Fonctions trigonométriques

Déterminer les valeurs exactes de $\cos (x)$ et de $\sin (x)$ pour chacune des valeurs suivantes de $x$ :

1. $x=\frac{2\pi }{3}$
2. $x=-\frac{\pi }{4}$
3. $x=\frac{5\pi }{6}$

Soit $x$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $\left[\frac{\pi }{2};\pi \right]$ tel que $\cos (x)=-\frac{3}{5}$.

Calculer la valeur exacte de $\sin (x)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=2x-\sin (x)$$1. Démontrer que la fonction $f$ est impaire.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et justifier que pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)⩾1$. En déduire le sens de variation strict de $f$ sur $\mathbb{R}$.
3. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$ par encadrement ou comparaison.
4. Démontrer que pour tout réel $k$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution réelle.
5. Préciser la valeur de cette solution lorsque $k=0$.

À l'aide du cercle trigonométrique, déterminer le signe de $\sin (x)$ sur l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$, puis résoudre dans cet intervalle l'équation $\sin (x)=0$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;\pi ]$ par $f(x)=\sin (x)+\cos (x)$. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime }$ et trouver l'abscisse de l'unique point de la courbe de $f$ où la tangente est horizontale.

Dans un bassin portuaire, le niveau d'eau $y(t)$ en mètres est modélisé au cours d'une marée pour $t\in [0;12]$ (en heures) par la fonction $y(t)=4\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+6$. Un bateau de fort tirant d'eau ne peut franchir le chenal que si le niveau d'eau est supérieur ou égal à $8\text{ m}$.

1. Déterminer la période et les valeurs maximale et minimale du niveau d'eau.
2. Résoudre sur l'intervalle $[0;12]$ l'inéquation $y(t)⩾8$.
3. En déduire la durée totale pendant laquelle le chenal est accessible au bateau au cours de ce cycle de $12\text{ heures}$.