On appelle identité une égalité entre deux expressions qui est valable quelles que soient les valeurs des variables entrant en jeu dans ces expressions.
Exemple
En trigonométrie, sin2x+cos2x=1 pour tout x∈R.
Les identités remarquables sont bien des identités :
Les expressions situées de part et d'autre du signe = sont appelés les membres de l'égalité.
Méthode—Montrer une identité
Pour montrer une identité, on part généralement du membre le plus « compliqué » pour arriver au plus « simple ». Une simple suite d'égalités suffit. On n'utilisera pas d'équivalences logiques (ce n'est pas incorrect mais maladroit).
On peut également montrer que la différence des deux membres est nulle.
2Inégalités3Équations et inéquations
Cours
1Égalités
2Inégalités
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3Équations et inéquations
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Méthodes20
ClassiqueDérivation de sommes géométriques
Pour calculer ∑k=1nkxk−1, partir de ∑k=0nxk=1−x1−xn+1 et dériver par rapport à x. Plus généralement, dériver plusieurs fois pour obtenir des sommes avec k2xk, k3xk, etc.
PavlovPropriétés algébriques sur racines, puissances et fractions
Montrer que l'équation x3−6x−6=0 a une unique solution réelle qu'on ne cherchera pas à expliciter.
IndicationMasquer
Appliquer la Méthode 00398 : étudier les variations de P(x)=x3−6x−6 via P′(x)=3x2−6; montrer que P′ s'annule en ±2 et que P est strictement croissante hors de [−2,2], puis utiliser le TVI pour l'existence.
Appliquer la Propriétés algébriques sur racines, puissances et fractions : pour A, calculer de l'intérieur vers l'extérieur en remarquant que chaque expression intermédiaire est un carré parfait; pour B, utiliser (n−1)(n+1)=n2−1 avec n=1234567890.
3Simplification avec radicaux
Simplifier les expressions suivantes :
A=3×102×12×10645×103
B=45×2022×1118
C=18×14×28
D=50×2852×23×73
E=15×10−2×1.2×10−124.5×10−3
F=3−22(2−2)4
G=5−5−11
H=3+1−3−1243+1+3−13
IndicationMasquer
Appliquer la Propriétés algébriques sur racines, puissances et fractions : décomposer chaque facteur en puissances de nombres premiers, puis simplifier en utilisant a2k=ak et a⋅b=ab; pour les expressions avec n imbriqués, commencer par simplifier de l'intérieur.
4Simplification de puissances
Simplifier et donner le résultat sous la forme d'un produit ou d'un quotient de puissances d'exposants positifs des nombres premiers 2, 3, 5, 7... K=(100×7)349×1052×32 L=28×2155460+5×853
IndicationMasquer
Appliquer la Propriétés algébriques sur racines, puissances et fractions : décomposer 49=72, 105=3⋅5⋅7, 32=25, 100=22⋅52 en facteurs premiers pour K; pour L, factoriser le numérateur et le dénominateur en mettant en évidence la plus petite puissance de 2.
5Équations avec racines carrées
Résoudre les équations suivantes.
a. 2x−3=x−2
b. x2−9=x−3
c. x2+2=1−x2
d. 3x+1=x−1
IndicationMasquer
Appliquer la Garder l'équivalence dans les équations à racines : pour chaque équation, déterminer le domaine de définition, élever au carré en vérifiant que les deux membres sont positifs, puis vérifier chaque solution candidate dans l'équation originale.
