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Égalités et inégalités | The Maths Tailor

Égalités et inégalités

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Cours— 3 sections

1Égalités

1. Égalités

1.1. Identités

Définition —Identité

On appelle identité une égalité entre deux expressions qui est valable quelles que soient les valeurs des variables entrant en jeu dans ces expressions.

Exemple

En trigonométrie,

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

pour tout

x \in \mathbb{R}

.

Les identités remarquables sont bien des identités :

\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2, \quad \begin{cases} (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\\\ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\\\ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \end{cases}

Remarque

Les expressions situées de part et d'autre du signe

=

sont appelés les membres de l'égalité.

Méthode —Montrer une identité

Pour montrer une identité, on part généralement du membre le plus « compliqué » pour arriver au plus « simple ». Une simple suite d'égalités suffit. On n'utilisera pas d'équivalences logiques (ce n'est pas incorrect mais maladroit).

On peut également montrer que la différence des deux membres est nulle.

2Inégalités

3Équations et inéquations

MCObtenir des inégalités

L'égalité et l'inégalité des accroissements finis permettent souvent d'obtenir des inégalités. Par exemple, si on applique l'égalité des accroissements finis entre

a

b

, on peut souvent contrôler la différence

f(a)-f(b)

si on connait des informations sur la dérivée

f'

sur

[a,b]

TunnelDémontrer une inégalité du type f(x)≤g(x)

Réarrangement d'inégalité

Inégalités de moyennes

Résolution d'inéquations avec valeur absolue

Dérivation de sommes géométriques

Propriétés algébriques sur racines, puissances et fractions

Identités remarquables complètes

Garder l'équivalence dans les inéquations à fractions

Résoudre les équations avec fractions : multiplier par le PPCM

1 / 2

Exercices lies— 39

1Exercice 1

(a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , justifier que l'équation $x + e^x = n$ possède une unique solution $x_n \in \mathbb{R}$ .
(b) Déterminer la limite de $(x_n)$ puis un équivalent de $x_n$ .
(c) Former un développement asymptotique à trois termes de $x_n$ quand $n \to +\infty$ .

2Exercice 2

Soient

n \in \mathbb{N}^*

et l'équation

(E_n) : x^n + x - 1 = 0

(a) Montrer qu'il existe une unique solution positive de $(E_n)$ notée $x_n$ et que $\lim_{n \to +\infty} x_n = 1$ .
(b) On pose $y_n = 1 - x_n$ . Montrer que, pour $n$ assez grand, $\dfrac{\ln n}{2n} \leq y_n \leq \dfrac{2\ln n}{n}$ .
(c) Montrer que $\ln(y_n) \sim -\ln n$ puis que $x_n = 1 - \dfrac{\ln n}{n} + o\left(\dfrac{\ln n}{n}\right)$ .

3Exercice 3

Montrer que l'équation

x^n + x^2 - 1 = 0

admet une unique racine réelle strictement positive pour

n \geq 1

. On la note

x_n

. Déterminer la limite

\ell

de la suite

(x_n)

puis un équivalent de

x_n - \ell

4Exercice 4

Pour tout entier

n \geq 2

, on considère l'équation

(E_n) : x^n = x + 1

dont l'inconnue est

x \geq 0

(a) Montrer l'existence et l'unicité de $x_n$ solution de $(E_n)$ .
(b) Montrer que $(x_n)$ tend vers $1$ .
(c) Montrer que $(x_n)$ admet un développement limité à tout ordre. Donner les trois premiers termes de ce développement limité.

5Exercice 5

Pour

n \geq 2

, on considère le polynôme

P_n = X^n - nX + 1

(a) Montrer que $P_n$ admet exactement une racine réelle entre $0$ et $1$ , notée $x_n$ .
(b) Déterminer la limite de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$ .
(c) Donner un équivalent de $(x_n)$ puis le deuxième terme du développement asymptotique de $x_n$ .

6Exercice 6

(a) Soit $n \in \mathbb{N}$ . Montrer que l'équation $x^n + \ln x = 0$ possède une unique solution $x_n > 0$ .
(b) Déterminer la limite de $x_n$ .
(c) On pose $u_n = 1 - x_n$ . Justifier que $nu_n \sim -\ln u_n$ puis déterminer un équivalent de $u_n$ .

7Exercice 7

Soit

f(x) = (\cos x)^{1/x}

(\mathcal{C})

le graphe de

f

(a) Montrer l'existence d'une suite $(x_n)$ vérifiant : $(x_n)$ est croissante positive et la tangente à $(\mathcal{C})$ en $(x_n, f(x_n))$ passe par $O$ .
(b) Déterminer un développement asymptotique à $2$ termes de $(x_n)$ .

8Exercice 8

Soit

a, b, c \in \mathbb{R}

. Montrer qu'il existe

x \in ]0, 1[

tel que

4ax^3 + 3bx^2 + 2cx = a + b + c.

