Égalités et inégalités | The Maths Tailor

Égalités et inégalités

Cours Exercices

Cours

1Égalités

2Inégalités

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3Équations et inéquations

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Méthodes20p.1/2

ClassiqueDérivation de sommes géométriques

Pour calculer $\sum_{k = 1}^{n} k x^{k - 1}$ , partir de $\sum_{k = 0}^{n} x^{k} = \frac{1 - x ^{n + 1}}{1 - x}$ et dériver par rapport à $x$ . Plus généralement, dériver plusieurs fois pour obtenir des sommes avec $k^{2} x^{k}$ , $k^{3} x^{k}$ , etc.

PavlovPropriétés algébriques sur racines, puissances et fractions

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PavlovIdentités remarquables complètes

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TunnelLa quantité conjuguée

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TunnelRelation entre coefficients binomiaux consécutifs

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TunnelRelation de Pascal en combinatoire

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PavlovRéarrangement d'inégalité

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TunnelInégalités de moyennes

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ClassiquePartie entière et partie décimale

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TunnelDémontrer une inégalité du type f(x)≤g(x)

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1 / 2

Exercices

Unique racine réelle de x^{3} - 6 x - 6

Montrer que l'équation

x^{3} - 6 x - 6 = 0

a une unique solution réelle qu'on ne cherchera pas à expliciter.

Indication

Calcul sans calculatrice

Sans calculatrice, calculer :

A = 43 + 31 + 21 + 13 + 7 + 3 + 1

B = 123456789 0^{2} - 1234567889 \times 1234567891

C = \frac{9 - \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{25}{4}}{2 + \frac{5}{6} - \frac{5}{12}} \times \frac{3 - \frac{1}{2}}{\frac{2}{3} - 1}

D = \frac{( \frac{- 3}{2} ) ^{3} \times ( \frac{4}{9} ) ^{3}}{( \frac{10}{6} ) ^{- 3} \times ( \frac{14}{8} ) ^{3}}

E = 4 - 3 \times \frac{3 ^{3} - 7 \times 2 ^{2}}{7 ^{3} - 3 ^{5}} \times \frac{( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} ) ^{2}}{3 ^{4} + 3 ^{2}}

F = \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{1}{3} - \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{10} - \frac{1}{12}} + \frac{2}{3}

G = \frac{( - 0.12 ) ^{5} \times 1. 8 ^{- 5} \times 1 0 ^{6} \times 2000 0 ^{5}}{( - 1.6 ) ^{3} \times ( - 0.75 ) ^{- 3} \times ( - 25 ) ^{4} \times 3 ^{3} \times 1 5 ^{2}}

H = (\frac{2}{3})^{7} \times (\frac{9}{13})^{2} \times (\frac{13}{7})^{2} \times 6 3^{2} \times (\frac{4}{3})^{- 5}

Indication

Simplification avec radicaux

Simplifier les expressions suivantes :

A = \frac{45 \times 1 0 ^{3}}{3 \times 1 0 ^{2} \times 12 \times 1 0 ^{6}}

B = 45 \times \frac{22}{20} \times \frac{18}{11}

C = 18 \times 14 \times 28

D = \frac{5 ^{2} \times 23 \times 7 ^{3}}{50 \times 28}

E = \frac{24.5 \times 1 0 ^{- 3}}{15 \times 1 0 ^{- 2} \times 1.2 \times 1 0 ^{- 1}}

F = \frac{( 2 - 2 ) ^{4}}{3 - 2 2}

G = 5 - \frac{1}{5 - 1}

H = \frac{\frac{3 + 1}{4} + \frac{3}{3 - 1}}{3 + 1 - \frac{2}{3 - 1}}

Indication

Simplification de puissances

Simplifier et donner le résultat sous la forme d'un produit ou d'un quotient de puissances d'exposants positifs des nombres premiers 2, 3, 5, 7...

K = \frac{49 \times 10 5 ^{2} \times 32}{( 100 \times 7 ) ^{3}}

L = \frac{4 ^{60} + 5 \times 8 ^{53}}{28 \times 2 ^{155}}

Indication