Dérivation

Définition : Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ (avec $h\ne 0$) est le quotient :$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$Il représente le coefficient directeur de la droite reliant les points de la courbe d'abscisses $a$ et $a+h$.

Méthode

Étape 1 : Écrire le taux d'accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ en fonction de $h$.

Étape 2 : Simplifier l'expression obtenue (développer, factoriser, ou multiplier par une quantité conjuguée si une racine carrée apparaît) pour faire disparaître le $h$ au dénominateur.

Étape 3 : Calculer la limite de l'expression simplifiée lorsque $h$ tend vers $0$. Si cette limite existe et est finie, $f$ est dérivable en $a$ et le nombre dérivé est :$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

*Exemple :* $f(x)=x^2$, en $a=3$.$$\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h{)}^2-9}{h}=\frac{9+6h+h^2-9}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h$$Lorsque $h$ tend vers $0$, $6+h$ tend vers $6$, donc $f^{\prime }(3)=6$.