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Fonction exponentielle | The Maths Tailor

Fonction exponentielle

Cours Exercices

Cours

1Introduction de la fonction exponentielle

2Le nombre e

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3Étude de la fonction exponentielle

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4Fonctions de la forme t ↦ e^(kt)

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5Exponentielle et suite géométrique

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Méthodes12p.1/2

PavlovConnaître la définition et les propriétés fondamentales de l'exponentielle

Définition (admise) : Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $R$ telle que $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ . Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note $exp$ , ou $x \mapsto e^{x}$ .

Conséquences immédiates

- $exp (0) = e^{0} = 1$ .
- La fonction exponentielle est strictement positive sur $R$ : pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ .
- Comme $(e^{x})^{'} = e^{x} > 0$ , la fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$ .

Méthode

1. Retenir la double condition qui caractérise $exp$ : elle est égale à sa propre dérivée et elle vaut $1$ en $0$ . C'est cette caractérisation, et non une formule explicite, qui fonde toutes les propriétés qui suivent.
2. Pour vérifier qu'une fonction proposée n'est pas l'exponentielle, il suffit de mettre en défaut l'une des deux conditions.
3. Utiliser la stricte positivité de $e^{x}$ pour lever une valeur absolue, diviser sans condition de signe, ou déterminer le signe d'une expression qui contient un facteur $e^{x}$ .

*Exemple :* La fonction $g (t) = 3 e^{2 t}$ vérifie $g^{'} = 2 g \neq = g$ : ce n'est pas la fonction exponentielle. En revanche $g (0) = 3 \neq = 1$ suffit déjà à l'écarter, sans même calculer $g^{'}$ .

Pourquoi ça marche

Démonstration : la fonction exponentielle ne s'annule jamais et reste strictement positive sur $R$ .

Étape 1 : la fonction $exp$ ne s'annule pas.

Posons, pour tout réel $x$ , $φ (x) = exp (x) exp (- x)$ . En dérivant ce produit et en utilisant $exp^{'} = exp$ : $φ^{'} (x) = exp (x) exp (- x) + exp (x) \times (- 1) exp (- x) = exp (x) exp (- x) - exp (x) exp (- x) = 0$ Donc $φ$ est constante sur $R$ , égale à sa valeur en $0$ : $φ (0) = exp (0) exp (0) = 1 \times 1 = 1$ Ainsi, pour tout réel $x$ , $exp (x) exp (- x) = 1$ . En particulier $exp (x) \neq = 0$ , sinon ce produit serait nul.

Étape 2 : la positivité. Pour tout réel $x$ , on écrit $x = \frac{x}{2} + \frac{x}{2}$ , donc par la relation fonctionnelle $e^{x} = e^{\frac{x}{2} + \frac{x}{2}} = (e^{x /2})^{2} \geq 0$ . Comme de plus $e^{x} \neq = 0$ (étape 1), on conclut que $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ .

TunnelSimplifier une écriture avec les propriétés algébriques de l'exponentielle

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ClassiqueRésoudre une équation exponentielle en comparant les exposants

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ClassiqueRésoudre une inéquation exponentielle en comparant les exposants

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TunnelCalculer la dérivée d'une fonction construite à partir de l'exponentielle

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TunnelDéterminer le signe d'une expression contenant une exponentielle

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ClassiqueÉtudier une fonction construite à partir de l'exponentielle

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TunnelDériver une fonction exponentielle de la forme e puissance kt

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TunnelDéterminer les variations d'une fonction e puissance kt selon le signe de k

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PavlovModéliser une évolution proportionnelle à la quantité par une exponentielle

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1 / 2

Exercices

Résoudre une équation exponentielle à second membre numérique

On donne ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction exponentielle, arrondies au centième :

x e^{x} - 1 0, 37 01 0, 5 1, 65 1 2, 72 1, 5 4, 48 2 7, 39

1. L'équation

e^{x} = - 3

admet-elle une solution dans

R

? Justifier.
2. À l'aide du tableau, donner un encadrement d'amplitude

0, 5

d'une solution de l'équation

e^{x} = 5

.
3. Résoudre exactement dans

R

l'équation

e^{x} = 1

.

Résoudre une équation exponentielle par changement de variable

Résoudre dans

R

les équations suivantes, en posant

X = e^{x}

:

1.

e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0

2.

e^{2 x} - 3 e^{x} - 4 = 0

Pour les solutions qui ne peuvent pas s'exprimer exactement, on donnera une valeur approchée à

0, 01

près à l'aide de la calculatrice.

Vrai ou faux : propriétés d'une fonction exponentielle

On considère la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = e^{- 3 x + 6}

. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant brièvement :

1.

f

est strictement croissante sur

R

.
2.

f (2) = 1

.
3.

f^{'} (x) = - 3 e^{- 3 x + 6}

pour tout réel

x

.
4. La suite

(f (n))_{n \in N}

est une suite géométrique de raison

e^{- 3}

.
5. L'équation

f (x) = 0

admet une unique solution dans

R

.

Résoudre une équation exponentielle par changement de variable

Résoudre dans

R

les équations suivantes, en posant

X = e^{x}

:

1.

e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0

2.

e^{2 x} + e^{x} - 6 = 0

Pour les solutions qui ne peuvent pas s'exprimer exactement, on donnera une valeur approchée à

0, 01

près à l'aide de la calculatrice.

Résoudre une équation exponentielle à l'aide d'un tableau de valeurs

On donne ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction exponentielle, arrondies au centième :

x e^{x} - 1 0, 37 01 1 2, 72 2 7, 39 3 20, 09 4 54, 60

1. L'équation

e^{x} = - 5

admet-elle une solution dans

R

? Justifier.
2. À l'aide du tableau, donner un encadrement d'amplitude

1

d'une solution de l'équation

e^{x} = 40

.
3. Résoudre exactement dans

R

l'équation

e^{x} = e^{- 1}

.

Associer une fonction exponentielle à ses propriétés

On considère les trois fonctions définies sur

R

par

f_{1} (x) = e^{2 x - 1} f_{2} (x) = e^{- x + 3} f_{3} (x) = e^{\frac{x}{2} + 2}

Sans tracer aucune courbe, répondre pour chacune des trois fonctions, en justifiant :

1. Quel est son sens de variation sur

R

?
2. Quelle est sa valeur en

x = 0

(valeur exacte puis arrondie au centième, avec

e \approx 2, 71828

) ?