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Géométrie repérée | The Maths Tailor

Géométrie repérée

Cours Exercices

Cours

1Rappels

2Vecteur normal à une droite

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3Équations de cercle

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Méthodes11p.1/2

PavlovLire un vecteur directeur et un vecteur normal sur une équation cartésienne

Lecture d'un vecteur directeur et d'un vecteur normal sur une équation cartésienne

Soit une droite $d$ d'équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ (avec $(a; b) \neq = (0; 0)$ ).

- Un vecteur directeur de $d$ est $u (- b a)$ .
- Un vecteur normal de $d$ est $n (a b)$ .

Ces deux vecteurs sont toujours orthogonaux : $u \cdot n = - b \times a + a \times b = 0$ .

Exemple : Soit la droite $d$ d'équation $3 x - 2 y + 5 = 0$ (donc $a = 3$ et $b = - 2$ ).

Un vecteur normal de $d$ est $n (3 - 2)$ et un vecteur directeur est $u (23)$ .

On vérifie l'orthogonalité : $u \cdot n = 3 \times 2 + (- 2) \times 3 = 6 - 6 = 0$ .

TunnelDéterminer l'équation d'une droite parallèle ou perpendiculaire à une droite donnée

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TunnelDéterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur

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ClassiqueÉtudier la position relative d'une droite et d'un cercle

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TunnelDéterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un vecteur normal

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TunnelDéterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite

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TunnelCalculer la distance d'un point à une droite

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PavlovDéterminer l'équation d'un cercle de centre et de rayon donnés

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ClassiqueDéterminer l'équation d'un cercle de diamètre [AB]

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TunnelDéterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation développée

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Exercices

Intersection de deux droites sécantes

On considère les droites

d_{1}

d'équation

x - y - 1 = 0

et

d_{2}

d'équation

2 x + y - 8 = 0

.

Démontrer que

d_{1}

et

d_{2}

sont sécantes, puis déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Discussion de la position de deux droites selon un paramètre

On considère, pour

m

réel, les droites

d_{m}

d'équation

(m - 1) x + 2 y - 3 = 0

et

d^{'}

d'équation

x + m y - 1 = 0

.

Discuter, selon les valeurs de

m

, la position relative de

d_{m}

et

d^{'}

(sécantes, strictement parallèles ou confondues).

Vrai ou faux : automatismes de géométrie repérée

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant brièvement.

a) La droite d'équation

4 x - 5 y + 2 = 0

admet le vecteur

n (4; - 5)

comme vecteur normal.

b) La droite d'équation

4 x - 5 y + 2 = 0

admet le vecteur

u (4; - 5)

comme vecteur directeur.

c) Le point

P (2; 3)

appartient à la droite d'équation

3 x - 2 y - 1 = 0

.

d) L'équation

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 15 = 0

est celle d'un cercle.

e) Le point

Q (- 1; 4)

appartient au cercle d'équation

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4

.

Vecteur normal, vecteur directeur et appartenance à une droite

On considère la droite

d

d'équation cartésienne

3 x - 7 y + 4 = 0

.

1) Donner un vecteur normal à

d

.

2) Donner un vecteur directeur de

d

.

3) Le point

K (1; 1)

appartient-il à

d

? Justifier.

4) Le point

L (2; - 1)

appartient-il à

d

? Justifier.

Comparer deux droites à partir de leurs équations

On considère les droites

d_{1}

d'équation

4 x + 6 y - 5 = 0

,

d_{2}

d'équation

6 x - 4 y + 1 = 0

et

d_{3}

d'équation

2 x + 3 y + 7 = 0

.

1) Donner un vecteur normal à chacune des trois droites.
2) Montrer que

d_{1}

et

d_{2}

sont perpendiculaires.

3) Montrer que

d_{1}

et

d_{3}

sont parallèles.

Projeté orthogonal par la méthode du vecteur directeur

On donne la droite

d

d'équation

2 x - y + 1 = 0

et le point

M (7; 0)

.

1) Donner un vecteur directeur de

d

, puis justifier qu'il s'agit d'un vecteur normal de la droite

(M H)

, où

H

désigne le projeté orthogonal de

M

sur

d

.

2) En déduire les coordonnées du point

H

.

3) Calculer la distance

M H

.