Fonction logarithme népérien

Étape 1 : existence d'une solution à $e^x=a$.

Soit $a>0$. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$. Par le théorème des valeurs intermédiaires (version stricte), pour tout $a\in ]0;+\infty [$, il existe au moins un réel $x$ tel que $e^x=a$.

Étape 2 : unicité.

La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle est injective : si $e^{x_1}=e^{x_2}$ alors $x_1=x_2$. La solution de $e^x=a$ trouvée à l'étape 1 est donc unique. On peut ainsi poser $\ln (a)$ ce réel unique, ce qui définit une fonction $\ln :]0;+\infty [\to \mathbb{R}$.

Étape 3 : caractère réciproque et valeurs particulières.

Par construction, pour tout $x>0$ et tout $y\in \mathbb{R}$ :$$y=\ln (x)⟺x=e^y.$$En composant, $\ln (e^x)=x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ et $e^{\ln (x)}=x$ pour tout $x>0$. De $e^0=1$ on tire $\ln (1)=0$ ; de $e^1=e$ on tire $\ln (e)=1$ ; de $e^{-1}=\frac{1}{e}$ on tire $\ln \left(\frac{1}{e}\right)=-1$.

Étape 4 : stricte croissance de $\ln$.

Soient $0<x_1<x_2$. Supposons par l'absurde $\ln (x_1)\ge \ln (x_2)$. Comme $\exp$ est strictement croissante, cela donnerait $e^{\ln (x_1)}\ge e^{\ln (x_2)}$, soit $x_1\ge x_2$, contradiction. Donc $\ln (x_1)<\ln (x_2)$ : la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$. Deux fonctions réciproques ayant des courbes symétriques par échange des axes, celles de $\ln$ et $\exp$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.