THE MATHS TAILOR
Soit a, b, c des réels avec a=0, et soit Δ=b2−4ac le discriminant du trinôme az2+bz+c. Pour l'équation az2+bz+c=0 d'inconnue z∈C :
- Si Δ>0 : deux solutions réelles distinctes z1=2a−b+Δ et z2=2a−b−Δ.
- Si Δ=0 : une unique solution réelle (racine double) z0=−2ab.
- Si Δ<0 : deux solutions complexes conjuguées z1=2a−b+i−Δ et z2=2a−b−i−Δ.
Démontrons les trois cas à partir d'une même mise sous forme canonique du trinôme.
Étape 1. Forme canonique.
Pour tout z∈C, puisque a=0 :az2+bz+c=a(z2+abz)+c=a((z+2ab)2−4a2b2)+c=a(z+2ab)2−4aΔ.Ainsi az2+bz+c=0 équivaut, après division par a=0, à(z+2ab)2=4a2Δ.Toute la suite consiste à écrire le membre de droite comme un carré, dans R ou dans C.
Étape 2. Cas Δ>0.
Le réel 4a2Δ est strictement positif, égal à (2aΔ)2. L'égalité X2=Y2 équivaut à (X−Y)(X+Y)=0, donc(z+2ab−2aΔ)(z+2ab+2aΔ)=0,ce qui donne les deux solutions réelles distinctes annoncées.
Étape 3. Cas Δ=0.
L'équation devient (z+2ab)2=0, donc z=−2ab est l'unique solution, dite racine double.
Étape 4. Cas Δ<0.
Le réel 4a2Δ est strictement négatif. On l'écrit comme un carré dans C grâce à i2=−1 :4a2Δ=−4a2−Δ=i2(2a−Δ)2=(i2a−Δ)2(−Δ>0 donc −Δ existe).On retrouve une différence de deux carrés, cette fois dans C :(z+2ab−i2a−Δ)(z+2ab+i2a−Δ)=0,d'où z1=2a−b+i−Δ et z2=2a−b−i−Δ, complexes conjugués puisque a,b sont réels.
Dans les trois cas, le mécanisme est identique : la forme canonique ramène l'équation à X2=Y2, et seule la nature du carré Y2 (réel positif, nul, ou carré d'un imaginaire pur) change la forme des solutions.