivalent de xn.
(c) Former un développement asymptotique à trois termes de xn quand n→+∞.
7Exercice 7
Soit (un)n définie par u0>0 et ∀n∈N,un+1=un+un21.Étudier la suite (un)n et donner un équivalent de son terme général.
8Exercice 8
Soit (un)n définie par u0∈]0,1[ et ∀n∈N,un+1=un−un2.Trouver un équivalent du terme général de la suite (un)n.
9Exercice 9
Montrer que l'équation ex=xn admet deux racines strictement positives notées un et vn (un<vn) pour n assez grand.Montrer que (un)n est convergente. Trouver sa limite ℓ et montrer que un−ℓ(∞)∼n1.
10Exercice 10
Montrer que, au voisinage de +∞, un=∫n2n31+t2dt∼n21.
Cours
1Notion de voisinage
2Négligeabilité
3Équivalence
4Lien avec les limites
5Domination
Méthodes5
Méthode de comparaison des puissances dominantes
Pour trouver un équivalent de fractions rationnelles, identifier les termes de plus haut degré au numérateur et dénominateur. Si un=Q(n)P(n) où P et Q sont des polynômes ou expressions avec puissances, alors un∼bqnqapnp où apnp et bqnq sont les termes dominants. Exemple : un=lnn−2n2n3−n2+1∼−2n2n3=−2n car lnn négligeable devant n2.
Méthode du théorème de Cesàro pour les sommes télescopiques
