Fonctions affines

Objectif : Identifier si une fonction donnée est affine, et déterminer ses coefficients $a$ et $b$.

Définition

Une fonction affine $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux réels fixés. Lorsque $b=0$, la fonction $f(x)=ax$ est dite linéaire.

Méthode

1. Développer et réduire l'expression de $f(x)$ si nécessaire, pour la ramener à la forme $ax+b$.
2. Identifier $a$ (coefficient de $x$) et $b$ (terme constant).
3. Si $b=0$, la fonction est linéaire (cas particulier de fonction affine).

*Exemple 1 :* $f(x)=3x+2$ est affine, avec $a=3$ et $b=2$.

*Exemple 2 :* $g(x)=7-6x$. On réécrit : $g(x)=-6x+7$, donc $g$ est affine avec $a=-6$ et $b=7$.

*Exemple 3 :* $h(x)=-x$ est affine avec $a=-1$ et $b=0$ : c'est donc une fonction linéaire.

Point de vigilance : une expression comme $f(x)=x^2+3$ ou $f(x)=\frac{1}{x}$ n'est pas affine : la variable $x$ ne doit apparaître qu'au premier degré, sans produit $x\times x$ ni au dénominateur.