Intégrales impropres

Soit $f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}$ continue par morceaux, et soit $a>0$. On a alors, pour tout $N\in \mathbb{N}$, ${\int }_0^{Na}f(t)dt=\sum _{k=0}^{N-1}{\int }_{ka}^{(k+1)a}f(t)dt$. Ainsi, la convergence de ${\int }_0^{+\infty }f(t)dt$ entraîne la convergence de la série $\sum u_k$ où $u_k={\int }_{ka}^{(k+1)a}f(t)dt$. Si on sait prouver la divergence de cette série (par exemple en utilisant des minorations, des arguments de périodicité...) alors on prouve la divergence de l'intégrale.

De plus, si $f$ est à valeurs positives, la convergence de ${\int }_0^{+\infty }f(t)dt$ est équivalente à la convergence de la série $\sum u_k$ et on peut aussi prouver la convergence de la série pour déduire celle de l'intégrale.