Convexité

Définition

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $f^{\prime }$ est elle-même dérivable sur $I$, on note $f^{\prime \prime }$ la dérivée de $f^{\prime }$ : $f^{\prime \prime }(x)=(f^{\prime }(x){)}^{\prime }$.

Méthode

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ en appliquant les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composée).
2. Dériver à nouveau $f^{\prime }$ pour obtenir $f^{\prime \prime }(x)$.
3. Simplifier et, si besoin, factoriser $f^{\prime \prime }(x)$ pour pouvoir en étudier le signe.

*Exemple :* $f(x)=(2x+1)e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.

$f^{\prime }(x)=2e^{-x}+(2x+1)\times (-e^{-x})=(2-2x-1)e^{-x}=(1-2x)e^{-x}$

$f^{\prime \prime }(x)=-2e^{-x}+(1-2x)\times (-e^{-x})=(-2-1+2x)e^{-x}=(2x-3)e^{-x}$