9Exercice 9

Soit

f : [a, b] \to \mathbb{R}

dérivable et vérifiant

f'(a) > 0

f'(b) < 0

.
Montrer que la dérivée de

f

s'annule.

10Exercice 10

Soit

f

une fonction de classe

\mathcal{C}^2

sur

[a, a+2h]

(avec

a \in \mathbb{R}

h > 0

).
Montrer

\exists c \in ]a, a+2h[, \quad f(a+2h) - 2f(a+h) + f(a) = h^2 f''(c).

(Indice : introduire

\varphi(x) = f(x+h) - f(x)

11Exercice 11

Résoudre les inéquations suivantes d'inconnue

x \in \mathbb{R}

:

(a)

e^{2x-1} < e^{x^2}

,

(b)

\ln(1-2x)+\ln(x+2) \geq \ln(2x^2 + x +3)

12Exercice 12

Montrer que, pour tous

x, y \in \mathbb{R}

2xy \leq x^2 + y^2

.

On utilisera ce résultat dans les questions suivantes.

13Exercice 13

Montrer que, pour tout

x \in \mathbb{R}^{+*}

x + \frac{1}{x} \geq 2

14Exercice 14

Montrer que l'équation

x^3 - 6x - 6 = 0

a une unique solution réelle qu'on ne cherchera pas à expliciter.

15Exercice 15

Simplifier les expressions suivantes :

A = \frac{\sqrt{45 \times 10^3}}{\sqrt{3 \times 10^2 \times \sqrt{12 \times 10^6}}}

B = \sqrt{45} \times \sqrt{\frac{22}{20}} \times \sqrt{\frac{18}{11}}

C = \sqrt{18 \times 14 \times 28}

D = \frac{\sqrt{5^2 \times \sqrt{23 \times 7^3}}}{\sqrt{50 \times \sqrt{28}}}

E = \frac{\sqrt{24.5 \times 10^{-3}}}{\sqrt{15 \times 10^{-2} \times \sqrt{1.2 \times 10^{-1}}}}

F = \frac{(2-\sqrt{2})^4}{3-2\sqrt{2}}

G = \sqrt{5 - \frac{1}{\sqrt{5-1}}}

H = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4} + \frac{3}{\sqrt{3}-1}}{\sqrt{3}+1-\frac{2}{\sqrt{3}-1}}

16Exercice 16

Développer et simplifier les expressions suivantes :

A = (7\sqrt{2} - 5\sqrt{3})(5\sqrt{3} + 7\sqrt{2})

B = (9\sqrt{17} + 3)(5\sqrt{17} + 8)

C = (-\sqrt{32} - 5\sqrt{75})^2

D = (\sqrt{28} - 2\sqrt{7} + 3\sqrt{20})(\sqrt{7} + \sqrt{5})

17Exercice 17

Soit

B = \sqrt{1 + \frac{3}{5}} \times \sqrt{1 - \frac{3}{5}}

. B est-il un nombre rationnel ?

18Exercice 18

Soit

D = \frac{\frac{2+\sqrt{3}}{4}+\frac{2-\sqrt{3}}{4}}{\frac{1-\sqrt{3}}{3}+\frac{1+\sqrt{3}}{3}}\times\frac{4-\sqrt{3}}{2}\times\frac{4+\sqrt{3}}{2}\times\frac{7-\sqrt{3}}{2}\times\frac{7+\sqrt{3}}{2}

. D est-il un nombre rationnel ?

19Exercice 19

Simplifier et donner le résultat sous la forme d'un produit ou d'un quotient de puissances d'exposants positifs des nombres premiers 2, 3, 5, 7...

A = \frac{(-2^3) \times 24^3}{27^2 \times (-16^4)}

B = \frac{(3^{-2} \times 10^2)^3 \times 75^{-3}}{4000^{-1} \times 16}

C = \frac{5^{3000}}{(5^{300})^3 \times 25^{295}}

D = \sqrt{\frac{8^{10} + 4^{10}}{8^4 + 4^{11}}}

E = \frac{(9^{n+1} + 9^n)^3}{(3^{2n+1} - 3^{2n})^3}

20Exercice 20

Sans calculatrice, calculer :

A = \sqrt{43 + \sqrt{31 + \sqrt{21 + \sqrt{13 + \sqrt{7 + \sqrt{3 + \sqrt{1}}}}}}}

B = 1234567890^2 - 1234567889 \times 1234567891

C = \frac{9 - \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{25}{4}}{2 + \frac{5}{6} - \frac{5}{12}} \times \frac{3 - \frac{1}{2}}{\frac{2}{3} - 1}

D = \frac{(\frac{-3}{2})^3 \times (\frac{4}{9})^3}{(\frac{10}{6})^{-3} \times (\frac{14}{8})^3}

E = 4 - 3 \times \frac{3^3 - 7 \times 2^2}{\sqrt{7^3 - 3^5}} \times \frac{(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4})^2}{\sqrt{3^4 + 3^2}}

F = \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{1}{3} - \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{10} - \frac{1}{12}} + \frac{2}{3}

G = \frac{(-0.12)^5 \times 1.8^{-5} \times 10^6 \times 20000^5}{(-1.6)^3 \times (-0.75)^{-3} \times (-25)^4 \times 3^3 \times 15^2}

H = (\frac{2}{3})^7 \times (\frac{9}{13})^2 \times (\frac{13}{7})^2 \times 63^2 \times (\frac{4}{3})^{-5}

21Exercice 21

Mettre $\sqrt{111111111111 - 222222}$ sous forme d'un entier.

