Fonctions exponentielles

Définition. Pour un réel $a>0$, la fonction exponentielle de base $a$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$x\mapsto a^x$$

Propriété immédiate. Cette fonction est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : pour tout réel $x$, $a^x>0$.

Valeurs particulières.
- $a^0=1$
- $a^1=a$

Extension aux exposants négatifs. Pour tout réel $x$ :$$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$$C'est cette relation qui permet d'étendre aux réels négatifs la définition de $a^x$ connue pour les réels positifs (prolongement de la suite géométrique $(a^n)$).

Méthode pour calculer une valeur.
1. Identifier la base $a$ et l'exposant $x$.
2. Si $x$ est un entier positif, calculer $a^x$ par multiplications répétées ou à la calculatrice.
3. Si $x$ est négatif, utiliser $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$.
4. Si $x$ n'est pas entier, utiliser directement la touche puissance de la calculatrice.

*Exemple :* pour $a=1,2$, $f(x)=1,2^x$ ; on a $f(0)=1$, $f(1)=1,2$ et $f(-2)=\frac{1}{1,2^2}=\frac{1}{1,44}$.