1. $S_{b}$ est un sous-espace affine :

Soit

b \in Im (f)

. Soit

x_{0} \in E

tel que

f (x_{0}) = b

(existe par hypothèse).

Montrons que

S_{b} = x_{0} + ker f

.

- (

\subset

) Soit

x \in S_{b}

:

f (x) = b = f (x_{0})

, donc

f (x - x_{0}) = 0

, i.e.

x - x_{0} \in ker f

, donc

x \in x_{0} + ker f

.
- (

\supset

) Soit

x = x_{0} + h

avec

h \in ker f

:

f (x) = f (x_{0}) + f (h) = b + 0 = b

.

Donc

S_{b} = x_{0} + ker f

est bien un sous-espace affine de direction

ker f

.

2. Plans affines parallèles :

Si

f : R^{3} \to R

est linéaire non nulle, alors

dim ker f = 3 - 1 = 2

(car

dim Im (f) = 1

). Donc

ker f

est un plan vectoriel de

R^{3}

.

Pour

c \in Im (f) = R

(car

f

est surjective),

f^{- 1} (c)

est un plan affine de direction

ker f

. Tous ces plans ont la même direction

ker f

: ils sont parallèles.

Si

c \in / Im (f)

,

f^{- 1} (c) = \emptyset

(mais ici

f

surjective, donc

c \in R

convient toujours).

3. Solutions de $2 x - 3 y + z = 5$ :

L'application

f (x, y, z) = 2 x - 3 y + z

est linéaire non nulle.

Point particulier :

x_{0} = (5/2, 0, 0)

convient :

2 (5/2) = 5

✓.

Direction

ker f = {2 x - 3 y + z = 0}

: deux vecteurs directeurs obtenus en fixant 2 variables libres.
-

y = 1, z = 0

:

x = 3/2

, vecteur

u = (3/2, 1, 0)

(ou

(3, 2, 0)

après multiplication par 2).
-

y = 0, z = 1

:

2 x + 1 = 0

,

x = - 1/2

, vecteur

v = (- 1/2, 0, 1)

(ou

(- 1, 0, 2)

).

Le plan affine est :

(\frac{5}{2}, 0, 0) + Vect ((3, 2, 0), (- 1, 0, 2))

.

Géométrie affine