22Exercice 22

Simplifier et donner le résultat sous la forme d'un produit ou d'un quotient de puissances d'exposants positifs des nombres premiers 2, 3, 5, 7... $K = \frac{49 \times 105^2 \times 32}{(100 \times 7)^3}$ $L = \sqrt{\frac{4^{60} + 5 \times 8^{53}}{28 \times 2^{155}}}$

23Exercice 23

Soit $H = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} + \frac{3}{\sqrt{5}-3} - \frac{13}{\sqrt{5}-1}$. H est-il un rationnel ?

24Exercice 24

Simplifier $\sqrt{\frac{4^7 + 4^3}{2^{11} + 2^3}}$.

25Exercice 25

Factoriser $a + b - 2\sqrt{ab}$ quand $a$ et $b$ sont tous les deux négatifs.

26Exercice 26

On pose $a = \sqrt{3} + \sqrt{5}$ et $b = \sqrt{3} - \sqrt{5}$. Calculer $a^2$, $b^2$ et $ab$. En déduire $(a + b)^2$ puis la valeur exacte de $a + b$.

27Exercice 27

Soit $I = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$. Calculer $I^2$ puis en déduire une écriture plus simple de $I$.

28Exercice 28

Sans calculer les facteurs, prouver que $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1$.

29Exercice 29

Dans chacun des cas, déterminer la valeur de $n$ telle que : a) $\left(\frac{4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5}{3^5 + 3^5 + 3^5}\right)\left(\frac{6^5 + 6^5 + 6^5 + 6^5 + 6^5 + 6^5}{2^5 + 2^5}\right) = 2^n$ b) $3^{2001} + 3^{2002} + 3^{2003} = n \cdot 3^{2001}$ c) $(10^{2002} + 25)^2 - (10^{2002} - 25)^2 = 10^n$

30Exercice 30

(1) Développer $(3 - 2\sqrt{3})^2$. (2) En déduire une écriture simplifiée de $\sqrt{21 - 12\sqrt{3}}$.

31Exercice 31

Soit $n \in \mathbb{N}$. Résoudre dans $\mathbb{R} \setminus \{n\}$, l'inéquation $\frac{1}{x-n} \geqslant x-n$.

33Exercice 33

Résoudre : (1) $\frac{3}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} = \frac{5}{x+1} + \frac{2x}{x^2-1}$

39Exercice 39

Montrer que $\sqrt{30 + 10\sqrt{5}} + \sqrt{30 - 10\sqrt{5}}$ est un nombre entier.

43Exercice 43

Soit $x, y$ des réels tels que $x + y = 1$. Montrer que $x^2 + y^2 \geq \frac{1}{2}$.

44Exercice 44

Soit $x, y$ des réels strictement positifs. 1. $\frac{1}{x^2 + y^2} \leq \frac{1}{2xy}$ ; 2. $\frac{x + y}{x^2 + y^2} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)$

45Exercice 45

Soit $x, y$ des réels strictement positifs. Montrer que $\frac{2xy}{x + y} \leq \sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2}$

46Exercice 46

$(x + \frac{1}{x})^2 = 7$. Que vaut $x^3 + \frac{1}{x^3}$ ?

48Exercice 48

Soit a, b, c trois réels strictement positifs. 1. Montrer que $\frac{ab}{a+b} \leq \frac{a+b}{4}$. Dans quel cas a-t-on égalité ? 2. Montrer que $\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \leq \frac{a+b+c}{2}$.

51Exercice 51

Soient $a,b,c \in \mathbb{R}^+$. (a) Montrer que : $2\sqrt{ab} \leq a + b$. (b) En déduire que : $8abc \leq (a+b)(b+c)(c+a)$. (c) Montrer que : $\sqrt{a+b-c}\sqrt{a-b+c} \leq a$. (d) En déduire que : $8(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq (a+b)(b+c)(c+a)$.

Cours

1Égalités

2Inégalités

3Équations et inéquations

Méthodes17p.1/2

MCObtenir des inégalités

L'égalité et l'inégalité des accroissements finis permettent souvent d'obtenir des inégalités. Par exemple, si on applique l'égalité des accroissements finis entre

a

b

, on peut souvent contrôler la différence

f(a)-f(b)

si on connait des informations sur la dérivée

f'

sur

[a,b]

TunnelDémontrer une inégalité du type f(x)≤g(x)