Pour les fonctions usuelles, on retient les dérivées suivantes, sur tout intervalle où elles sont définies :
f(x)=a (fonction constante, a∈R), f′(x)=0
f(x)=ax (a∈R), f′(x)=a
f(x)=xn (n≥1 entier), f′(x)=nxn−1
f(x)=x1, f′(x)=−x21
f(x)=xn1 (n≥1 entier), f′(x)=−xn+1n
f(x)=x sur ]0;+∞[, f′(x)=2x1
f(x)=ex, f′(x)=ex
f(x)=ekx (k∈R), f′(x)=kekx
f(x)=lnx sur ]0;+∞[, f′(x)=x1
f(x)=cosx, f′(x)=−sinx
f(x)=sinx, f′(x)=cosx
Ces formules constituent la boîte à outils de base de toute dérivation : toute fonction rencontrée en terminale se ramène, par somme, produit, quotient ou composition, à ces briques élémentaires.
TunnelDérivée d'une somme, d'un produit et d'un quotient
Dérivation d'une somme de termes polynomiaux et composés
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2x3−5x+e4x−1. 1. Justifier la dérivabilité de f sur R. 2. Calculer f′(x) pour tout réel x.
1. Justifier la dérivabilité de f sur R.
2. Calculer f′(x) pour tout réel x.
Dérivée d'un quotient comportant une exponentielle
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x2+1e2x. Déterminer l'expression de sa dérivée f′(x) et factoriser le numérateur par e2x.
Démonstration de la formule de dérivation de l'exponentielle d'une fonction
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. 1. Rappeler la formule de la dérivée de la fonction exponentielle usuelle v(X)=eX. 2. En utilisant le théorème de dérivation d'une fonction composée, établir rigoureusement que la fonction f=eu est dérivable sur I et que f′=u′eu.
1. Rappeler la formule de la dérivée de la fonction exponentielle usuelle v(X)=eX.
2. En utilisant le théorème de dérivation d'une fonction composée, établir rigoureusement que la fonction f=eu est dérivable sur I et que f′=u′eu.
Dérivation d'une exponentielle dont l'argument est une fonction homographique inverse
On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=e1−x2. 1. Exprimer f sous la forme v∘u en précisant les expressions des fonctions u et v. 2. Déterminer la fonction dérivée f′ sur ]0;+∞[.
1. Exprimer f sous la forme v∘u en précisant les expressions des fonctions u et v.
2. Déterminer la fonction dérivée f′ sur ]0;+∞[.
Démonstration de la dérivée de l'inverse à l'aide de la formule générale de composition
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, ne s'annulant pas sur I. En utilisant la formule générale de dérivation d'une fonction composée (v∘u)′=u′×(v′∘u), démontrer que la fonction u1 est dérivable sur I et que : (u1)′=−u2u′.
Domaine de dérivabilité et dérivation d'une racine carrée
On considère la fonction f définie par f(x)=6−2x. 1. Déterminer l'ensemble de définition de f, noté Df. 2. Déterminer l'ensemble sur lequel f est dérivable, puis calculer f′(x) sur cet ensemble.
1. Déterminer l'ensemble de définition de f, noté Df.
2. Déterminer l'ensemble sur lequel f est dérivable, puis calculer f′(x) sur cet ensemble.
