THE MATHS TAILOR
Soit a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b, noté a∣b, s'il existe un entier relatif k tel que b=ka : on dit aussi que b est un multiple de a, ou que a est un diviseur de b. D'après cette définition, 0 est divisible par tout entier relatif (car 0=k×a avec k=0), mais aucun entier non nul n'est divisible par 0.
On retient trois propriétés immédiates, pour a, b, c entiers relatifs avec b=0 :
- Symétrie du signe : b∣a⟺−b∣a⟺b∣−a.
- Transitivité : si a∣b et b∣c, alors a∣c.
- Combinaison linéaire : si c∣a et c∣b, alors c divise ma+nb pour tous entiers relatifs m et n.
Exemple : 56 est un multiple de −8 car 56=(−7)×(−8) ; l'ensemble des diviseurs de 6 est {−6,−3,−2,−1,1,2,3,6}.
Démonstration (transitivité et combinaison linéaire) : si a∣b et b∣c, il existe k,k′∈Z tels que b=ka et c=k′b, donc c=k′ka ; comme k′k∈Z, a∣c.
Si c∣a et c∣b, il existe k,k′∈Z tels que a=kc et b=k′c ; pour tous m,n∈Z, ma+nb=(mk+nk′)c, et mk+nk′∈Z, donc c∣(ma+nb).